在類比、轉(zhuǎn)化中實現(xiàn)知識“生長”

姜鴻雁

在類比、轉(zhuǎn)化中實現(xiàn)知識“生長”

姜鴻雁

同學(xué)們應(yīng)該能感覺到，所學(xué)新知識常常與舊知識之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，我們可以認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程就是知識“生長”的過程.類比、轉(zhuǎn)化這兩個基本思想方法是新知生長的“陽光雨露”，對于《分式》這一章內(nèi)容，同學(xué)們?nèi)绻浞治樟诉@些“陽光雨露”，本章知識樹不僅能“枝繁葉茂”，還能促進后面的“枝條”茁壯成長！下面，我們來說說如何在舊知識的“土壤”中，吸收“陽光雨露”，實現(xiàn)知識“生長”.

一、知識在類比中“生長”

1.用類比思想把握分式定義的要點.

2.用類比思想理解分式的基本性質(zhì).

在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時，掌握分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)是重點，它是將分?jǐn)?shù)進行約分、通分的依據(jù).在類比思想的引領(lǐng)之下，分式的基本性質(zhì)不僅源于分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，同樣也是對分式進行通分、約分的依據(jù).

【解析】分?jǐn)?shù)約分是對分子、分母分解因數(shù)，依據(jù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)約去公因數(shù)，將運算結(jié)果化成最簡分?jǐn)?shù)或整數(shù).分式約分，則是對分子、分母分解因式，依據(jù)分式基本性質(zhì)約去分子、分母的公因式即可，所以本題結(jié)果為：1-2a，分式的運算結(jié)果要化成最簡分式或整式.分?jǐn)?shù)通分是尋找分母的最小公倍數(shù)，分式通分是確定分母的最簡公分母.類比無處不在，恰如其分地體現(xiàn)了“數(shù)式相通”.

3.用類比思想進行分式運算.

同一切運算的順序一樣，分式的運算也是先乘方，后乘除，再加減，有括號先算括號里面的.在運算過程中，我們還得注意觀察式子結(jié)構(gòu)，根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，有時巧妙運用運算定律，可以達(dá)到事半功倍的效果.

例4先化簡，再求值：

【解析】按運算順序、法則，得到化簡結(jié)果是4

x2+2x.在求值環(huán)節(jié)，固然可以考慮先把方程解出來，然代入x的值求得最后結(jié)果，但解后的值肯定帶根號，再代入會較煩瑣.仔細(xì)觀察分式化簡結(jié)果以及方程結(jié)構(gòu)，把x2+2x看成一個整體，可以輕松得到結(jié)果為.思維起步源自仔細(xì)觀察，養(yǎng)成良好的觀察習(xí)慣，是提升思維品質(zhì)的開始.

4.用類比思想掌握分式方程的應(yīng)用.

用數(shù)學(xué)模型刻畫實際生活中的數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的之一，學(xué)過一元一次方程、二元一次方程（組）的定義、解法之后，我們便可以試著應(yīng)用相關(guān)數(shù)學(xué)模型解決實際問題.基本步驟是：審清題意，尋找實際問題中的相等關(guān)系；設(shè)出適當(dāng)未知數(shù)，表示上述數(shù)量關(guān)系，從而列出方程（組）；解方程（組）；檢驗；給出結(jié)論.類比分式方程的應(yīng)用，也是如此，只是所列方程是分式方程，對方程的解進行檢驗時，不僅要檢驗是否符合實際情況，還需檢驗是否方程的解（防止出現(xiàn)增根，后面將重點提及）.

例5兩個小組同時從甲地出發(fā)，勻速步行到乙地，兩地相距7500m，第一組步行速度是第二組的1.2倍，比第二組早15min到達(dá)乙地.求第一小組的速度.

二、知識在轉(zhuǎn)化中“生長”

1.體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想主要知識點.

一元一次方程（最簡單的整式方程）的解法是解分式方程的“土壤”，在轉(zhuǎn)化思想的“澆灌”之下，解分式方程便算不上什么新知識.除此之外，異分母分式的加減運算，是經(jīng)過通分化異分母分式加減為同分母分式加減.這些知識點，無不體現(xiàn)化陌生為熟悉的學(xué)習(xí)歷程.

