親歷建構(gòu)之旅體悟模型之美

鐘麗梅

【教學(xué)內(nèi)容】人教版義務(wù)教育教科書(shū)小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第17—18頁(yè)“加法運(yùn)算定律”.

【教學(xué)目標(biāo)】

1.讓學(xué)生在自主建構(gòu)加法交換律和加法結(jié)合律模型的過(guò)程中，理解并掌握加法交換律和加法結(jié)合律，初步感受到應(yīng)用加法運(yùn)算定律可以使一些計(jì)算簡(jiǎn)便.

2.在運(yùn)算定律模型建構(gòu)的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的分析、比較、抽象、概括能力，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)感.

3.讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，進(jìn)一步增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和信心，初步形成獨(dú)立思考和探究問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣.

【教學(xué)重點(diǎn)】幫助學(xué)生逐步建立“加法交換律”和“加法結(jié)合律”的模型.

【教學(xué)難點(diǎn)】探索并準(zhǔn)確概括加法交換律、加法結(jié)合律.

【教學(xué)過(guò)程】

一、依托情境，提出問(wèn)題

1.素材呈現(xiàn).同學(xué)們，咱們廈門(mén)市是一座著名的風(fēng)景旅游城市，素有“東方夏威夷”之稱.有國(guó)家5A級(jí)旅游景區(qū)“鼓浪嶼”，4A級(jí)景區(qū)“同安影視城”和“萬(wàn)石植物園”，有9個(gè)島16座橋梁相互連接的國(guó)際園林博覽苑……導(dǎo)游小姐介紹道：“鼓浪嶼到園博苑相距約21千米，園博苑到同安影視城相距約34千米.”

2.提出問(wèn)題.根據(jù)以上信息，你想解決什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

3.生成材料.選取“鼓浪嶼到園博苑相距約21千米，園博苑到同安影視城相距約34千米，鼓浪嶼到同安影視城相距多遠(yuǎn)”作為學(xué)習(xí)材料.

二、自主探索，建構(gòu)模型

（一）探索“加法交換律”

1.解決問(wèn)題.要解決這個(gè)問(wèn)題，該怎么列式？21+34或34+21.

2.觀察思考.分析比較，明確這兩個(gè)算式的異同處.這兩個(gè)算式中的“加數(shù)”和“和”是一樣的，只是兩個(gè)加數(shù)的位置進(jìn)行了調(diào)換.可以用“=”把“21+34和34+21”連接起來(lái)，即“21+34=34+21”.

3.豐富材料.你能再寫(xiě)幾個(gè)這樣的等式嗎？學(xué)生寫(xiě)在小紙條上，教師有序呈現(xiàn)學(xué)生所列舉的等式.（關(guān)注例子的全面性，除整數(shù)例子外，還有小數(shù)、分?jǐn)?shù)等情況）

4.大膽猜想.寫(xiě)這樣的等式，有什么秘訣？你們發(fā)現(xiàn)這些等式的共同規(guī)律了嗎？?jī)蓚€(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)位置，和不變.

5.線段驗(yàn)證.這兩條線段不管用哪兩個(gè)數(shù)表示，它的總長(zhǎng)都是“第一條長(zhǎng)度+第二條長(zhǎng)度=第二條長(zhǎng)度+第一條長(zhǎng)度”.

6.構(gòu)建模型.你能用自己喜歡的方式來(lái)表示加法交換律嗎？根據(jù)學(xué)生回答，教師相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生用“a+b=b+a”表征加法交換律.

7.抽象概括.兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)位置，和不變這個(gè)規(guī)律叫作“加法交換律”，用字母公式來(lái)表示就是“a+b=b+a”.

（二）探索“加法結(jié)合律”

1.提出問(wèn)題.剛才我們研究?jī)蓚€(gè)數(shù)相加存在這樣的規(guī)律.如果三個(gè)數(shù)相加會(huì)不會(huì)產(chǎn)生新的規(guī)律，我們接著研究它.

2.計(jì)算得數(shù).你想怎么算？請(qǐng)?jiān)诒咀由嫌谩斑f等式”計(jì)算出得數(shù).

3.算法交流.并引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系線段圖，說(shuō)一說(shuō)每一種算式的意義.

算法一：21+34+66=（21+34）+66（先算第一條線段加上第二條線段，再加上第三條線段，算出了正確答案）.

算法二：21+34+66=21+（34+66）（先算第二條線段加上第三條線段，再加上第一條線段，也算出了正確答案）.

4.分析等式.在剛才的學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)不管用哪種方法計(jì)算，結(jié)果都等于121，都是求三條線段的總長(zhǎng)，這兩個(gè)算式可以用“=”連成一個(gè)等式.教師相機(jī)板書(shū)：（21+34）+66=21+（34+66）.

5.部落建構(gòu).同學(xué)們，這個(gè)等式里面藏著小秘密，我們以部落為單位，根據(jù)學(xué)習(xí)單上的提示來(lái)研究它.

