一類圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題的多視角探究

筅浙江省諸暨市海亮高級(jí)中學(xué)沈鐵表

一類圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題的多視角探究

筅浙江省諸暨市海亮高級(jí)中學(xué)沈鐵表

同一類型的問(wèn)題，其解法往往有其規(guī)律性，要想減輕課業(yè)負(fù)擔(dān)，從題海中解脫出來(lái)，必須學(xué)會(huì)在解題后對(duì)問(wèn)題的求解方法、常見(jiàn)變式進(jìn)行探究，并發(fā)現(xiàn)歸納知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，挖掘出數(shù)學(xué)思想與方法，總結(jié)概括出解題的基本規(guī)律.這樣，既有利于對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)更高層次，又有利于概括思維能力的訓(xùn)練和培養(yǎng).

例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)E到定點(diǎn)（1，0）的距離與它到直線x=-1的距離相等.

（1）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+b與曲線C相切于點(diǎn)P，與直線x=-1相交于點(diǎn)Q.證明：以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M（1，0）.

解析：（1）y2=4x.（過(guò)程略）

設(shè)切點(diǎn)P（x0，y0），

故以PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）.

點(diǎn)評(píng)：以PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)M，則有MP⊥MQ，從而可利用向量數(shù)量積為0或斜率之積為-1來(lái)求解.

下面從多個(gè)視角對(duì)此類定值問(wèn)題進(jìn)行探究.

一、改變求解結(jié)論

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)E到定點(diǎn)（1，0）的距離與它到直線x=-1的距離相等.

（1）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+b與曲線C相切于點(diǎn)P，與直線x=-1相交于點(diǎn)Q.證明：以PQ為直徑的圓恒過(guò)x軸上某定點(diǎn).

解析：（1）y2=4x.（過(guò)程略）

（2）聯(lián)立消去x得ky2-4y+4b=0，因?yàn)橹本€l與拋物線相切，所以Δ=16-16kb=0，即b=，所以直線l的方程為y=kx+.

點(diǎn)評(píng)：本題將所求結(jié)論改為定點(diǎn)的探索型問(wèn)題，求解的關(guān)鍵是找出滿足條件的參數(shù)關(guān)系式，即可判定所過(guò)的定點(diǎn).

二、改變求解策略

例3同例2.

解析：（1）y2=4x.（過(guò)程略）

設(shè)切點(diǎn)P（x0，y0），則

令k=1，則P（1，2），Q（-1，0），PQ中點(diǎn)為（0，1），|PQ|=，所以以PQ為直徑的圓的方程為x2+（y-1）2=2.令y=0，得x=1，所以圓與x軸的交點(diǎn)為M（1，0）.下面證明M（1，0）即為所求的定點(diǎn).

故以PQ為直徑的圓恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)（1，0）.

點(diǎn)評(píng)：本解法通過(guò)取k的特殊值，將圓的方程特殊化，從而得出該圓與x軸的交點(diǎn)，再通過(guò)證明該點(diǎn)即為所求的定點(diǎn).這種從特例入手，驗(yàn)證一般的處理方法，既能快速明確目標(biāo)，又減少了大量的繁雜計(jì)算.

三、改變曲線類型

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q.試探究：x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（x0，y0），所以m≠0且Δ=0，即64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，化簡(jiǎn)得4k2-m2+3=0.①

設(shè)M（x1，0），則對(duì)滿足①式的m，k恒成立.

由于②式對(duì)滿足①式的m，k恒成立，即與m，k的取值無(wú)關(guān)，故整理成（4x1-4）

故存在定點(diǎn)M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)M.

若滿足條件的點(diǎn)存在，則定點(diǎn)為M（1，0）

下面只需驗(yàn)證點(diǎn)（1，0）是否符合題目條件即可.

故存在定點(diǎn)M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.

點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線，三者具有統(tǒng)一的定義，因此對(duì)于某一曲線所具有的性質(zhì)，可類比遷移到其他曲線，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究，可以有效提高學(xué)生分析、處理問(wèn)題的能力.

綜上，圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題看似沒(méi)有規(guī)律和聯(lián)系，事實(shí)上只要我們作深入思考，就不難發(fā)現(xiàn)其中的奧秘和內(nèi)在的規(guī)律.只要掌握這些規(guī)律和聯(lián)系，解決這類問(wèn)題就顯得很簡(jiǎn)單了.通過(guò)對(duì)這類問(wèn)題的探究，不僅學(xué)會(huì)了一類知識(shí)，還會(huì)大大提高學(xué)生的解題能力.F