不同磁致伸縮方程下永磁電機(jī)的應(yīng)力、應(yīng)變研究

劉現(xiàn)偉，耿躍華

(河北工業(yè)大學(xué)，天津300130)

0 引 言

由于電機(jī)的振動(dòng)噪聲不僅會(huì)影響環(huán)境質(zhì)量而且還會(huì)使電機(jī)的使用壽命折損，因此電機(jī)中的振動(dòng)噪聲一直是研究的熱點(diǎn)問題［1］。電機(jī)中的定子硅鋼片是一種磁導(dǎo)率很大的磁性材料，因此，當(dāng)其處于變化的磁場下會(huì)出現(xiàn)沿磁場方向上的應(yīng)力和由此引起的形變，由于上述情況的出現(xiàn)，就會(huì)導(dǎo)致電機(jī)定子出現(xiàn)整體的振動(dòng)并產(chǎn)生噪聲。

電機(jī)振動(dòng)噪聲的來源一般分為機(jī)械噪聲、空氣動(dòng)力噪聲和電磁噪聲等［2］。以往認(rèn)為電磁噪聲中的電磁力是其噪聲的主要來源，而隨著近些年的研究發(fā)現(xiàn)磁致伸縮效應(yīng)對(duì)于電機(jī)的振動(dòng)噪聲的影響也有著很大的比重?，F(xiàn)階段磁致伸縮效應(yīng)的應(yīng)用大多都是磁致伸縮制動(dòng)器、傳感器的方面，而關(guān)于磁致伸縮對(duì)電機(jī)噪聲影響研究還不太成熟［3］。2009 年，Sakda Somkun，Anthony J．Moses對(duì)磁致伸縮的各向異性和非取向電工鋼的機(jī)械特性進(jìn)行了研究。通過測量研究發(fā)現(xiàn)磁致伸縮的各向異性對(duì)感應(yīng)電機(jī)定子齒的非對(duì)稱形變有很大的影響［4］。韓雪巖等人也研究了理想電流和實(shí)驗(yàn)電流供電下由電磁力和磁致伸縮效應(yīng)單獨(dú)和共同作用下的電機(jī)振動(dòng)［5］，實(shí)驗(yàn)條件下得到的定子磁致伸縮位移大約為3．96×10－7m。2015年，沈陽工業(yè)大學(xué)的張艷麗，李強(qiáng)等人研究了諧波磁場下硅鋼片的磁致伸縮特性，得出了結(jié)論是諧波磁場下單片硅鋼片磁致伸縮引起的噪聲明顯增大［6］。因此研究磁致伸縮效應(yīng)對(duì)電機(jī)振動(dòng)噪聲的影響是有著重要的意義。

為了能準(zhǔn)確地研究磁致伸縮效應(yīng)對(duì)電機(jī)振動(dòng)噪聲的影響，需要選取合適的方程來進(jìn)行預(yù)測和分析。而應(yīng)用不同的磁致伸縮本構(gòu)方程對(duì)電機(jī)振動(dòng)噪聲的預(yù)測分析結(jié)果也可能會(huì)有所不同。因此本文以單相永磁同步電機(jī)為例，研究了幾種本構(gòu)方程對(duì)電機(jī)振動(dòng)仿真結(jié)果的異同，對(duì)于永磁電機(jī)主要研究的是磁致伸縮效應(yīng)對(duì)其定子硅鋼片的影響。

1 永磁電機(jī)的建模與分析

1． 1永磁電機(jī)模型

由于所研究的永磁同步電機(jī)的模型是軸對(duì)稱的，并且是可以旋轉(zhuǎn)拉伸的。因此在有限元軟件中可以對(duì)永磁同步電機(jī)由三維模型簡化為二維模型，從而可以減少計(jì)算量，節(jié)約計(jì)算時(shí)間。利用有限元軟件建立的二維永磁同步電機(jī)模型和研究中所使用的永磁同步電機(jī)相關(guān)的參數(shù)和參考點(diǎn)如圖1和表1所示。

圖1 永磁電機(jī)模型及參考點(diǎn)

表1 電機(jī)主要參數(shù)

