淺談圓周長、面積的證明

吳秀吉

【摘要】本文介紹劉徽“割圓術(shù)”原理和重要極限在圓周長、面積公式證明中的應(yīng)用，并就小學(xué)階段教學(xué)圓的周長公式和面積公式提出積極的建議.

【關(guān)鍵詞】割圓術(shù)；正多邊形逼近；極限

在小學(xué)算術(shù)書中，都知道半徑為r的圓的周長為C=2πr，面積為S=πr2，其中π是圓周率，是常數(shù).那么圓的周長公式和面積公式是怎樣得到的呢？對此，筆者曾作過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生不知道，甚至很多數(shù)學(xué)教師也不以為然.小學(xué)教師以學(xué)生聽不懂為由，課堂上略講或不講；中學(xué)教師以為那是小學(xué)教師的事.所以，關(guān)于圓的周長公式和面積公式的教學(xué)成為我們教學(xué)中的一個薄弱環(huán)節(jié)，長此以往對學(xué)生的發(fā)展極為不利.

其實，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽早于魏景四年（公元263年）創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，它就是借助圓的一串內(nèi)接正多邊形的周長數(shù)列的穩(wěn)定變化趨勢定義了圓的周長[1].這里我們繼續(xù)延用“割圓術(shù)”的思想原理和通過對極限的計算來證明圓的周長、面積，以期使證明更加簡潔明了.

一、圓的周長

如圖1，首先，作⊙O的內(nèi)接正三邊形A1A9A5其次，平分A1A9，A9A5，A1A5所對的弧A1A9，A9A5，A1A5的中心分別為A11，A7，A3，依次連接A1A11，A11A9，…，A3A1就得⊙O的內(nèi)接正六邊形A1A11A9A7A5A3，以下用同樣的方法，繼續(xù)作⊙O的內(nèi)接正十二邊形，⊙O內(nèi)接正二十四邊，等等.如此繼續(xù)下去就可以作⊙O的內(nèi)接正3·2n-1邊形（n=1，2，3，…），無論正多邊形的邊數(shù)怎樣多，每個圓內(nèi)接正多邊形每邊所對的弧所對的圓心角都是已知的.于是，得到一串圓的內(nèi)接正多邊形的每邊所對的弧所對的圓心角數(shù)列：θ3，θ6，θ12，…，θ3·2n-1，…；其中通項θ3·2n-1表示第n次作出的圓內(nèi)接正3·2n-1邊形的邊所對的弧所對的圓心角.那么這串圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)與該圓內(nèi)接正多邊形每邊所對的弧所對的圓心角關(guān)系列表如下：

下面證明圓的周長公式：c=2πr.

如圖1所示，已知⊙O的半徑為r，在⊙O的內(nèi)接正三邊形A1A9A5中，和△A1OA5中∠A1OA5=2π〖〗3，由余弦定理得

二、圓的面積

劉徽說：“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓全體而無所失矣.”很明顯，當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)成倍無限增加時，這一串圓的內(nèi)接正多邊形將無限趨近于該圓周，即它的極限位置就是該圓周[1].因此，圓的面積，也是由圓內(nèi)接多邊形的面積無限逼近，即這一系列圓的內(nèi)接正多邊形的面積的極限位置就是該圓的面積.

圓的面積公式S=πr2證明如下：

同理，可證圓內(nèi)接正3·2n-1的面積

從而有圓的面積

以上通過對圓的周長、面積公式的證明過程探究，不僅使初學(xué)者認(rèn)識圓的周長、面積公式，更能讓他們了解公式的來龍去脈，很好地把握數(shù)學(xué)的思想，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)打下良好的思想基礎(chǔ).

顯然，學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)習(xí)圓的周長、面積公式時，大可不必如前述之證明.因為這個階段的學(xué)生以具體思維為主，此階段的教學(xué)要在圓周率π上下功夫，即為學(xué)生設(shè)計π這個無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)的研究性學(xué)習(xí)方案，讓學(xué)生探索總結(jié)得到圓的周長與直徑的關(guān)系，進(jìn)而得到圓的周長公式.至于圓的面積公式，則可以將圓沿一條直徑剪開如圖2，然后，將兩個半圓剪成相等的小扇形如圖3（不要剪斷圓周），然后，拉開插入另一個半圓如圖4，再用近似計算方法求出圓的面積.這些方法雖不嚴(yán)密，更不能說是證明，但對小學(xué)階段的學(xué)生卻是適宜的.

總之，圓的周長公式和面積公式的教學(xué)不能只靠某一階段的教學(xué)解決問題，要在數(shù)學(xué)的全程學(xué)習(xí)中分步實施.這也是筆者寫這篇短文的初衷.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉玉璉，著.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]華東師范大學(xué)，編.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2001.