單位球面中具有常平均曲率超曲面的拼擠定理*

王芬，吳雪玲

(1. 湖北第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖北 武漢 430205； 2. 華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079)

單位球面中具有常平均曲率超曲面的拼擠定理*

王芬1，吳雪玲2

(1. 湖北第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖北 武漢 430205； 2. 華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079)

研究單位球面中具有常平均曲率的超曲面。分別在假設(shè)或不假設(shè)第二基本形式的長度的平方為常數(shù)的情形下，證明了兩個重要的拼擠定理。這些結(jié)論是Cheng (1996年)和Xu等(2011年)相應(yīng)結(jié)果的推廣。

常平均曲率；Clifford環(huán)面；陳省身猜想；第二基本形式

單位球面中的具有常平均曲率的超曲面是子流形幾何中的重要研究對象，1968年著名數(shù)學(xué)家陳省身就提出了下面的著名猜想：

令S是具有常數(shù)量曲率的n+1維單位球面上的n維閉極小超曲面的第二基本形式的長度的平方，那么S的所有可能取值構(gòu)成的集合是離散的。

下面，我們先介紹一下該猜想目前的研究狀況。

n=3：經(jīng)過Peng等[1]，Chang[2]等的努力，最終被Chang[2]完全解決。具體來講，我們有

定理1S4中的一個具有常數(shù)量曲率的閉極小浸入超曲面是四維球面中的一個赤道，或Clifford極小超曲面，或者Cartan極小超曲面。特別地，S只可能是0，3或6。

去掉“閉”這個條件，我們有下面未解決的問題：

Bryant猜想S4內(nèi)的具有常數(shù)量曲率的極小浸入超曲面是等參的。

n=4：Lusala等[3]證明了S5內(nèi)的具有非負(fù)常數(shù)量曲率的閉Willmore極小超曲面M4一定是等參的。

n≥5：未解決。

開問題 設(shè)Mn是單位球面Sn+1上的一個n維閉極小超曲面，并且S為常數(shù)。如果S>n，那么S>2n？

如果考慮更一般的常平均曲率超曲面，Almeida等[9]和Chang[10]證明了S4中的具有常平均曲率和常數(shù)量曲率的閉超曲面M3是等參的。Almeida等[11]證明了：令H,K和R分別表示M3的平均曲率，高斯曲率和數(shù)量曲率，如果這三個函數(shù)中的兩個是常數(shù)，那么M3是等參超曲面或者H=K≡0。如果我們不假定Mn具有常數(shù)量曲率，Peng等[12](n≤5),Wei等[13](n≤7),Zhang[14](n≤8),Ding等[15](n≥3)證明了如下拼擠定理：

定理2 設(shè)M是浸入在Sn+1內(nèi)的一個極小閉超曲面，(n≥3)，并且S是M的第二基本形式的平方形式。 那么存在δ(n)=n/23>0，使得如果n≤S(x)

該結(jié)果被Xu等[16]推廣到了常平均曲率的情形。關(guān)于陳省身猜想更多詳細(xì)的介紹，請參考文獻(xiàn)[17]。

1 主要結(jié)果

本文主要受Xu等[16]的啟發(fā)，在一定條件下，得到了拼擠常數(shù)的顯示表達(dá)。具體來講，我們證明了如下拼擠定理：

則存在僅依賴于n的充分小的正數(shù)ε(n)和僅依賴于常數(shù)n和H的正數(shù)δ(n,H)，使得當(dāng)

時，其中

若S為常數(shù)，則有下面的拼擠定理：

定理4Mn是Sn+1中具有常平均曲率H的n維閉超曲面，Mn第二基本形式長度的平方S是常數(shù)。如果

nH2f4-2HSf3+S(S-n)

則存在僅依賴于n的充分小的正數(shù)ε(n)和僅依賴于常數(shù)n和H的正數(shù)δ(n,H)，使得當(dāng)