學(xué)習(xí)單部落長(zhǎng)：觀察1（21+34）+66=21+（34+66）

觀察等號(hào)左右兩邊的式子，說(shuō)一說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)猜想1部落討論，形成猜想驗(yàn)證1想辦法驗(yàn)證你們的猜想概括1符號(hào)表示：6.部落反饋.引導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住“等式兩邊哪變了，哪不變”進(jìn)行交流，從而發(fā)現(xiàn)：三個(gè)數(shù)相加，“先算第一、二兩個(gè)加數(shù)，再加上第三個(gè)加數(shù)與先算第二、三個(gè)加數(shù)，再加上第一個(gè)加數(shù)”的最后答案是一樣的.在計(jì)算過(guò)程中，加數(shù)的先后位置不發(fā)生變化，變的只是運(yùn)算的先后順序.

7.歸納規(guī)律.三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變，這叫作加法結(jié)合律.并追問(wèn)：“前兩個(gè)”“后兩個(gè)”分別是什么意思？最后呈現(xiàn)字母表征公式：“（a+b）+c=a+（b+c）”.

三、完善認(rèn)知，深化模型

1.尋找規(guī)律.師生共同回憶、尋覓加法交換律和加法結(jié)合律在前面教材中的身影.

2.運(yùn)用提升.

（1）基礎(chǔ)題：填填說(shuō)說(shuō)，下面的算式分別運(yùn)用了什么運(yùn)算定律？

15+20=20+；

（44+67）+33=44+（67+）；

15+34+85+66=（+）+（+）.

（2）拓展題：第三個(gè)加數(shù)印刷模糊，請(qǐng)你猜猜是幾？

30+58+（）=30+60.

3.比較異同.比較加法交換律和加法結(jié)合律異同點(diǎn)：“什么不變？什么變了？”使學(xué)生明確：這兩個(gè)定律相同的地方就是“和不變”；而加法交換律變的是加數(shù)的位置，加法結(jié)合律變的是運(yùn)算順序.正如德國(guó)數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒所說(shuō)：“數(shù)學(xué)就是研究千變?nèi)f化中不變的關(guān)系.”

4.引申猜想.“在加法中，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變.”關(guān)于這個(gè)結(jié)論，你還能提出哪些猜想？仿照加法結(jié)合律，你又會(huì)做出怎樣的猜想呢？課后可以嘗試舉例驗(yàn)證.

【板書(shū)設(shè)計(jì)】

加法運(yùn)算定律

觀察21+34=34+21（21+34）+66=21+（34+66）

猜想100+2=2+100（102+136）+144=102+（136+144）

驗(yàn)證78+50=50+78（207+25）+45=207+（25+45）

概括……

加法交換律

兩個(gè)數(shù)相加，

交換加數(shù)的位置，

和不變.

a+b=b+a

加法結(jié)合律

三個(gè)數(shù)相加，

先把前兩個(gè)數(shù)相加，

或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，

和不變.

（a+b）+c=a+（b+c）

【教學(xué)評(píng)析】

運(yùn)算定律在數(shù)學(xué)中具有重要的地位和作用，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)大廈的基石”.在運(yùn)算定律的探索與理解過(guò)程中，其模型建構(gòu)的過(guò)程是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一.學(xué)生學(xué)習(xí)加法交換律和結(jié)合律的過(guò)程，其實(shí)就是對(duì)模型思想的感悟過(guò)程.因此，教學(xué)中要更多地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索，體驗(yàn)知識(shí)的產(chǎn)生，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)表達(dá)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而體悟模型之美.在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中，筆者重視以下幾點(diǎn)：

一、依托生活情境，滲透模型

新課標(biāo)指出：模型思想的起點(diǎn)是從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出信息，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化.加法運(yùn)算定律雖然是一種高度抽象的數(shù)學(xué)模型，但它仍源于實(shí)踐，與生活現(xiàn)實(shí)有著密切的關(guān)系.教學(xué)時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題進(jìn)行感知理解，重視生活問(wèn)題的抽象概括和數(shù)學(xué)化過(guò)程，使“生活問(wèn)題”上升為“數(shù)學(xué)問(wèn)題”，為模型思想的初步滲透奠定基礎(chǔ).

