利用Free Search算法推求水位流量關(guān)系曲線

龐紅偉 王斌 朱士江

摘要建立適宜的水位流量關(guān)系是水文資料整編工作的核心內(nèi)容，但基于最小二乘法與殘差平方和最小原則的傳統(tǒng)水位流量關(guān)系曲線推求方法存在精度不高、難以兼顧絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差等問(wèn)題。為此，引入源于動(dòng)物群體遷移行為的自由搜索（Free Search，F(xiàn)S）算法，以殘差平方和、絕對(duì)殘差絕對(duì)值和、相對(duì)殘差絕對(duì)值和作為擬合準(zhǔn)則，將FS單個(gè)動(dòng)物每步探查行走時(shí)的位置向量作為一組參數(shù)值，利用FS算法的動(dòng)物群體遷移行為直接擬合水位流量關(guān)系，從而推求最優(yōu)的水位流量關(guān)系曲線。實(shí)例研究結(jié)果表明，利用FS率定水位流量關(guān)系曲線參數(shù)十分簡(jiǎn)便，尋優(yōu)一次即可得到滿意結(jié)果，且與目標(biāo)規(guī)劃法和遺傳算法相比，擬合精度總體有所提升。

關(guān)鍵詞水位流量關(guān)系曲線；自由搜索；參數(shù)估計(jì)；最小二乘法；優(yōu)化準(zhǔn)則

中圖分類號(hào)P337-3文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼

A文章編號(hào)0517-6611（2017）26-0179-03

Estimating Water Leveldischarge Curve by Free Search

PANG Hongwei1，WANG Bin2*，ZHU Shijiang3（1.Kaifeng Yellow River Management Office，Kaifeng，Henan 475000；2.College of Water Conservancy and Civil Engineering，Northeast Agricultural University，Harbin，Heilongjiang 150030；3.College of Hydraulic and Environmental Engineering，Three Gorges University，Yichang，Hubei 443002）

Abstract To establish the relationship between water level and discharge is an important job of hydrological data reorganization，but it is a low precision method of parameters calibration in water leveldischarge curve using least square method and minimum residual sum of square，and it is difficult to give consideration to the problems such as absolute error and relative error.In this paper，F(xiàn)ree Search （FS），which derived from the animal group migration behavior，was used as a method for estimating water leveldischarge curves.The position vector of each exploratory step for the individual animal was ascertained as an initial water leveldischarge curve by FS.The simulation results showed that the satisfactory results could be achieved by FS for optimizing the water leveldischarge curves，and runoff simulation exhibits relatively high precision water leveldischarge compared with the goal programming method and genetic algorithm.

Key wordsWater leveldischarge curve； Free Search； Parameters estimation； Least square method； Optimization criteria

在天然河流測(cè)驗(yàn)斷面長(zhǎng)期開(kāi)展流量測(cè)定工作比較困難。由于水位與流量關(guān)系密切，且水位隨時(shí)間的變化過(guò)程易于觀測(cè)，因而一般不需要連續(xù)觀測(cè)流量過(guò)程，而是通過(guò)一定次數(shù)的實(shí)測(cè)水位與流量的對(duì)應(yīng)資料建立水位與流量的關(guān)系曲線，再依據(jù)水位流量關(guān)系曲線，把水位變化過(guò)程轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的流量變化過(guò)程，并計(jì)算出各種流量的特征值[1]。在水文站開(kāi)展的流量資料整編內(nèi)容雖多，但其中的核心工作就是建立水位流量關(guān)系，水位流量關(guān)系曲線法也因而成為流量資料整編中最常用、最基本的方法[2-3]。傳統(tǒng)的水位流量關(guān)系曲線擬合方法基于最小二乘法，雖然能夠得到最小的殘差平方和，但求得的水位流量關(guān)系曲線不一定就是最優(yōu)的擬合曲線，在擬合實(shí)測(cè)值時(shí)存在精度低等問(wèn)題[4]。當(dāng)采用絕對(duì)殘差和、相對(duì)殘差和的絕對(duì)值作為評(píng)價(jià)擬合準(zhǔn)則，并采用目標(biāo)規(guī)劃法、遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）等方法率定水位流量關(guān)系曲線參數(shù)能在一定程度上解決這些問(wèn)題[4-5]。然而，目標(biāo)規(guī)劃法和遺傳算法涉及的數(shù)學(xué)計(jì)算過(guò)程或源代碼編程過(guò)程較繁雜，不易被一般的工程技術(shù)人員掌握；遺傳算法還可能出現(xiàn)“早熟”現(xiàn)象，不一定總能獲得全局最優(yōu)解[6-7]。筆者將自由搜索（Free Search，F(xiàn)S）算法[8]引入到水文流量關(guān)系曲線參數(shù)率定中，以期提供一種不過(guò)多依賴專業(yè)經(jīng)驗(yàn)，但效率和精度均較高的水文流量關(guān)系曲線推求方法。

