用軌跡法探求存在性問題*

●張向武 (安陽實驗中學 浙江瑞安 325200)

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用軌跡法探求存在性問題*

●張向武 (安陽實驗中學 浙江瑞安 325200)

隨著課改的推進以及教材的修改，點的軌跡內(nèi)容似乎淡出了初中數(shù)學課，但近幾年的中考數(shù)學壓軸題往往都是由動點引發(fā)的存在性問題.其實在學生剛學習幾何圖形時已經(jīng)知道點動成線、線動成面、面動成體，因此初中階段不僅要關(guān)注培養(yǎng)學生的方程思想，更應培養(yǎng)學生的動點軌跡意識．

軌跡思想；存在性問題；動點

隨著課改的推進以及教材的修改，點的軌跡內(nèi)容似乎淡出了初中數(shù)學課，不過在高中階段的學習中，軌跡思想有著較為重要的作用[1].近幾年的中考數(shù)學壓軸題往往都是由動點引發(fā)的存在性問題，它不僅能較綜合地考查學生的基礎(chǔ)知識、基本技能，更是對學生數(shù)學思維能力的一種挑戰(zhàn)．學生碰到這類題時如果不得其法，往往會知難而退．面對這樣的問題，筆者在教學過程中也常常思考：怎么樣才能讓學生更好地運用所學知識？不能因為圖形在動就不知所措，從而忽略了問題的本質(zhì)．其實學生剛學習幾何圖形時已經(jīng)知道點動成線、線動成面、面動成體，因此筆者認為初中階段不僅要培養(yǎng)學生的方程思想，更應培養(yǎng)學生的動點軌跡意識.本文主要談談如何用軌跡法探求存在性問題，希望對廣大師生有所幫助．

1 介紹幾種常見的點的軌跡

圖1 圖2

圖3 圖4 圖5

1)到2個定點距離相等的點(如圖1：中垂線)；

2)到一個角的2邊距離相等的點(如圖2：角平分線)；

3)到一定直線距離等于定長的點(如圖3：2條平行線)；

4)到一定點距離等于定長的點(如圖4：圓)；

5)與2個定點連線的夾角為定值的點(如圖5：2條等弧).

2 軌跡法應用舉例

2.1 圖形存在性問題

圖6

例1 如圖6，拋物線y=x2-2x-3交x軸于點A，B，交y軸于點C，頂點為D，且點M為對稱軸上的一個動點.

1)當△MBD為等腰三角形時，求點M的坐標；

2)當△MAC為直角三角形時，求點M的坐標；

4)當60°≤∠AMB≤90°時，求點M縱坐標的取值范圍.

分析 第1)小題考查的是等腰三角形的存在性問題，其中點B，D為2個定點，動點M原有的軌跡是拋物線的對稱軸，而要使△MBD為等腰三角形，則需分類討論如下：當MB=MD時，其軌跡為BD的中垂線；當BD=BM或BD=DM時，其軌跡分別為以點B,D為圓心、BD為半徑的圓．綜上所述，所有符合要求的點M的軌跡是兩圓一線和原有軌跡拋物線對稱軸的交點(即圖7中的點M1,M2,M3,M4)．

圖7 圖8

第2)小題考查的是直角三角形的存在性問題，其中點A，C為定點，動點M原有的軌跡是拋物線的對稱軸，而要使△MAC為直角三角形，需分類討論如下：當∠AMC=90°時，其軌跡是以AC為直徑的圓；當∠MAC=90°或∠MCA=90°時，其軌跡分別為過點A,C且垂直于AC的直線．綜上所述，所有符合要求的點M的軌跡是兩線一圓和原有軌跡拋物線對稱軸的交點(即圖8中的點M1,M2,M3,M4)．

第3)小題是附加面積關(guān)系的圖形存在性問題，其中AB的長度為定值，動點M原有的軌跡是拋物線的對稱軸，而要使△MAB的面積為定值，需滿足點M到AB的距離為定值，其軌跡為2條平行線，所有符合要求的點M的軌跡是2條平行線和原有軌跡拋物線對稱軸的交點(即圖9中的點M1,M2,M3,M4)．