1． 2模型分析方法

模型分析采用有限元軟件COMSOL來實(shí)現(xiàn)的，通過軟件中的旋轉(zhuǎn)機(jī)械－磁與結(jié)構(gòu)力學(xué)模塊進(jìn)行耦合，實(shí)現(xiàn)電機(jī)中的磁－力耦合，得到由磁致伸縮效應(yīng)引起的電機(jī)定子硅鋼片的應(yīng)力與形變的結(jié)果。

磁－力耦合分析可以通過兩種形式來實(shí)現(xiàn)，一種是強(qiáng)耦合形式，通過直接對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械－磁和結(jié)構(gòu)力學(xué)模塊相應(yīng)的邊界條件和域的設(shè)置來直接耦合求解，得到相應(yīng)的磁通密度、應(yīng)力、形變等結(jié)果，一種是弱耦合形式，即先通過對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械－磁模塊的求解得到磁場的結(jié)果，再通過找到旋轉(zhuǎn)機(jī)械－磁與結(jié)構(gòu)力學(xué)模塊之間的耦合關(guān)系來求解應(yīng)力與應(yīng)變。本文采用強(qiáng)耦合的形式來研究不同的磁致伸縮本構(gòu)方程對(duì)永磁電機(jī)的振動(dòng)噪聲的影響。

1． 3磁致伸縮本構(gòu)方程

通過COMSOL軟件可以對(duì)二維電機(jī)模型進(jìn)行有限元分析求解。應(yīng)用軟件中的旋轉(zhuǎn)機(jī)械－磁與結(jié)構(gòu)力學(xué)模塊對(duì)其進(jìn)行強(qiáng)耦合求解。通過A－φ的方法(A是磁矢勢，φ是標(biāo)量電位)求解電機(jī)內(nèi)部的磁場分布及大小。然后由磁－力耦合得到由磁致伸縮效應(yīng)引起的應(yīng)力與形變。磁－力耦合是通過相應(yīng)的磁致伸縮本構(gòu)方程來實(shí)現(xiàn)的。

對(duì)電機(jī)硅鋼片有限元分析所使用的第一種磁致伸縮本構(gòu)關(guān)系是基于線性壓磁方程描述的。方程是由應(yīng)變和磁通密度方程組成。應(yīng)變方程包括由應(yīng)力和外加磁場共同作用時(shí)引起的應(yīng)變。磁通密度方程是由應(yīng)力和外加磁場產(chǎn)生的磁通密度［7］。當(dāng)只考慮單一方向上的磁致伸縮時(shí)方程可表示:

式中:εH為硅鋼片在磁場強(qiáng)度為H時(shí)的總應(yīng)變;E為楊氏模量;σ為應(yīng)力;λ為磁致伸縮系數(shù);H為磁場強(qiáng)度;Bσ為應(yīng)力作用下的磁感應(yīng)強(qiáng)度;μσ為應(yīng)力作用下的磁導(dǎo)率。

對(duì)于二維彈性材料而言，應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系式為σ=Dε，其中D為剛度矩陣，剛度矩陣表達(dá)式:

隨著對(duì)磁性材料中磁致伸縮效應(yīng)研究的廣泛深入，研究者們所提出的磁致伸縮本構(gòu)關(guān)系也不僅限一種。假定定子硅鋼片中的磁致伸縮效應(yīng)是各向同性的，并用等效節(jié)點(diǎn)力來模擬磁致伸縮力。利用有限元分析方法對(duì)電機(jī)進(jìn)行單元剖分，則每個(gè)單元節(jié)點(diǎn)在磁場的作用下，由于磁致伸縮效應(yīng)在節(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生磁致伸縮力。當(dāng)定子硅鋼片受到磁場的作用時(shí)，由于磁致伸縮效應(yīng)產(chǎn)生的應(yīng)變是由平行于磁場方向和垂直于磁場方向上的應(yīng)變組成，此時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的之間關(guān)系應(yīng)用的是胡克定律，其表達(dá)式如下［8］:

式中:σ為應(yīng)力;α為材料常數(shù);ε為應(yīng)變;εP為平行于磁場方向上的應(yīng)變變;εv為垂直于磁場方向上的應(yīng)變;ν為泊松比;E為楊氏模量。