時，其中

注1當(dāng)H=0時，定理3和定理4就分別為文[18]和文[19]中的主要結(jié)果。

2 預(yù)備知識

在本節(jié)中，我們將回顧一些關(guān)于Sn+1上的常平均曲率閉超曲面的基本而又重要的等式，這些在文[20]中有更詳細(xì)的介紹。假定Mn是Sn+1上的一個具有常平均曲率H的n維閉超曲面，那么可以選取一個正交向量場{e1,e2,…,en+1}使得{e1,e2,…,en}切于Mn。令hij和H分別表示M的第二基本形式和平均曲率，則

我們再定義

令hijk和hijkl分別表示第二基本形式的第一、第二協(xié)變導(dǎo)數(shù)的分量，定義A，B如下

通過計(jì)算，可以得到如下相關(guān)等式：

(1)

(2)

(3)

(4)

引理1[21]設(shè)Mn是Sn+1中具有常平均曲率H的n維閉超曲面，則有

n2H2+2nHf3)+

n3H2+2n(n-S)Hf3]

3 定理證明

定理3的證明 由式(1)-式(3)，通過直接計(jì)算，可得

(5)

(6)

(7)

(8)

結(jié)合引理1及式(8)，可得

S(S-n)-n2H2+2nHf3)+

n3H2+2n(n-S)Hf3]

(9)

nHSf3-n|▽h|2]≥0

即

(10)

(11)

因?yàn)?/p>

(12)

結(jié)合等式(11)及不等式(12)，得

(13)

由式(7)，通過計(jì)算，可得

∫MnH2f4-2HSf3+nHf3=

代入不等式(13)中，可得

(14)

結(jié)合式(10)及式(14)，化簡可得

S(n2H2+S(S-n)-nHf3)≥0

(15)

又知

結(jié)合式(15)，整理可得

(n2H2+S(S-n)-nHf3)≥0

(16)

其中

式(16)即

(n2H2+S(S-n)-nHf3)≥0

(17)

因S≥S0，由計(jì)算不難得到-S(n-S)+n2H2-nHf3≥0。如果S0≤S≤S0+δ(n,H)，δ(n,H)是僅依賴于常數(shù)n和H的正數(shù)，則

(n2H2+S(S-n)-nHf3)

從而，可以得到

(n2H2+S(S-n)-nHf3)-

(18)

即

(n2H2+S(S-n)-nHf3)+

(19)

解不等式，可得

因S0≤S≤S0+δ(n,H)，則

因t>0，則

所以

有-S(n-S)+n2H2-nHf3=0，這也就意味著S=S0，M是一個Clifford超曲面。

推論1的證明 當(dāng)Mn有兩個不同主曲率時，滿足

再由定理3，可得推論1成立。

定理4的證明 已知S為常數(shù)，則

將等式代入式(15)中，可得

化簡可得

(20)

則需滿足

記Δ=9n2(n+2)4H2+8n(n2+4n+6)(n2+4n+3)，易知t>0，則有

所以

記

則

-S(n-S)+n2H2-nHf3=0

有-S(n-S)+n2H2-nHf3=0，意味著S=S0，M一個Clifford超曲面。

推論2的證明 當(dāng)Mn有兩個不同主曲率時，滿足

因此由定理4知推論2成立。

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The pinched theorems of hypersurfaces with constant mean curvature in unit spheres

WANGFen1,WUXueling2

(1. School of Mathematics and Economics, Hubei University of Education, Wuhan 430205, China; 2. School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Wuhan 430079, China)

The constant mean curvature hypersurfaces in unit sphereSn+1areconsidered.Underthehypothesisthatthesecondfundamentalformisconstantornot,twoimportantpinchedtheorems,whichgeneralizedcorrespondingresultsofCheng(1996)andXuetal(2011),areobtained.

constant mean curvature; Clifford torus; Chern’s conjecture; the second fundamental form

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.03.011

2016-12-16 基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(10901067)

王芬(1980年生)，女；研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)；E-mail: 55421810@qq.com

O186

A

0529-6579(2017)03-0071-07