提高探究實(shí)效 培養(yǎng)思維能力*

●葉會(huì)新 (玉城中學(xué) 浙江玉環(huán) 317600)

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提高探究實(shí)效 培養(yǎng)思維能力*

●葉會(huì)新 (玉城中學(xué) 浙江玉環(huán) 317600)

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》提出要提高課堂教學(xué)效率，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極思考，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，主動(dòng)構(gòu)建，掌握解題規(guī)律；重視反思，探究新解，提升分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生探究的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

探究；思維品質(zhì)；思維策略

蘇霍姆林斯基說(shuō)：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探究者.”探究式學(xué)習(xí)作為新課程改革大力提倡的學(xué)習(xí)方式之一，改變了課堂教學(xué)沉悶的現(xiàn)狀，讓課堂充滿了生機(jī)，能讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思維.新課程實(shí)施以來(lái)，教師的觀念得到明顯改變，在教學(xué)中增強(qiáng)了引導(dǎo)學(xué)生探究的意識(shí).然而，在教學(xué)中仍然存在探究目標(biāo)不明確、探究途徑缺乏、為探究而探究等現(xiàn)象.如何改善這些現(xiàn)象是值得思考的問(wèn)題，筆者從“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”出發(fā)，在教學(xué)中注重探究的實(shí)效，從6個(gè)方面加以闡述，與同仁們交流.

1 重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依靠模仿和記憶.在立體幾何的判定定理教學(xué)中,教師應(yīng)充分重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生動(dòng)手操作,體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程，這是培養(yǎng)學(xué)生探究能力的有效方法之一．

案例1 2個(gè)立體幾何問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

1)在教學(xué)“直線與平面垂直的判定”時(shí)，教師在課前要求學(xué)生準(zhǔn)備好三角形紙片，上課時(shí)要求學(xué)生過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上．讓學(xué)生觀察紙片與桌面的位置關(guān)系，并提出如下問(wèn)題：折痕與桌面垂直嗎？為什么不會(huì)垂直？如何改進(jìn)使其垂直？你認(rèn)為2者垂直的理由是什么？從中發(fā)現(xiàn)定義難以操作，進(jìn)而得出直線與平面垂直的判定方法．

課本中安排這個(gè)探究題作為定理的前奏，目的是想讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)到展開思考，再進(jìn)行合情推理的數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程．為此，在操作過(guò)程中，要給學(xué)生提供充分思考與發(fā)現(xiàn)的時(shí)間．在折紙的過(guò)程與后續(xù)思考中，滲透了變與不變的辯證關(guān)系，學(xué)生能感受到運(yùn)動(dòng)中蘊(yùn)涵著靜止，并從中培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)與探究的能力．

2)在教學(xué)“面面平行的判定定理”時(shí)，教師提出“怎樣檢測(cè)教室的地面是否平整，你知道泥水匠是用什么來(lái)檢測(cè)的呢”,從而引出使用水平儀測(cè)量的方法.教師順勢(shì)提供準(zhǔn)備好的水平儀，讓學(xué)生分組合作進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，并提出“在什么情況下地面是平整的”，再讓學(xué)生進(jìn)行交流，選擇一個(gè)代表發(fā)言．“為什么要讓教室的地面平整呢”,實(shí)際上真正的目的是為了讓教室平面與水平面保持平行．之后，進(jìn)一步追問(wèn)“怎樣判斷2個(gè)平面平行呢”,上述的教學(xué)設(shè)計(jì)既符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，也順應(yīng)課程標(biāo)準(zhǔn)的“直觀感知、操作確認(rèn)”,課堂教學(xué)要讓學(xué)生理解探究的意義，掌握好數(shù)學(xué)本質(zhì)的特征[1].

2 注重問(wèn)題遞進(jìn)，逐步建構(gòu)概念

人教社章建躍博士認(rèn)為：“如何設(shè)法在學(xué)生學(xué)習(xí)中融入問(wèn)題解決的成分，‘問(wèn)題串’是一種行之有效的方法．”在數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)過(guò)程中，如果能設(shè)計(jì)好精細(xì)化的問(wèn)題串，就能夠把問(wèn)題化大為小，化抽象為具體，能使學(xué)生的目標(biāo)具體化，知識(shí)的構(gòu)建層次化，思維的活動(dòng)縝密化，從而獲得較為清晰的新知，也為數(shù)學(xué)概念的有效教學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)[1]．

案例2 人教A版《數(shù)學(xué)(必修1)》第1.3.1節(jié)“函數(shù)的單調(diào)性”(第1課時(shí))的教學(xué)設(shè)計(jì)片段

教師在學(xué)生畫圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像獲得信息，第1個(gè)圖像從左到右逐漸上升，y隨x的增大而增大，第2個(gè)圖像從左到右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學(xué)生明確，當(dāng)自變量變化時(shí)，若函數(shù)值具有這2種變化規(guī)律，則將這2種函數(shù)分別稱為增函數(shù)和減函數(shù)．后2個(gè)函數(shù)圖像有上升和下降，需要分段說(shuō)明．