1水位流量關(guān)系曲線及其擬合準(zhǔn)則

通常水位與流量之間呈非線性關(guān)系，當(dāng)采用冪函數(shù)描述二者之間的關(guān)系時(shí)，其數(shù)學(xué)模型為[4]

Q=a1Hα2 （1）

式（1）中，Q為流量（m3/s）；H為水位（m）；a1、a2為待定的模型參數(shù)。在求解參數(shù)a1、a2時(shí)，傳統(tǒng)方法是先將式（1）的冪函數(shù)兩邊分別取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，再基于最小二乘法求出其線性關(guān)系的參數(shù)，最后經(jīng)過(guò)逆變換求得原函數(shù)關(guān)系中的參數(shù)。這種基于最小二乘法的線性間接擬合方法，遵循式（2）所示的殘差平方和最小準(zhǔn)則，計(jì)算工作簡(jiǎn)便，手工即可完成，也可以借助Excel等辦公軟件識(shí)別參數(shù)，所以至今仍被廣大水文工作者使用。

minf=pp=1（Qp-α1Ha2p）2 （2）

然而，當(dāng)由最小二乘法確定式（1）參數(shù)時(shí)，雖然能夠保證轉(zhuǎn)換后的線性關(guān)系殘差平方和最小，但并不能保證未經(jīng)變換的原始非線性關(guān)系的殘差平方和最??；另外，最小二乘法遵循的殘差平方和最小準(zhǔn)則突出了極端值的影響，當(dāng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中存在極端值時(shí)，基于最小二乘法的擬合結(jié)果會(huì)發(fā)生嚴(yán)重偏差；此外，最小二乘法采用的是絕對(duì)殘差，雖然考慮了絕對(duì)殘差的大小，但忽視了相對(duì)殘差（相對(duì)誤差），而在很多情況下，相對(duì)誤差也是反映模型擬合精度的重要指標(biāo)[4]。因此，不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為基于最小二乘法擬合的水位流量關(guān)系曲線就是最優(yōu)的擬合曲線，采用殘差平方和作為擬合的準(zhǔn)則還有待改進(jìn)。

針對(duì)這些問(wèn)題，黃才安[4]提出式（3）和式（4）的絕對(duì)殘差絕對(duì)值和準(zhǔn)則以及相對(duì)殘差絕對(duì)值和準(zhǔn)則，并采用目標(biāo)規(guī)劃方法求解了參數(shù)a1、a2，直接擬合了水位流量關(guān)系，結(jié)果表明所提出的方法擬合精度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)方法。

