論數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

房爽

摘要：數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要的思想方法，在中、高考中有著廣泛應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想囊括了數(shù)量的分析與圖形的直觀，并且結(jié)合二者各自的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生盡快地找到解題的途徑，給學(xué)生解題帶來(lái)極大的方便。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；中學(xué)數(shù)學(xué)；不等式；解析幾何

中圖分類號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）23-0201-02

一、引言

自笛卡爾創(chuàng)造了平面直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合的思想就得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展。數(shù)學(xué)家華羅庚曾就說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔家分家萬(wàn)事休。”數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，有極大的探索研究空間。本文將通過(guò)實(shí)際的案例分析，展示出數(shù)形結(jié)合這一思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用。

二、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合本質(zhì)上是通過(guò)將符號(hào)語(yǔ)言“數(shù)”，圖形語(yǔ)言“形”進(jìn)行結(jié)合轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題得到解決。“形”主要提供研究的對(duì)象和輔助思考的工具，而“數(shù)”則是為研究提供必要的工具、方法、視角。兩者之間的結(jié)合具有雙重含義?？蓮V泛應(yīng)用于函數(shù)、解析幾何、不等式等多個(gè)方面。

1.由“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”的應(yīng)用?！皵?shù)”和“形”是一種對(duì)應(yīng)。有些數(shù)量比較抽象，難以把握，而“形”具有形象直觀的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)解決問(wèn)題的重要作用。

例1.不等式■≥x的解為m≤x≤n，|m-n|=2a，a>0，求a.

問(wèn)題分析：本題看似是一道以“數(shù)”表現(xiàn)出的求解不等式的問(wèn)題，即求解得■-x=0的根，而解題誤區(qū)在于m，n的值和方程的根的關(guān)系。若不應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，便極易出錯(cuò)，而解題者卻難以察覺(jué)。

解：作曲線C：y=■，直線l：y=x，如圖1所示，顯然有m=-a，由y=xy■=x+a可得大根x=■，

即n=■.根據(jù)|m-n|=2a.

得■+a=2a，解得a=2.

例2.實(shí)數(shù)x，y滿足等式（x-3）■+y■=3，求y/x的最大值。

問(wèn)題分析：通過(guò)觀察y/x的幾何意義，發(fā)現(xiàn)y/x即為點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（0，0）連線的斜率k，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，題目就比較簡(jiǎn)單明了。

解：繪制圖2可觀察到，直線m與圖中圓相離，直線l與圓相切，直線n與圓相交，α為直線l與x軸的夾角。觀察圖形可知，當(dāng)過(guò)原點(diǎn)（0，0）的直線與圓相切，且直線只在一三象限時(shí)，斜率k的值最大。設(shè)直線方程y=kx，則圓心（3，0）到直線l的距離為d=■=■，解得斜率k=■，所以y/x的最大值為■.

除了通過(guò)距離公式求斜率，學(xué)生還可以應(yīng)用直角三角形性質(zhì)，構(gòu)造下式：

k=tanα=■=■.

問(wèn)題小結(jié)：在數(shù)學(xué)解題中，方法至關(guān)重要，同一道題目可能有多種解決辦法，學(xué)生需要不斷地思考探索，發(fā)揮主觀能動(dòng)性，提高自身的學(xué)習(xí)素質(zhì)。

2.由“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的應(yīng)用。雖然“形”有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，但在定量計(jì)算問(wèn)題方面還必須借助代數(shù)方法，尤其是對(duì)于較抽象的“形”。在解題過(guò)程中，不但要把圖形數(shù)字化，而且還要注意觀察圖形的特點(diǎn)，發(fā)掘題目中隱含的條件，充分利用圖形的性質(zhì)與幾何意義，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，并對(duì)其進(jìn)行分析計(jì)算。

例3：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（x，y）是橢圓■+y■=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求S=x+y的最大值。

問(wèn)題分析：拿到此類題目，初始想法與本文中例2類似，一是對(duì)橢圓的方程進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，配出x+y；二是作橢圓的圖形，觀察圖形性質(zhì)。實(shí)際操作可發(fā)現(xiàn)，兩種思路的可操作性低，應(yīng)當(dāng)另辟思路。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，圓錐曲線占有重要地位。題中■+y■=1為橢圓一般式，而橢圓的另一種表現(xiàn)形式圓錐曲線參數(shù)方程，在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，可以作為一種思路。

解：因橢圓■+y■=1的參數(shù)方程為x=■cosφy=sinφ，（φ為參數(shù)）。故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（■cosφ，sinφ），其中0≤φ<2π.

因此S=x+y=■cosφ+sinφ=2（■cosφ+■sinφ）=2sin（φ+■），故φ=■時(shí)，S取最大值2。

問(wèn)題小結(jié)：對(duì)于某些問(wèn)題，采用單純的幾何和代數(shù)方法，都無(wú)法使問(wèn)題得到妥善的解決。但根據(jù)圓錐曲線參數(shù)方程，將平面上的點(diǎn)代數(shù)化，再由三角函數(shù)的性質(zhì)，能更好地解決問(wèn)題。此過(guò)程展現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的互相轉(zhuǎn)化。

三、結(jié)論

從以上幾個(gè)方面可以看出，數(shù)形結(jié)合是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的一把“金鑰匙”。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的過(guò)程中，學(xué)生需要進(jìn)行聯(lián)想，從而激發(fā)學(xué)生的想象力。學(xué)生還需要進(jìn)行一定的創(chuàng)造活動(dòng)。創(chuàng)造的成功能喚醒學(xué)生的求新意識(shí)，激發(fā)他們創(chuàng)新的激情，提高學(xué)生的創(chuàng)造力，從而增強(qiáng)學(xué)生綜合素質(zhì)。由此可見(jiàn)，中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想方法，充分地把握了數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，值得學(xué)生深入探索研究。

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On the Application of Combination of Numbers and Shapes in Middle School Mathematics

FANG Shuang

（School of Mathematics Science and Application，Nanjing Normal University Taizhou College，

Taizhou，Jiangsu 225300，China）

Abstract：The combination of number and shape is an important thinking method in mathematics teaching in middle school，has been widely used in the college entrance examination.The combination of ideas include a number of intuitive analysis and graphics，and the combination of two respective superiority，help students to find the way of solving problems，bring great convenience to the students' problem solving.

Key words：combination of numbers and forms；middle school mathematics；inequality；analytic geometry