問(wèn)題2 能否根據(jù)自己的理解說(shuō)說(shuō)什么是增函數(shù)和減函數(shù)？

圖1

學(xué)生的困惑之處是分界點(diǎn)的位置難以確定，因此教師可適時(shí)組織學(xué)生討論，把研究函數(shù)的圖像問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的解析式．

問(wèn)題4 如何從解析式的角度說(shuō)明函數(shù)y=x2在[0,+∞)上是增函數(shù)？

在教學(xué)中，首先組織學(xué)生分組探究，然后全班交流，相互補(bǔ)充，并對(duì)學(xué)生的想法作出及時(shí)評(píng)價(jià)，對(duì)其中出現(xiàn)的主要問(wèn)題進(jìn)行討論，讓學(xué)生在辨析中達(dá)成共識(shí)．

問(wèn)題5 判斷下列命題是否正確：

1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)>f(1)，則函數(shù)在R上是增函數(shù)；

2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)>f(1)，則函數(shù)在R上不是減函數(shù)；

4)若函數(shù)f(x)在(2,3]和(3,4)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在(2,4)上為增函數(shù)；

通過(guò)上述問(wèn)題串的設(shè)計(jì)、探究，學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般、從定性分析到定量分析，培養(yǎng)了學(xué)生的能力，也順利解決了本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)．

3 運(yùn)用變式探究，激活學(xué)生思維

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，特別是二輪復(fù)習(xí)，為了提高課堂教學(xué)的有效性和針對(duì)性，讓學(xué)生有更多時(shí)間關(guān)注本質(zhì)問(wèn)題和問(wèn)題的本質(zhì)，提煉通性通法，教師可通過(guò)變式教學(xué)，在變中求進(jìn)、進(jìn)中求通，從而實(shí)現(xiàn)課堂效率的最大化．

在二輪復(fù)習(xí)“離心率”專題中，根據(jù)復(fù)習(xí)教學(xué)的目標(biāo)和學(xué)情，筆者給出下面的例題，之后提出一系列的問(wèn)題變式，對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練．

( )．

(答案：A.)

通過(guò)上述題組的變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比、猜想、特殊和一般化的思想方法，探索問(wèn)題的變化規(guī)律，揭示問(wèn)題的本源，強(qiáng)化學(xué)生的探究意識(shí)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

4 變換思維視角，提高解題能力

數(shù)學(xué)解題教學(xué)的真正價(jià)值在于教師設(shè)置問(wèn)題時(shí)應(yīng)從學(xué)生的心理層面出發(fā)，關(guān)注學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識(shí)的心理過(guò)程，做好相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)典型問(wèn)題解法的探究有助于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解，發(fā)揮其想象力和創(chuàng)造力．

圖2

(2011年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

分析 試題表述簡(jiǎn)潔，考查的重點(diǎn)是思維及運(yùn)算能力.本題的關(guān)鍵是如何處理好直線、單位圓和橢圓的位置關(guān)系，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找變量之間的函數(shù)關(guān)系，最后歸結(jié)為求函數(shù)的最值問(wèn)題.那么，如何構(gòu)造滿足題意的函數(shù)呢？可從以下6個(gè)視角切入并展開分析．

視角1 解析幾何題要充分利用幾何條件，發(fā)現(xiàn)幾何規(guī)律、簡(jiǎn)化解題方案．在本題中，教師可用幾何畫板先探究△ABF的周長(zhǎng)(注：點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn))是定值，再引導(dǎo)學(xué)生證明.解題過(guò)程要善于挖掘出這一隱含條件，通過(guò)△ABF周長(zhǎng)為定值來(lái)搭建橋梁，最后求出|AB|的最大值．

視角2 題中直線與單位圓相切，通過(guò)分析、推理可得|AB|=2S△ABD，借助面積關(guān)系可以求|AB|的最大值．

視角3 設(shè)切線方程為x=ty+m(不可能為水平直線)，直線與圓相切得到m2=t2+1，通過(guò)直線與橢圓方程聯(lián)立得出弦長(zhǎng)|AB|關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,再結(jié)合基本不等式求出最大值．

視角4 設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0)，則切線方程為x0x+y0y=1，下面分析同視角3．

視角5 解決解析幾何問(wèn)題，可利用參數(shù)、向量、三角等手段處理，利用直線和橢圓方程的參數(shù)幾何意義來(lái)求距離的最大值．

從以上6個(gè)視角的分析可以看出，解析幾何的本質(zhì)特征是幾何問(wèn)題代數(shù)化，要學(xué)會(huì)透過(guò)幾何問(wèn)題的表征抓住問(wèn)題的本質(zhì)，通過(guò)多元聯(lián)系形成解題的多元化.因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中要找準(zhǔn)問(wèn)題，精準(zhǔn)發(fā)力.

5 強(qiáng)化縱向探究，優(yōu)化思維品質(zhì)

高效課堂應(yīng)該構(gòu)筑縱向探究的高地，學(xué)生思維品質(zhì)的原野才能郁郁蔥蔥.因此，教師的教學(xué)應(yīng)該是在問(wèn)題呈現(xiàn)之后，引導(dǎo)學(xué)生不斷地思考、分析、探索和解決問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生深入地挖掘、探究問(wèn)題.