圖9 圖10

第4)小題是附加特定角的數(shù)量關(guān)系的圖形存在性問題，其中A，B為定點，動點M原有的軌跡是拋物線的對稱軸，而要使60°≤∠AMB≤90°，需找到滿足M到定點A,B連線的夾角為60°和90°的狀態(tài)點，其軌跡分別為2條圓弧，符合要求的點M的軌跡是4條圓弧和原有軌跡拋物線對稱軸的交點(即圖10中的點M1,M2,M3,M4)，因此M1M2和M3M4就是點M的運動范圍．

2.2 最值存在性問題

例2 如圖11，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，E為AD的中點，點P，Q分別是射線AB，BC上的動點，且AP=BQ，線段AQ，EP交于點G，聯(lián)結(jié)CG，則CG的最小值為______.

圖11 圖12

分析 本題是關(guān)于動點G到定點C的距離最值問題.首先考慮動點G的運動軌跡是直線還是曲線.分析已知條件可得△ABQ≌△EAP,進一步得到AQ⊥EP；然后運用軌跡思想把問題轉(zhuǎn)化為點G到定點A,E連線的夾角為90°的軌跡上的點和定點C之間距離的最值問題，如圖12，當圓心O和點G,C共線時，CG取最小值．

3 中考鏈接

例3 如圖13，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C(0，3)．

1)求拋物線的解析式.

2)若點M是拋物線在軸下方上的動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求線段MN的最大值.

3)在第2)小題的條件下，當MN取得最大值時，在拋物線的對稱軸l上是否存在點P，使△PBN是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

(2016年福建省漳州市數(shù)學中考試題第24題)

圖13 圖14

分析 本題的第3)小題同例1第1)小題，通過軌跡法判斷滿足△PBN是等腰三角形的點P的軌跡是兩圓一線(如圖14)，與對稱軸的交點分別為P1，P2，P3，P4，P5.

1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式和點B的坐標.

2)如圖16，過BC的中點D作DP∥x軸，交反比例函數(shù)圖像于點P，聯(lián)結(jié)AP，OP.

圖15 圖16

①求△AOP的面積；

(2016年山東省濟南市數(shù)學中考試題第26題)

圖17

圖18 圖19

例5 如圖18，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=x與二次函數(shù)y=x2+bx的圖像相交于點O，A，點A(3，3)，點M為拋物線的頂點.

1)求二次函數(shù)的表達式.

3)問：直線OA上是否存在點E，使得點E關(guān)于直線MA的對稱點F滿足S△AOF=S△AOM？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

(2016年江蘇省常州市數(shù)學中考試題第27題)

圖20 圖21

例6 如圖20，菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60°，P是AB上一點，BP=3，Q是CD邊上一動點，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A′的對應點為A.當CA′的長度最小時，CQ的長為

( )

(2016年湖北省鄂州市數(shù)學中考試題第10題)

分析 本題同例2，通過軌跡法把問題轉(zhuǎn)化為定點C到以點P為圓心、PA為半徑的軌跡⊙P上的動點A′之間的最值問題.如圖21，當圓心P和點A′，C共線時，CA′取最小值.故選B.

4 小結(jié)

解題是數(shù)學學習的一個核心內(nèi)容和一種最基本的活動形式[2]，通過解題活動才能讓學生對數(shù)學思想方法有所領(lǐng)悟，然后又可以運用其解決一類數(shù)學問題．本文列舉的動點存在性問題常常由主動點引起隨動點，它們相互之間會存在某種依賴關(guān)系，從而引起線動和形動，但歸根結(jié)底是因為點動.如果能注意并弄清關(guān)鍵點的運動軌跡，運用軌跡思想就能準確地化動為靜，找到運動中的不變量，最后綜合運用數(shù)學的相關(guān)知識有效解題．

[1] 張克玉．運用軌跡思想 巧解有關(guān)問題[J]．中學數(shù)學教學(數(shù)學)，2015(6)：37-39.

[2] 羅增儒．解題教學引論[M]．西安：陜西師范大學出版社，2001.

2017-02-19；

2017-03-21

張向武(1976-)，男，浙江瑞安人，中學高級教師．研究方向：數(shù)學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)06-38-03