全國(guó)名校排列組合問(wèn)題測(cè)試

■河南師范大學(xué)附屬中學(xué) 孟召臣

全國(guó)名校排列組合問(wèn)題測(cè)試

■河南師范大學(xué)附屬中學(xué) 孟召臣

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意。)

1.集合A={1,2,3,4,5},B= {(x,y)x∈A,y∈A},則集合B中元素的個(gè)數(shù)為( )。

A.5 B.15 C.20 D.25

2.已知兩條異面直線a,b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn),則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為( )。

A.40 B.16 C.13 D.10

3.已知C7n+1-C7n=C8n,則n等于( )。

A.14 B.12 C.13 D.15

4.已知集合A={1,2,3,4},B= {5,6,7},C={8,9}。現(xiàn)在從這3個(gè)集合中取出2個(gè)集合,再?gòu)倪@2個(gè)集合中各取出1個(gè)元素,組成一個(gè)含有2個(gè)元素的集合,則一共可以組成的集合個(gè)數(shù)為( )。

A.24 B.36 C.26 D.27

5.某學(xué)校在冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)的開(kāi)幕式上要穿插5個(gè)小節(jié)目,其中高一、高二年級(jí)各準(zhǔn)備2個(gè)節(jié)目,高三年級(jí)準(zhǔn)備1個(gè)節(jié)目,則同一年級(jí)的節(jié)目不相鄰的安排種數(shù)為( )。

A.56 B.48 C.36 D.24

6.已知某動(dòng)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系第一象限的整點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)(含x,y正半軸上的整點(diǎn)),其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為(m,n)→(m+1,n+1)或(m, n)→(m+1,n-1)。若該動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過(guò)6步運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(6,2),則不同的運(yùn)動(dòng)軌跡有( )。

A.15種 B.14種

C.9種 D.103種

8.過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)作直線,其中異面直線有( )對(duì)。

A.18 B.24 C.30 D.36

A.23023B.-23023

C.-23024D.23024

10.如圖1所示,在楊輝三角中,斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形的數(shù)列:1,2, 3,3,6,4,10,…,記這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S(n),那么S(16)等于( )。

A.144 B.146 C.164 D.461

圖1

11.有3對(duì)夫婦去看電影,6個(gè)人坐成一排,若女性的鄰座只能是其丈夫或其他女性,則不同的坐法的種數(shù)為( )。

A.54 B.60 C.66 D.72

12.集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中滿足條件”的元素個(gè)數(shù)為( )。

A.60 B.90 C.120 D.130

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分。)

13.北京市某中學(xué)要把9臺(tái)型號(hào)相同的電腦送給西部地區(qū)的3所希望小學(xué),每所小學(xué)至少得到2臺(tái),共有____種不同送法。

15.學(xué)生的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí),依次為“優(yōu)秀”、“合格”、“不合格”。若學(xué)生甲的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙,且其中至少有一門成績(jī)高于乙,則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好”。如果一組學(xué)生中沒(méi)有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好,并且不存在語(yǔ)文成績(jī)相同、數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生,那么這組學(xué)生最多有____人。

16.如圖2是一個(gè)正方體紙盒的展開(kāi)圖,若把1,2,3,4,5,6分別填入小正方形后,按虛線折成正方體,則所得到的正方體相對(duì)面上的兩個(gè)數(shù)的和都相等的概率是____。

圖2

三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟,共70分。)

17.(本小題滿分10分)一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球,6個(gè)不同的白球。

(1)從中任取4個(gè)球,紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種?

(2)若取一個(gè)紅球記2分,取一個(gè)白球記1分,從中任取5個(gè)球,使總分不少于7分的取法有多少種?

18.(本小題滿分12分)若(x2-3x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10。

(1)求a1+a2+…+a10。

(2)求(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2。

19.(本小題滿分12分)已知集合A= {x|1

(1)從A∪B中取出3個(gè)不同的元素組成三位數(shù),則可以組成多少個(gè)?

(2)從集合A中取出1個(gè)元素,從集合B中取出3個(gè)元素,可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且比4000大的自然數(shù)?

20.(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列2, 5,8,…,與等比數(shù)列2,4,8,…,求兩數(shù)列中公共項(xiàng)按從小到大的順序排列構(gòu)成新數(shù)列{cn} 的通項(xiàng)公式。

21.(本小題滿分12分)求證:當(dāng)n∈N*時(shí)

22.(本小題滿分12分)已知集合A= {a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f是從A到B的映射。

(1)若B中每一個(gè)元素都有原象,則不同的映射f有多少個(gè)?

(2)若B中的元素0無(wú)原象,則不同的映射f有多少個(gè)?

(3)若f滿足f(a1)+f(a2)+f(a3)+ f(a4)=4,則不同的映射f又有多少個(gè)?