性質(zhì)1 圓的弦AB的斜率與其中點(diǎn)M和圓中心O連線的斜率之積kAB·kOM=-1(定值)．

由上述性質(zhì)可得如下定理：

定理1 有心圓錐曲線的動(dòng)弦的斜率與其中點(diǎn)和圓錐曲線中心的連線的斜率之積為定值．

再進(jìn)一步思考：通過(guò)類比，大家猜想一下橢圓中可能還存在哪些斜率乘積為定值呢？比如，例3中橢圓上任意一點(diǎn)P的切線斜率和OM的斜率乘積等.

1)點(diǎn)A，B為雙曲線C上任意的點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，若AB，OP的斜率存在且不為0，則kAB·kOP是否為定值？

2)點(diǎn)P為C上除頂點(diǎn)外任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線l與雙曲線相切．若直線l的斜率為k且不為0，則k·kOP是否為定值？

3)過(guò)原點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于點(diǎn)A，B，P為C上任意一點(diǎn)．若直線PA，PB的斜率存在且不為0，則kPA·kPB是否為定值[3]？

數(shù)學(xué)探究的一小步，就是學(xué)生的自主意識(shí)、探究能力提升的一大步．教師只有通過(guò)有效的數(shù)學(xué)探究，學(xué)生的思維能力才能進(jìn)一步提升，思維品質(zhì)也將逐步得以優(yōu)化．

6 重視反思總結(jié)，優(yōu)化思維策略

反思是通向數(shù)學(xué)創(chuàng)造的捷徑，是發(fā)生創(chuàng)新思維的絕佳方式，教師要重視解題反思習(xí)慣的培養(yǎng)，重視聯(lián)想、類比，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考問(wèn)題；通過(guò)反思改善學(xué)生的思路分析能力，優(yōu)化思維方向與策略的選擇，進(jìn)一步提升學(xué)生的解題思維水平．

從上述例2中不同視角的分析來(lái)看，對(duì)于相同的條件、不同的角度、不同的理解會(huì)產(chǎn)生不同的方法．視角1多次使用了“若點(diǎn)在曲線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程”的基本觀點(diǎn)，同時(shí)抓住了△ABF周長(zhǎng)為定值這一隱含條件，使問(wèn)題得以突破解決，值得在高考復(fù)習(xí)中探討；視角2～4通過(guò)直線與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和兩點(diǎn)間的距離公式將|AB|表示出來(lái)，并通過(guò)均值定理求出最值，雖然運(yùn)算量較大，但屬于通性通法;視角5、視角6從直線和橢圓的參數(shù)角度去分析，方法也較常規(guī)．這些視角的分析說(shuō)明了:解析幾何的求解首先要基于通性通法，其次要注意與其他知識(shí)、方法的聯(lián)系，如三角代換等．同時(shí)，審題中要善于挖掘隱含條件，抓住問(wèn)題中的關(guān)鍵點(diǎn)，這些會(huì)切實(shí)減少運(yùn)算量．對(duì)于不同的視角及其相應(yīng)的方法，要進(jìn)行優(yōu)劣比較，注意其不同的適用條件，不斷優(yōu)化思維的方向與策略．

再比如在例3中，教師必須強(qiáng)調(diào)方法的共性，要讓學(xué)生明白為什么會(huì)有類似的結(jié)論,尋找這種共性產(chǎn)生的原因，發(fā)現(xiàn)相關(guān)問(wèn)題都是二次曲線的本質(zhì)聯(lián)系，從而形成一種系統(tǒng)性的思維視角．學(xué)生只有學(xué)會(huì)總結(jié)反思，學(xué)會(huì)感悟，知識(shí)才能內(nèi)化、遷移為自己所有，才能形成真正的能力.總之，方法不在巧，重在得當(dāng)，重在反思，善于反思．

荷蘭著名的數(shù)學(xué)家弗賴登塔指出：“數(shù)學(xué)知識(shí)不是教出來(lái)的，也不是學(xué)出來(lái)的，而是研究出來(lái)的．”因此在平時(shí)的教學(xué)中,教師應(yīng)自覺(jué)開展數(shù)學(xué)探究，創(chuàng)設(shè)有利于探究活動(dòng)的環(huán)境，讓問(wèn)題探究意識(shí)的培養(yǎng)真正在課堂中扎根，不斷提高數(shù)學(xué)課堂的效率，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)效性．

[1] 于新華．?dāng)?shù)學(xué)課堂中實(shí)施探究的思考與實(shí)踐[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2014(12)：14-16．

[2] 王芝平，王坤．高考必做的36道壓軸題[M]．北京：外語(yǔ)教學(xué)與研究出版社，2013．

[3] 王尚志，張思明．走進(jìn)高中數(shù)學(xué)新課程[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2008．

2017-03-13；

2017-04-14

葉會(huì)新(1973-)，男，浙江玉環(huán)人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)06-41-04