假設(shè)在剖分單元ie上的等效節(jié)點(diǎn)ip上磁致伸縮力和位移分別為fip和uip。在單元上的節(jié)點(diǎn)的ip位移示意圖如圖2所示。則在單元節(jié)點(diǎn)上的位移和

圖2 等效節(jié)點(diǎn)位移示意圖

磁致伸縮力:

式中:K為剛度矩陣，iv為垂直于磁場強(qiáng)度的單位矢量，ip為平行于磁場強(qiáng)度的單位矢量。

第三種磁致伸縮本構(gòu)方程是從硅鋼片被磁化的角度來研究。在二維電機(jī)中主要研究電機(jī)定子齒徑向和垂直于徑向方向上的磁致伸縮。它在任意方向的磁致伸縮量的表達(dá)式如下［9］:

式中:λi為i方向上的磁致伸縮量;λs為磁致伸縮常數(shù);Mi為i方向上磁性材料的磁化強(qiáng)度;Ms為磁性材料的飽和磁化強(qiáng)度項(xiàng)表明當(dāng)沒有任何磁場存在的情況，磁性材料中的磁矩是隨機(jī)取向的。當(dāng)假設(shè)的材料有足夠的預(yù)應(yīng)力，使得所有的磁矩都垂直于磁化過程開始時(shí)的磁場方向時(shí)可以將式(9)中的忽略掉，從而簡化為下式:

應(yīng)用以上3種不同的磁致伸縮本構(gòu)方程來仿真永磁電機(jī)在變化的磁場作用下，定子硅鋼片受磁致伸縮效應(yīng)影響的磁通密度、應(yīng)力和應(yīng)變。在電機(jī)圖中分別選取定子齒根部、齒頂部的幾個(gè)點(diǎn)來研究相關(guān)參量。通過比較這3種本構(gòu)方程作用下的結(jié)果，得出幾種不同本構(gòu)方程的異同和對(duì)結(jié)果產(chǎn)生的影響。

2 結(jié)果分析

應(yīng)用3種本構(gòu)關(guān)系方程式對(duì)永磁電機(jī)仿真得到的0．01 s時(shí)的磁通密度結(jié)果分布圖和采樣點(diǎn)13在0～0．005 s處的3種本構(gòu)關(guān)系下參考點(diǎn)的磁通密度B1，B2，B3分別如圖3和表2所示。

圖3 永磁同步電機(jī)磁通密度分布圖

應(yīng)力在0～0．01 s之間的磁致伸縮力密度均值如表3所示。

表2 采樣處0～0．005 s時(shí)的磁通密度

表3 樣點(diǎn)磁致伸縮力密度均值

通過對(duì)比3種本構(gòu)關(guān)系下的磁通密度圖和采樣處0～0．01 s時(shí)的磁通密度值表明:應(yīng)用3種不同的磁致伸縮本構(gòu)關(guān)系仿真得出的電機(jī)的內(nèi)部磁通密度的分布及大小并無太大的差別。同時(shí)也可以直觀地看到在電機(jī)中磁通密度模值較大的部分是定子硅鋼片的定子齒部。因此磁致伸縮效應(yīng)引起的應(yīng)力較大的分布位置主要是在定子齒根部、齒頂部的部位。

另外，通過仿真還得到了8個(gè)參考點(diǎn)處隨時(shí)間變化的磁致伸縮力密度時(shí)域圖，以及樣點(diǎn)13處0～0．02 s之間的位移數(shù)值大小。由此可以了解電機(jī)磁致伸縮力隨時(shí)間變化的大小、規(guī)律和位移大小。應(yīng)用3種本構(gòu)關(guān)系仿真得到的磁致伸縮力密度隨時(shí)間變化的時(shí)域圖和位移數(shù)值如圖4、表4所示。

圖4 永磁同步電機(jī)磁致伸縮力密度

表4 樣點(diǎn)13 3種本構(gòu)方程下的位移數(shù)值

通過對(duì)應(yīng)力密度均值的對(duì)比分析可知，電機(jī)定子硅鋼片在磁場的作用下定子齒根部的應(yīng)力模值要大于齒頂部的應(yīng)力模值，因此由磁致伸縮效應(yīng)引起的應(yīng)力會(huì)導(dǎo)致電機(jī)定子硅鋼片的振動(dòng)和形變。了解磁致伸縮效應(yīng)對(duì)電機(jī)產(chǎn)生的應(yīng)力，并由此引起的振動(dòng)對(duì)解決電機(jī)中振動(dòng)噪聲問題提供了研究的方向。