minf=pp=1|Qp-α1Ha2p| （3）

minf=pp=1|1-α1Ha2p/Qp| （4）

由于上述準(zhǔn)則中的優(yōu)化函數(shù)為復(fù)雜的非線性形式，還包含了絕對(duì)值運(yùn)算，傳統(tǒng)的最小二乘法已不再適用，采用非線性優(yōu)化方法處理起來(lái)也比較繁瑣，而且往往得不到全局最優(yōu)解。FS是一種源于動(dòng)物群體（animals）遷移行為的優(yōu)化算法[8]，動(dòng)物群體憑借多次的離散運(yùn)動(dòng)通過(guò)搜索空間。在搜索過(guò)程中，動(dòng)物個(gè)體（animal）采取探查行走的方式，目的是為了發(fā)現(xiàn)一個(gè)自己偏好的位置，亦即發(fā)現(xiàn)了實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)潛在解，在搜索行為結(jié)束時(shí)群體找到的最優(yōu)位置即為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解[6-8]。因此，該研究采用FS算法擬合水位流量關(guān)系，從而率定水位流量關(guān)系曲線的參數(shù)a1、a2。

2FS在水位流量關(guān)系曲線參數(shù)率定中的應(yīng)用

采用FS率定水位流量關(guān)系曲線參數(shù)時(shí)，設(shè)動(dòng)物群體數(shù)量為m，則動(dòng)物個(gè)體每步探查行走的位置向量對(duì)應(yīng)參數(shù)的一組潛在解。第j個(gè)動(dòng)物通過(guò)T步探查行走得到的位置矩陣可表示為

Aj=a1ja2jaTj=

a11ja12j

a21ja22j

aT1jaT2j （5）

式（5）中，T為探查步伐數(shù)，t=1，2，…，T；Aj為第j個(gè)動(dòng)物T步探查得到的位置矩陣，j=1，2，…，m；Atj為第j個(gè)動(dòng)物第t步探查時(shí)的位置向量；atij為第j個(gè)動(dòng)物第t步探查時(shí)的第i維位置分量（即水位流量關(guān)系曲線的第i個(gè)參數(shù)），i=1，2，…，n，該研究中n=2。

采用隨機(jī)化的初始策略，則：

a0ij=aimin+（aimax-aimin）rand（0，1） （6）

式（6）中，a0ij為第i維位置變量的初始值，即水位流量關(guān)系曲線第i個(gè)參數(shù)的初始值；aimin、aimax為第i維搜索空間的邊界，即水位流量關(guān)系曲線第i個(gè)參數(shù)值變化區(qū)間；rand（0，1） 為介于[0，1]的隨機(jī)數(shù)。

通過(guò)探查行走，更新動(dòng)物個(gè)體位置：

atij=a0ij-Δatij+2Δatijrand（0，1） （7）

式（7）中，Δatij=Rij（aimax-aimin）rand（0，1），Rij為搜索鄰域半徑。

在探查行走過(guò)程中，動(dòng)物個(gè)體的行為可以表示為

fij=f（atij），fj=max（fij） （8）

式（8）中，ftj為第j個(gè)動(dòng)物第t步探查所得的目標(biāo)函數(shù)值；fj為第j個(gè)動(dòng)物t步探查過(guò)程中的最優(yōu)值；信息素Ij更新為

Ij=fj/max（fi） （9）

敏感性Sj更新為

Sj=Smin+ΔSj （10）

ΔSj=（Smax-Smin）rand（0，1） （11）

式（10）（11）中，Smax為最大敏感性；Smin為最小敏感性。

Imax=Smax，Imin=Smin（12）

最后，選擇和決策下一次探查行走的開(kāi)始位置：

a′0ij=aij（Il≥Sj，l=1，2，…，m） （13）

式（13）中，Il為第l個(gè)動(dòng)物散發(fā)的信息素。算法判斷是否滿足設(shè)定的終止條件，如果滿足說(shuō)明已經(jīng)搜索到可以接受的最優(yōu)解，不滿足則繼續(xù)探查搜索。可見(jiàn)，F(xiàn)S算法概念清晰，需要設(shè)置的參數(shù)較少，迭代計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，算法容易編程實(shí)現(xiàn)。