例6（2016·貴州黔東南州）解方程：

【解析】對于有分母的方程，在方程左右兩邊同時乘最簡公分母（x-1）（x+1），可以去分母，從而得（x+1）2-4=x2-1，這一步將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解這個整式方程，得x=1.

2.運用轉(zhuǎn)化思想應(yīng)特別注意的兩點.

（1）產(chǎn)生增根的原因.

在例6中，分式方程求解過程似乎已經(jīng)結(jié)束，回首化分式方程為整式方程的“細(xì)節(jié)”：在方程左右兩邊同時乘（x-1）（x+1），這是含有未知數(shù)的代數(shù)式（根據(jù)分式方程的定義，最簡公分母注定含有未知數(shù)），注意不是常數(shù)，這預(yù)示著什么？從淺層次說，最簡公分母的值將隨x的取值變化而變化，如果x的取值使最簡公分母的值為0，則轉(zhuǎn)化的過程“違反”了等式基本性質(zhì)，所以要對解出的整式方程的解進行檢驗，看看有沒有“違反”等式基本性質(zhì)，也就是驗證最簡公分母為不為0，對去分母這一步給出“回應(yīng)”；從深層次講，這使方程解的范圍擴大了（因為分式的定義要求分母不為0，而這個規(guī)定在去分母后，不再存在），所以要對所轉(zhuǎn)化而來的整式方程的解檢驗.以例6為例：x=1恰好使最簡公分母值為0，所以x=1只是轉(zhuǎn)化后的整式方程的解，對于分式方程來說是增根，原分式方程無解.

因此，在化陌生為熟悉的過程中，必須兼顧數(shù)學(xué)學(xué)科嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶匦?只要真正理解增根產(chǎn)生的原因，無論是解分式方程還是用分式方程解決實際問題，都不會忘記檢驗這一重要環(huán)節(jié).

（2）增根的特點.

深入思考增根產(chǎn)生的過程，不難發(fā)現(xiàn)增根的兩大特征：使最簡公分母的值為0；是轉(zhuǎn)化后的整式方程的解.應(yīng)用這兩個特征，可以解決一些相關(guān)問題.

（3）分式方程無解與增根的關(guān)系.

對于可化為一元一次方程的分式方程來說，出現(xiàn)增根，則意味著原分式方程無解，但若分式方程無解，不一定只有分式方程有增根這一種情況.為什么？追溯解分式方程的步驟：通過去分母、化分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后對整式方程的解檢驗.若轉(zhuǎn)化后的整式方程無解，則分式方程必?zé)o解.所以若分式方程無解，可能有兩種情況：一是轉(zhuǎn)化后的整式方程無解；二是轉(zhuǎn)化后的整式方程的解是分式方程的增根.

【解析】化分式方程為整式方程并整理得：（2+a）x=3，分類討論：①當(dāng)a=-2時，整式方程無解，則分式方程一定無解；②當(dāng)分式方程有增根，則x=1，它滿足轉(zhuǎn)化后的整式方程，代入整式方程，得a=1（說明：x=0不是分式方程增根，因為此時a無解）.所以a=-2或1.

進一步思考，若分式方程有解，則必須滿足轉(zhuǎn)化后的整式方程有解且此解不是增根.

【解析】轉(zhuǎn)化分式方程為整式方程并整理得：（5-a）x=10，首先確保整式方程有解，則a≠5，再考慮x≠0且x≠2，由此得a≠0，所以本題選D.

縱觀本章內(nèi)容，一個個知識點是從分?jǐn)?shù)、一元一次方程等知識節(jié)點中“生長”出來的.在類比與轉(zhuǎn)化思想的“引領(lǐng)”之下，在整體思想的“幫襯”之下，在“求同存異”的“包容”之下，實現(xiàn)了新知與舊知的無縫對接.同樣的道理，它也將成為后面即將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容的“生長”節(jié)點.

（作者單位：江蘇省無錫市河埒中學(xué)）