通過數(shù)據(jù)比較得出：應(yīng)用不同的磁致伸縮本構(gòu)方程仿真得出的應(yīng)力的變化頻率隨時(shí)間基本成周期性變化關(guān)系，而且變化的頻率約為供電頻率的2倍關(guān)系，且在大約100 Hz處達(dá)到最大值。并且，3種本構(gòu)方程下的電機(jī)應(yīng)力和位移數(shù)值大小卻有著數(shù)量級(jí)的差異。經(jīng)對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，利用線性壓磁方程得到的振動(dòng)位移數(shù)據(jù)與從磁化角度得到的數(shù)據(jù)較為接近。

3 結(jié) 語

應(yīng)用不同磁致伸縮本構(gòu)方程仿真得到的電機(jī)磁通密度的大小及分布大體上是相同的，而且都表現(xiàn)出來的是在定子的齒根部和齒頂部磁通密度比較大。

結(jié)果表明，永磁電機(jī)受磁致伸縮效應(yīng)影響產(chǎn)生的應(yīng)力和應(yīng)變主要是定子齒根部和齒頂部較大。而且應(yīng)力的變化的頻率是電機(jī)供電頻率的2倍。且齒根部的應(yīng)力模值大于齒頂部應(yīng)力模值。3種方程所得出的磁通密度的模值及分布無明顯差別，而應(yīng)力、位移的模值卻有著數(shù)量級(jí)的差異。且線性壓磁方程下得到的數(shù)據(jù)與先前研究者們實(shí)驗(yàn)條件下得到的磁致伸縮數(shù)據(jù)更為接近，考慮電磁－機(jī)械之間的相互耦合使預(yù)測的結(jié)果更接近于實(shí)際。通過對(duì)不同本構(gòu)方程的研究為預(yù)估分析電機(jī)中由磁致伸縮效應(yīng)引起的應(yīng)力、應(yīng)變等提供了合適的耦合方程與方法。

［1］ 祝麗花，楊慶新，閆榮格，等．考慮磁致伸縮效應(yīng)電力變壓器振動(dòng)噪聲的研究［J］．電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2013，28（4）：1－7．

［2］ 劉鳴，景建方．降低電機(jī)噪聲的方法研究［J］．船電技術(shù)，2011，31（12）：21－24．

［3］ BELA HCEN A ．Vibr ation of r otating electrical machines due to magnetomechanical coupling and magnetostriction ［J］．IEEE Tr ansactions on Magnetics，2006，42（4）：971－974．

［4］ SOMKUN S，Anthony J．Moses，Philip I．Anderson．Ef f ect of magnetostriction anisotr opy in Nonoriented electrical steels on def or mation of Induction motor stator cores［J］．IEEE Tr ansactions on Magnetics，2009，45（10）：4744－4747．

［5］ 韓雪巖，張哲，吳勝男，陳健．考慮磁致伸縮效應(yīng)永磁電機(jī)的振動(dòng)噪聲研究［J］．電工電能新技術(shù)，2015，34（1）：28－34．

［6］ 張艷麗，李強(qiáng)，王洋洋，等．諧波磁場下硅鋼片磁致伸縮特性分析［J］．電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2015，30（14）：544－549．

［7］ 張艷麗，孫小光，謝德馨，等．無取向電工鋼片磁致伸縮特性測量與模擬［J］．電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2013，28（11）：176－182．

［8］ GAO Yanhui，MURA MATSU K，et al．Vibr ation anal ysis of a reactor driven by an inverter power suppl y considering electro magnetism and magnetostriction ［J］．IEEE Tr ansactions on magnetics，2009，45（10）：4789－4792．

［9］ ZHANG Xin，YANG Qingxin，ZHANG Xian．Nu merical anal ysis of stress in the l ar ge per manent magnet motor stator cores incl uding magnetostriction ef f ects［J］．Inf or mation Technology Jour nal，2013，12（12）：8235－8241．