例析柯西不等式的應(yīng)用

鄭在田++胡福軍

隨著課改的不斷深入，柯西不等式已經(jīng)成為我們分析和解決問(wèn)題的不可缺少的工具. 本文通過(guò)幾道例題對(duì)柯西不等式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用加以總結(jié)，以期對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助.

柯西不等式的一般形式如下：設(shè)為實(shí)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)或存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得時(shí)，等號(hào)成立.

在證明不等式中的應(yīng)用

例1 已知，

求證：

證明

點(diǎn)評(píng) 使用柯西不等式要緊扣三點(diǎn)：（1）確定不等號(hào)的方向；（2）注意觀察不等號(hào)兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，要經(jīng)過(guò)恰當(dāng)變形，化為符合公式的結(jié)構(gòu)形式；（3）注意取等號(hào)的條件. 本題中式子的分母不能再作變化，因此將括號(hào)外面配湊成能夠與之約分的式子，故考慮題中所給的方法.

在求值方面的應(yīng)用

例2 若（ ）

A. B. 2

C. D.

解析 由題意和柯西不等式得，

.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

答案 B

點(diǎn)評(píng) 通過(guò)觀察知，的結(jié)構(gòu)符合柯西不等式的二維結(jié)構(gòu)，利用公式后能得到一個(gè)常數(shù)，驗(yàn)證式子成立. 因此只需考慮取等號(hào)的條件，即可求得.

在求最值方面的應(yīng)用

例3 已知，求的最小值.

解析

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.

的最小值為.

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)的形式及這個(gè)特殊條件，結(jié)合柯西不等式的形式特征，構(gòu)造出符合柯西不等式結(jié)構(gòu)特征的式子，從而求出最值. 這種通過(guò)觀察、分析題中式子結(jié)構(gòu)得證的方法是應(yīng)用柯西不等式的常規(guī)思路.

在解析幾何中的應(yīng)用

例 4 已知橢圓與直線相切，求切點(diǎn)的坐標(biāo).

解析 設(shè)切點(diǎn)

則

由柯西不等式得，

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.

代入直線方程得，

故切點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，）.

點(diǎn)評(píng) 本題的背景是解析幾何，常規(guī)方法是求導(dǎo)或者利用方程的求解. 如果能轉(zhuǎn)換思想，跳出解析幾何求解的定勢(shì)思維，發(fā)現(xiàn)有乘積的和為定值的結(jié)構(gòu)和平方和為定值的結(jié)構(gòu)，因此可以仿照例2的方法證明，利用取等號(hào)條件求解.

在求參數(shù)范圍問(wèn)題中的應(yīng)用

例5 已知實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍.

解析 由得，

.

由得，

.

.

故的取值范圍是

點(diǎn)撥 本題巧妙地將看作三維柯西不等式的基本量，為要求的參數(shù)，觀察到式子結(jié)構(gòu)均符合柯西不等式應(yīng)用的基本特征，最后可以構(gòu)造關(guān)于的不等式求解. 此題的突破口是將和其他幾個(gè)變量分離，依此方法亦可求其他幾個(gè)變量的取值范圍. 因此柯西不等式是消除多個(gè)變量的一個(gè)重要手段.

在解方程問(wèn)題中的應(yīng)用

例6 設(shè)，且滿足：，，求的值.

解析 由柯西不等式得，

①.

而

在①式中，由柯西不等式取等號(hào)的條件得，②.

將②式與聯(lián)立解得，

點(diǎn)評(píng) 本題與例4、例5的結(jié)構(gòu)類似，但結(jié)果不是求范圍而是求具體值，因此仍可考慮利用柯西不等式成立的條件解題. 一般地，三個(gè)未知數(shù)、兩個(gè)方程是不能求解的，若能求解則成立情況有其特殊性，而柯西不等式等號(hào)成立的條件剛好可以滿足這些，并且可以得到比原來(lái)更容易的等式，再結(jié)合其他已知條件求解即可.

在解函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

例7 已知

求證：.

證明

，

由柯西不等式得，

令

則

當(dāng)>0時(shí)，>0.

當(dāng)<0時(shí)，<0.

函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

故.

.

點(diǎn)評(píng) 本題的背景為函數(shù)，常規(guī)方法是：先求導(dǎo)，再利用函數(shù)的最值求證. 但經(jīng)過(guò)配方后利用柯西不等式巧妙化去參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值. 對(duì)于這類問(wèn)題，一般很難想到柯西不等式，因此利用柯西不等式求解此類問(wèn)題要求大家對(duì)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征和作用非常熟悉. 另外，巧妙消參是柯西不等式的重要作用之一.

在解數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用

例8 已知數(shù)列的通項(xiàng)為，

求證：

證明

點(diǎn)評(píng) 求解此類不等式的常規(guī)方法是將進(jìn)行放縮，然后借用等比數(shù)列求和或者裂項(xiàng)相消法求和得證. 考慮到它具有和的結(jié)構(gòu)，可以配湊出相應(yīng)式子，變換出，最后利用等比數(shù)列求和公式求證. 本題的解法巧妙在變換出的式子，該式可以直接應(yīng)用等比數(shù)列求和.

柯西不等式的結(jié)構(gòu)對(duì)稱，功能強(qiáng)大，應(yīng)用非常廣泛，如果能熟記公式，深刻理解其內(nèi)涵，將會(huì)在很多題型中起到事半功倍的作用. 應(yīng)用的關(guān)鍵是要在熟悉公式的基礎(chǔ)下恰當(dāng)變形，變形方式一般有等價(jià)變形、配相應(yīng)輔助式、合理?yè)Q元、配系數(shù)等技巧.