3實(shí)例應(yīng)用

為與以往研究成果對(duì)比，仍采用文獻(xiàn)[4]的某水文站13組水位流量觀測(cè)數(shù)據(jù)（表1），在3種擬合準(zhǔn)則下，采用Matlab語(yǔ)言編制了FS程序，設(shè)定FS動(dòng)物個(gè)數(shù)m=20，探查步數(shù)T=5，迭代2 000次，率定參數(shù)后的水位流量?jī)绾瘮?shù)關(guān)系分別為Q=5.787 1H1.704 3、Q= 4.304 2H1.827 4、Q=4.262 8H1.831 0，每種準(zhǔn)則下的計(jì)算流量、絕對(duì)誤差及相對(duì)誤差見(jiàn)表1，不同準(zhǔn)則下所得的特征值見(jiàn)表2。由于各文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果保留位數(shù)不同且差別較小，為便于比較分析，根據(jù)文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]提供的模型參數(shù)，重新計(jì)算了其殘差平方和、平均絕對(duì)誤差與平均相對(duì)誤差，并保留到小數(shù)點(diǎn)后3位，一并列入表2中。

從表2可以看出，該研究的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[4]、文獻(xiàn)[5]一致，與傳統(tǒng)的基于最小二乘法和殘差平方和最小為準(zhǔn)則的方法相比，當(dāng)以絕對(duì)殘差絕對(duì)值和、相對(duì)殘差絕對(duì)值和為擬合準(zhǔn)則時(shí)，推求的水位流量關(guān)系曲線對(duì)流量實(shí)測(cè)值的擬合精度均有所提升，平均絕對(duì)誤差與平均相對(duì)誤差有所減?。煌瑫r(shí)也能看出，當(dāng)以三準(zhǔn)則之一率定水位流量關(guān)系曲線時(shí)，殘差平方和、平均絕對(duì)誤差、平均相對(duì)誤差三者的增減變化并不完全同步，進(jìn)一步說(shuō)明傳統(tǒng)的水位流量關(guān)系曲線推求方法存在缺陷。此外，對(duì)比該研究與文獻(xiàn)[4]、文獻(xiàn)[5]的研究結(jié)果還能看出，當(dāng)以殘差平方和、絕對(duì)殘差絕對(duì)值和為擬合準(zhǔn)則時(shí)，采用FS率定參數(shù)的水位流量關(guān)系曲線擬合精度優(yōu)于目標(biāo)規(guī)劃法和遺傳算法，所得殘差平方和、平均絕對(duì)誤差均為最小；當(dāng)以相對(duì)殘差絕對(duì)值和為擬合準(zhǔn)則時(shí)，采用FS率定參數(shù)的水位流量關(guān)系曲線擬合精度和遺傳算法相當(dāng)，但優(yōu)于目標(biāo)規(guī)劃法。

4結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)推求水位流量關(guān)系曲線方法存在精度不高、難以兼顧絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差等問(wèn)題，引入FS算法，以殘差平方和、絕對(duì)殘差絕對(duì)值和、相對(duì)殘差絕對(duì)值和作為擬合準(zhǔn)則，利用FS算法率定參數(shù)從而推求最優(yōu)的水位流量關(guān)系曲線，所得目標(biāo)函數(shù)的殘差平方和、絕對(duì)殘差絕對(duì)值和、相對(duì)殘差絕對(duì)值和均小于傳統(tǒng)方法，可以提高水位流量關(guān)系曲線的擬合精度。與目標(biāo)規(guī)劃法和遺傳算法相比，計(jì)算過(guò)程和程序?qū)崿F(xiàn)過(guò)程簡(jiǎn)單，不需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，也不過(guò)分依賴專業(yè)經(jīng)驗(yàn)，且計(jì)算精度總體有所提升，為推求水位流量關(guān)系曲線的提供了一種新途徑。

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45卷26期龐紅偉等利用Free Search算法推求水位流量關(guān)系曲線