探討數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

陳素文

【摘 要】數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和靈魂，是解答數(shù)學(xué)題目的重要指導(dǎo)思想，也是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新數(shù)學(xué)知識(shí)的重要源泉。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，培養(yǎng)學(xué)生解題能力是關(guān)鍵之處，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)。高中試題主要考察學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想及其方法的認(rèn)識(shí)和熟練程度。所以，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中老師應(yīng)該重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)用知識(shí)能力，教學(xué)生解題思維，全面提高學(xué)生的解題能力。本文結(jié)合實(shí)際例題，討論了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想等數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)思想方法 解題技巧 數(shù)形結(jié)合 函數(shù)與方程 轉(zhuǎn)化與化歸

每門學(xué)科在發(fā)展的過程中都會(huì)形成獨(dú)具特色且符合自身發(fā)展特點(diǎn)的思想方法，數(shù)學(xué)也不例外。那么數(shù)學(xué)思想方法到底是什么呢？數(shù)學(xué)思想是指人們認(rèn)知現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，然后通過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的思想結(jié)果，數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)方法則是指把數(shù)學(xué)當(dāng)作工具進(jìn)行科學(xué)研究的方法，事物的狀態(tài)以及關(guān)系變化的過程可以用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)，再經(jīng)過一系列的思維活動(dòng)，推導(dǎo)、運(yùn)算和分析問題最終形成對(duì)事物的解釋。數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法相比較，前者的抽象性和概括水平更高，后者更加具體和豐富，但是數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法更接近數(shù)學(xué)本質(zhì)，內(nèi)容更加深刻。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法之間的關(guān)系相輔相成，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的精神實(shí)質(zhì)和理論基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和實(shí)現(xiàn)手段。兩者都屬于方法論的范疇，也會(huì)被人們概括稱為數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)思想方法是提高學(xué)生解題能力的關(guān)鍵，由于數(shù)學(xué)思想方法經(jīng)過提煉與概括，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)之中，掌握數(shù)學(xué)概念、建立數(shù)學(xué)理論、運(yùn)用解題方法、解決具體問題，都是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的具體表現(xiàn)。數(shù)學(xué)思想方法屬于思維的范疇，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的正確認(rèn)知，也是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓之處，只有較好地領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，才能靈活地運(yùn)用它認(rèn)識(shí)、處理和解決數(shù)學(xué)問題，越來越多的人把數(shù)學(xué)思想方法當(dāng)作指導(dǎo)思想，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法求解數(shù)學(xué)問題。文章通過理論與實(shí)例相結(jié)合，分析高中時(shí)期數(shù)學(xué)教學(xué)中常用并且十分重要的三種數(shù)學(xué)思想方法，探討這些數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用狀況。

一、函數(shù)與方程的思想

函數(shù)與方程的思想貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)之中，是解題最基本也是最重要的數(shù)學(xué)概念，在高考中的地位十分重要。數(shù)學(xué)中很多函數(shù)的問題都需要通過構(gòu)建方程或函數(shù)關(guān)系來解決，利用方程與函數(shù)的性質(zhì)相互轉(zhuǎn)化、分析、解決問題。

通過下列例題分析函數(shù)與方程的思想：

例1：函數(shù)y=f（x），當(dāng)y=0時(shí)，方程就可以轉(zhuǎn)化為f（x）=0或y-f（x）=0；而方程f（x）=0的解是函數(shù)y= f（x）圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對(duì)函數(shù)y=f（x），當(dāng) y=0時(shí)，就是不等式f（x）=0，而求f（x）=g（x）的解則可比較y=（x）與y=g（x） 函數(shù)圖象位置的交點(diǎn)而得到解。

函數(shù)與方程的思想兩者之間的關(guān)系密切相關(guān)，在高中數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域都會(huì)運(yùn)用函數(shù)與方程的思想，解題中運(yùn)用比較廣泛。

二、數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合思想主要強(qiáng)調(diào)“數(shù)”與“形”，主要用來研究空間形式和數(shù)量關(guān)系，決定幾何與代數(shù)的聯(lián)系。通過數(shù)形結(jié)合方法將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，再用圖形描述這些抽象的語言，然后經(jīng)過代數(shù)論證分析和解決數(shù)學(xué)問題。

在解題過程中，數(shù)和形的關(guān)系密不可分。把數(shù)和形相結(jié)合才能使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，讓題目更加簡(jiǎn)單易懂，通過把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體形象的幾何圖形，在幾何圖形中發(fā)現(xiàn)各個(gè)復(fù)雜數(shù)量之間的聯(lián)系，經(jīng)過數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，能夠化難為簡(jiǎn)、化繁為易。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例題分析數(shù)與形的轉(zhuǎn)化關(guān)系：

例2：利用數(shù)形結(jié)合的方法解方程：丨x-3丨-丨x+2丨=4

解析：方法一，畫出函數(shù)y=丨x-3丨-丨x+2丨的圖象，求出其與y=4的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值，坐標(biāo)值就是方程的解

方法二，畫數(shù)軸，原方程的幾何意義為3和-2的距離之差為4，得x=-1.5

在解題過程中，我們靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅可以提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，而且可以提高對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解力和解題能力，是全面提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要思想方法之一。

3、轉(zhuǎn)化與化歸的思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是把需要解決的數(shù)學(xué)問題通過某種轉(zhuǎn)化過程，轉(zhuǎn)化到已經(jīng)被解決的問題或者相對(duì)容易解決的問題的一種重要思想方法。經(jīng)過不斷轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知、把復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、把抽象轉(zhuǎn)化為具體。。

掌握轉(zhuǎn)化與化歸這一思想方法，靈活運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想方法分析問題、處理問題是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要條件。舉一個(gè)例子簡(jiǎn)單描述轉(zhuǎn)化與化歸思想：

例3：已知△ABC的三邊為a，b，c，且a?+b?+c?=ab+ac+bc，試判斷△ABC的形狀。

解：由題意知：a?+b?+c?=ab+ac+bc

所以2a?+2b?+2c?=2ab+2ac+2bc

即：（a-b）?+（b-c）?+（a-c）?=0

所以a=b，b=c；a=c

所以△ABC為等邊三角形

要想正確而快速地解答題目，必須先認(rèn)真研究分析題目所要考的數(shù)學(xué)思想方法，通過轉(zhuǎn)化達(dá)到解題目的。轉(zhuǎn)化時(shí)，一般會(huì)把實(shí)際的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；把一個(gè)領(lǐng)域的問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)領(lǐng)域的問題，是所要解決的問題更加簡(jiǎn)單易解。

結(jié)束語：通過上述實(shí)例說明了在高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)學(xué)思想方法的重要性。數(shù)學(xué)知識(shí)無窮無盡，所以它的思想方法肯定不止三種，本文只分析了高中階段常用的三種數(shù)學(xué)思想方法。實(shí)際解題過程中，學(xué)生應(yīng)該認(rèn)真分析數(shù)學(xué)問題隱含的數(shù)學(xué)思想方法，做到具體問題具體分析，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行解題，使問題得以簡(jiǎn)解或妙解，全面提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。遇到特殊的問題，可以將上述思想方法結(jié)合起來，一起運(yùn)用，或許解題效果更佳。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)當(dāng)注意歸納數(shù)學(xué)思想方法，提煉和概括出常用的數(shù)學(xué)思想方法，課后認(rèn)真體會(huì)、研究，久而久之，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力會(huì)得到較大提升。

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