1.D

2.C 提示:分兩類:第一類,直線a與直線b上8個(gè)點(diǎn)可以確定8個(gè)不同的平面;第二類,直線b與直線a上5個(gè)點(diǎn)可以確定5個(gè)不同的平面。故可以確定8+5=13(個(gè))不同的平面。

3.A 提示:因?yàn)镃7n+1=C8n+1,則7+8= n+1,故n=14。

4.C 提示:C14C13+C14C12+C13C12=26。

5.B 提示:先將5個(gè)節(jié)目進(jìn)行全排列,共有A55種情況,其中A1,A2相鄰或B1,B2相鄰的情況共有2A44A22種,A1,A2相鄰并且B1,B2也相鄰的情況共有A33A22A22種,故同一年級(jí)的節(jié)目不相鄰的安排種數(shù)為A55-2A44A22+A33A22A22=48。

6.C 提示:由運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知,每一步的橫坐標(biāo)都增加1,而縱坐標(biāo)每一步增加1或減少1。經(jīng)過(guò)6步變化后,結(jié)果由0變到2,因此這6步中有2步是按照(m,n)→(m+1,n-1)運(yùn)動(dòng)的,有4步是按照(m,n)→(m+1, n+1)運(yùn)動(dòng)的,因此,共有C26=15(種)走法,而此動(dòng)點(diǎn)只能在第一象限的整點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)(含x,y正半軸上的整點(diǎn)),當(dāng)?shù)谝徊?m,n)→(m+1,n-1)時(shí)不符合要求,有C15種;當(dāng)?shù)谝徊?m,n)→(m+1,n+1),但第二、三兩步為(m,n)→(m+1,n-1)時(shí)也不符合要求,有1種,故要減去不符合條件的C15+1=6 (種),故共有15-6=9(種)運(yùn)動(dòng)軌跡。

7.A 提示:由條件知,(a-1)2017=1,則a=2。展開(kāi)式的第2017項(xiàng)為T2017=4034x-2015。

8.D 提示:三棱柱共6個(gè)頂點(diǎn),由此6個(gè)頂點(diǎn)可組成C46-3=12(個(gè))不同四面體,而每個(gè)四面體有3對(duì)異面直線,則共有12× 3=36(對(duì))異面直線。

10.C 提示:由題圖知,數(shù)列中的首項(xiàng)是C22,第2項(xiàng)是C12,第3項(xiàng)是C23,第4項(xiàng)是C13,…,第15項(xiàng)是C29,第16項(xiàng)是C19。

11.B 提示:記3位女性為a、b、c,其丈夫依次為A、B、C。當(dāng)3位女性都相鄰時(shí)可能情形有兩類:第一類男性在兩端(如BAabcC),有2A33種,第二類男性在一端(如 XXAabc),有2A22A33種,共有A33(2A22+2)= 36(種)。當(dāng)僅有兩位女性相鄰時(shí)也有兩類,第一類這兩人在一端(如abBACc,第二類這2人兩端都有其他人(如AabBCc),共有4A23= 24(種),故坐法共有36+24=60(種)。

因此,10+40+80=130,故答案為D。

13.10

15.3 提示:假設(shè)滿足條件的學(xué)生有4位或4位以上,設(shè)其中4位同學(xué)分別為甲、乙、丙、丁,則4位同學(xué)中必有2位同學(xué)語(yǔ)文成績(jī)一樣,且這2個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)不一樣,那么這2個(gè)人中一個(gè)人的成績(jī)比另一個(gè)人好,故滿足條件的學(xué)生不能超過(guò)3人。當(dāng)有3位學(xué)生時(shí),用A,B,C表示“優(yōu)秀”、“合格”、“不合格”,則滿足題意的。

17.(1)將取出4個(gè)球分成三類情況:

1)取4個(gè)紅球,沒(méi)有白球,有C44種;

2)取3個(gè)紅球1個(gè)白球,有C34C16種;

3)取2個(gè)紅球2個(gè)白球,有C24C26種。

故有C44+C34C16+C24C26=115(種)方法。

18.(1)令f(x)=(x2-3x+2)5=a0+ a1x+a2x2+…+a10x10。

a0=f(0)=25=32。

a0+a1+a2+…+a10=f(1)=0,故a1+a2+…+a10=-32。

(2)(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2

=(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+ a2+…-a9+a10)

=f(1)f(-1)=0。

19.由1

(1)從A∪B中取出3個(gè)不同的元素,可以組成A36=120(個(gè))三位數(shù)。

(2)若從集合A中取元素3,則3不能作為千位上的數(shù)字,有C35·C13·A33=180(個(gè))滿足題意的自然數(shù);

若不從集合A中取元素3,則有C14C34A44=384(個(gè))滿足題意的自然數(shù)。

所以,滿足題意的自然數(shù)的個(gè)數(shù)為180+ 384=564。

20.根據(jù)題意易知等差數(shù)列2,5,8,…的通項(xiàng)公式為an=3n-1,等比數(shù)列2,4,8,…的通項(xiàng)公式為bn=2n,令3n-1=2k,n∈N*,

當(dāng)k=2m-1時(shí),m∈N*,

故cn=b2n-1=22n-1(n∈N*)。

22.(1)顯然映射f是一一對(duì)應(yīng)的,故不同的映射f共有A44=24(個(gè))。

(2)因?yàn)?無(wú)原象,而1、2、3是否有原象,不受限制,故A中每一個(gè)元素的象都有3種可能,只有把A中每一個(gè)元素都找出象,這件工作才算完成,所以不同的映射f有34=81(個(gè))。

(3)因?yàn)?+1+1+1=4,0+1+1+ 2=4,0+0+1+3=4,0+0+2+2=4,所以不同的映射有1+C24A22+C24A22+C24=31 (個(gè))。

(責(zé)任編輯 徐利杰)