對(duì)于加法交換律的發(fā)現(xiàn)與概括過(guò)程，筆者創(chuàng)設(shè)廈門(mén)風(fēng)景區(qū)旅游的情境，在解決“鼓浪嶼到同安影視城相距多遠(yuǎn)”的具體問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)運(yùn)算定律的原型，初步體會(huì)運(yùn)算規(guī)律.同時(shí)，也借助現(xiàn)實(shí)情境的素材來(lái)理解運(yùn)算定律.借助情境，學(xué)生很容易就列出了“21+34=55”和“34+21=55”，這兩個(gè)式子都能解決“鼓浪嶼到同安影視城有多遠(yuǎn)”這一問(wèn)題，并理解到“鼓浪嶼到同安影視城的路程與同安影視城到鼓浪嶼的路程是一致的”.結(jié)合線段圖，學(xué)生抽象理解到了這里的每一段除了可以表示整數(shù)，還可以表示小數(shù)或分?jǐn)?shù).但不管它表示的是什么數(shù)，“第一段長(zhǎng)度加第二段長(zhǎng)度”一定會(huì)等于“第二段長(zhǎng)度加第一段的長(zhǎng)度”.加法結(jié)合律的教學(xué)亦是如此，即“前兩條線段長(zhǎng)度加第三條線段長(zhǎng)度”也一定會(huì)等于“后兩條線段長(zhǎng)度加第一條線段長(zhǎng)度”.這樣的設(shè)計(jì)，依托具體的生活情境幫助學(xué)生將原來(lái)零散的感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，促使學(xué)生對(duì)原有知識(shí)進(jìn)行更新、深化、突破和超越，準(zhǔn)確把握從現(xiàn)實(shí)“生活原型”到抽象的“數(shù)學(xué)模型”的過(guò)渡過(guò)程，有效滲透模型思想，促進(jìn)模型的構(gòu)建.

二、重視自主探索，建構(gòu)模型

數(shù)學(xué)活動(dòng)是讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”過(guò)程的活動(dòng)，教師要引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際生活原型或具體問(wèn)題情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生充分地開(kāi)展觀察、比較、舉例、歸納、概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)，去掉數(shù)學(xué)問(wèn)題中非本質(zhì)的東西，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言或數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表述，提煉出數(shù)學(xué)模型.

在探索加法交換律時(shí)，首先從生活情境出發(fā)，通過(guò)列式、計(jì)算、對(duì)比，得出“21+34=34+21”這組等式.在理解算式意義的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生再寫(xiě)幾個(gè)這樣的等式，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生觀察思考、分析比較，發(fā)現(xiàn)等式之間蘊(yùn)含的規(guī)律.進(jìn)而大膽猜想、線段驗(yàn)證.而后讓學(xué)生用自己喜歡的方法來(lái)表示規(guī)律，讓學(xué)生初步構(gòu)建具有“個(gè)性”的加法交換律模型.最終將個(gè)性化的加法交換律模型抽象成字母的模型“a+b=b+a”.教學(xué)中不僅注意思想方法的滲透，還讓學(xué)生從字母表示中感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美與對(duì)稱美.加法結(jié)合律學(xué)習(xí)則引導(dǎo)學(xué)生借助探究加法交換律的研究方法，加大對(duì)學(xué)生的放手力度，設(shè)計(jì)開(kāi)放的部落活動(dòng)探究，讓學(xué)生按照學(xué)習(xí)單上提示的四個(gè)步驟進(jìn)行自主探索、合作交流.學(xué)生再次經(jīng)歷運(yùn)算定律的形成過(guò)程，從而獲得成功的學(xué)習(xí)體驗(yàn).這樣的教學(xué)，需要引導(dǎo)學(xué)生從大量的同類事物的不同例證中發(fā)現(xiàn)它的本質(zhì)屬性，概括出等式的共同特征，并用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，這是一個(gè)從感性到理性、從具體到抽象的過(guò)程，其實(shí)質(zhì)就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程.

三、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，凸顯模型

模型思想的形成是一個(gè)綜合性的過(guò)程，在回顧反思中建立模型是形成模型思想的核心.教師要善于從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，突出運(yùn)算定律產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)背景，精心設(shè)計(jì)活動(dòng)，及時(shí)捕捉課堂生成，凸顯模型的應(yīng)用價(jià)值.

本節(jié)課加法交換律和結(jié)合律雖是小學(xué)運(yùn)算定律的起始課，而運(yùn)算定律在計(jì)算中的應(yīng)用學(xué)生已然有所接觸，比如，10以內(nèi)的分與合的看圖列式，加法驗(yàn)算及湊十法的解題思路，等等.只不過(guò)前面教學(xué)沒(méi)有出現(xiàn)定律的名稱.教學(xué)中，師生共同回憶、尋覓加法運(yùn)算定律在前面教材中的身影.這樣的“參透”處理，由淺入深、由表及里地再次認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型、感悟模型思想.同時(shí)，在學(xué)生充分理解加法運(yùn)算定律內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行加法交換律和加法結(jié)合律之間的對(duì)比和辨析，明確這兩個(gè)運(yùn)算定律之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，為加法運(yùn)算定律的建模和應(yīng)用提供了可能.分析比較中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這兩條運(yùn)算定律的共同點(diǎn)是——和不變；不同點(diǎn)是——加法交換律中變的是加數(shù)的位置，加法結(jié)合律中變的是運(yùn)算順序.教師適時(shí)板演，充分體現(xiàn)了“變與不變”的思想，從而拓展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

總之，加法運(yùn)算定律作為數(shù)的運(yùn)算中的一塊內(nèi)容，它承載著豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵.教學(xué)中，不僅要明晰解決問(wèn)題的思路，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，更重要的是在觀察思考、舉例驗(yàn)證中建立清晰的數(shù)學(xué)表象，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，體悟模型之美.