亦說換元作用

周沁人

摘要：換元在解決方程、不等式、函數(shù)與數(shù)列及三角中有廣泛的應用，其作用可以將問題簡單化，本文列舉的例子是將問題轉化為函數(shù)形式來解決.

關鍵詞：換元；聯(lián)系；轉化；函數(shù)

換元法是高中數(shù)學中的重要方法，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列和三角等方面有著廣泛的應用，但是我們在實際解題中往往由于換元方法的不適當，則會無從下手，下面我們不妨來認識一下?lián)Q元法：

一、利用換元簡化運算

例1如圖1，過坐標原點的直線交橢圓x24+y22=1于P、A兩點，其中點P在第一象限，過點P作x軸的垂線，垂足為C，連結AC，并延長交橢圓于點B，求證：PA⊥PB.

分析本題可采用換元法，即設直線PA的方程，再代入橢圓方程，這樣化簡求解比較簡單.

解設直線PA的斜率為k，將直線PA的方程y=kx代入x24+y22=1得到x=±21+2k2，記u=21+2k2，則點P（u，uk），A（-u，-uk），C（u，0）.

則直線AB的斜率為0+uku+u=k2，直線AB的方程為y=k2（x-u），代入橢圓方程，得到

（2+k2）x2-2uk2x+k2u2-8=0，解得x=u（3k2+2）2+k2，或者x=-u，可得到點Bu（3k2+22+k2），uk32+k2，得到直線PB的斜率為k1=uk32+k2-uku（3k2+2）2+k2-u=-1k，

因此得到k1k2=01，也即PA⊥PB.

點評換元法在某種程度上往往能夠簡化運算，降低問題的難度.

二、利用換元將條件和結論聯(lián)系起來

例2已知x24+y2=1，求x2+4xy+4y2+x+2y+1的取值范圍.

分析條件的形式使我們代入消元出現(xiàn)困難，但從平方和等于1的特點聯(lián)想到三角函數(shù)的性質，則可以采用三角換元，則問題可迅速解決.

解由x24+y2=1，則可設x=2cosθ，y=sinθ，則x+2y=2cosθ+2sinθ=22sin（θ+45°），

再設x+2y=t，則t∈-22，22，則x2+4xy+4y2+x+2y+1=t2+t+1=t+122+34，

∵t∈-22，22， ∴t+122+34∈34，9+22，

因此x2+4xy+4y2+x+2y+1的取值范圍為34，9+22.

點評本題的解決方法比較多，但通過換元將問題轉化為一元二次函數(shù)則問題就比較容易解決.

三、利用換元將問題轉化為熟悉的函數(shù)形式

例3在直角坐標系xOy中，設定點A（a，a）是函數(shù)y=1x（x>0）圖像上一動點，若點P、A之間的最短距離為22，求滿足條件的實數(shù)a的所有值.

分析本題若用導數(shù)來求解，但是求不出極值點，而通過換元法將問題轉化為一個簡單的一元二次函數(shù)問題.

解設點Px，1x，則PA2=（x-a）2+1x-a2=x2+1x2-2ax+1x+2a2，

可令t=x+1x，則PA2=t2-2at+2a2-2=（t-a）2+a2-2，由x>0，知道t≥2；

若a≤2，則當t=2時，PA2取得最小值，則有（2-a）2+a2-2=8，求得a=-1，a=3舍去；

若a>2，則當t=a時，PA2取得最小值，從而有a2-2=8，可解得a=10，a=-10舍去，則可知道滿足條件的實數(shù)a的所有值為10、-1.

點評換元法重要的作用是把一個復雜的函數(shù)轉化為熟悉的簡單函數(shù)來求解，則問題就可迎刃而解.

四、利用換元將多元函數(shù)轉化為一元函數(shù)

例4設a∈R，函數(shù)f（x）=lnx-ax，設A（x1，y1）、B（x2，y2）是函數(shù)g（x）=f（x）+ax圖像上任意不同的兩點，線段AB的中點為C（x0，y0），直線AB的斜率為k，求證：k>g′（x0）.

分析本題可將問題轉化為分式函數(shù)的單調性問題來求解.

證明k=y2-y1x2-x1-lnx2-lnx1x2-x1，而x0=x1+x22，

由于g（x）=lnx，則g′（x0）=1x0=2x1+x2，所以要證明k>g′（x0），

則只需要證明lnx2-lnx1x2-x1>x1+x22，不妨設02（x2-x1）x1+x2，

即證明lnx2x1>2x2x1-1x2x1+1，可設t=x2x1>1，則需要證明lnt>2（t-1）t+1=2-4t+1，

即證明lnt+4t+1-2>0（t>1）.

設h（x）=lnt+4t+1-2（t>1），則h′（x）=1t-4（t+1）2=（t-1）2t（t+1）2>0.

所以h（x）在（1，+∞）上單調遞增，則h（x）>h（1）=0，因此lnt+4t+1-2>0成立，則k>g′（x0）成立.

點評本題是導數(shù)中常見的問題，可先將不等式轉化為一個齊次分式或齊次分式與基本初等函數(shù)的復合形式，再設t=x2x1，則可將其化為關于t的一元函數(shù).

換元法能夠將問題簡單化，且能通過換元使問題明了化，清晰化.