分類討論：一種重要的數(shù)學(xué)方法

張國(guó)勝

摘要：分類討論，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯方法。該文主要闡述了分類討論的含義，分類的規(guī)則與標(biāo)準(zhǔn)，分類方法的解題步驟等。

關(guān)鍵詞：分類討論；數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象與概括，它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁，也是學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)培養(yǎng)的一個(gè)重要方面。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的導(dǎo)向。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要理解、掌握數(shù)學(xué)思想和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，因?yàn)椤皼](méi)有脫離數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)思想，也沒(méi)有不包含數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)知識(shí)”。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要重視數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，同時(shí)也要重視數(shù)學(xué)思想的掌握。只有二者兼顧，才能切實(shí)培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。而我們所學(xué)的分類討論思想是其中尤為重要的一種數(shù)學(xué)思想，它又稱“邏輯化分思想”，它是把所要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象劃分為若干不同的情形，然后再分別進(jìn)行研究和求解的一種數(shù)學(xué)思想。有關(guān)分類討論的題目具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性的特點(diǎn)。難度有易，有中，也有難。題型可涉及任何一種題型，知識(shí)領(lǐng)域方面，可以“無(wú)孔不入”地滲透到每個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域，所以探討分類討論思想在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是具有實(shí)際意義的。

在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)有多種情況而統(tǒng)一論證又比較困難，可以先確定某一條件，然后把各種可能出現(xiàn)的情況分成若干類，逐一加以論證，最后歸納各種情況作出結(jié)論，我們將這種解決問(wèn)題的思想方法稱為分類討論思想。分類討論是根據(jù)問(wèn)題的不同情況分類求解，是一種極為重要的數(shù)學(xué)解題方法。分類方法在解題中的作用體現(xiàn)在：化一為多、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化多為少、化無(wú)限為有限。換言之，要選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)的關(guān)鍵在于分類后得到的各個(gè)子問(wèn)題應(yīng)當(dāng)是熟悉的或易于解決的問(wèn)題，從而能通過(guò)對(duì)各個(gè)子問(wèn)題的解決而最終解決原問(wèn)題。

分類是在比較中派生出來(lái)的，更為復(fù)雜的一種思維方法。分類以比較為基礎(chǔ)，通過(guò)比較將具有相同點(diǎn)的對(duì)象歸入一類，將具有相異點(diǎn)的對(duì)象歸入不同的類，從而使研究對(duì)象條理化、層次化、系統(tǒng)化，是一種重要的科學(xué)方法。分類離不開(kāi)分析與比較，只有通過(guò)分析與比較，弄清了事物的共同屬性之后，才能對(duì)事物進(jìn)行分類。分類是觀察、比較的結(jié)果，觀察、比較是分類的前提。通過(guò)觀察、比較將對(duì)象分為具有一定從屬關(guān)系、并列關(guān)系的一系列關(guān)系結(jié)果，便于逐類深入研究。

根據(jù)上述對(duì)分類含義的討論分析，分類應(yīng)滿足以下四條規(guī)則：

①分類所得的各子項(xiàng)外延的總和，應(yīng)當(dāng)與被分類概念的外延相等。即分類要完備。

②分類所得的各子項(xiàng)，應(yīng)當(dāng)是互相排斥的。某一概念被分類后，其各子項(xiàng)每?jī)身?xiàng)都應(yīng)當(dāng)是并列關(guān)系，而不是交叉關(guān)系或從屬關(guān)系。比如，若把平行四邊形分為矩形、菱形和正方形，就不僅違反了規(guī)則①，而且也犯了“交叉”和“從屬”的毛病。

③分類應(yīng)取被分類概念最鄰近的屬概念，應(yīng)按步驟和層次逐步進(jìn)行，不能越級(jí)或顛倒級(jí)別的順序。

④分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。在分類前，應(yīng)當(dāng)從被分類的概念的屬性中，取出一個(gè)屬性作為依據(jù)。用來(lái)類分概念的那些屬性，稱為類分的標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)同一個(gè)問(wèn)題所確定的對(duì)象而言，可以有不同的標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)不同，類分的結(jié)果也就不同。

分類有不同的標(biāo)準(zhǔn)，一般而言，有現(xiàn)象分類與本質(zhì)分類兩種：

所謂現(xiàn)象分類，是以對(duì)象的外部標(biāo)志、外部聯(lián)系為依據(jù)進(jìn)行的分類。比如，在數(shù)的分類中，復(fù)數(shù)分為實(shí)數(shù)和虛數(shù)，實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)；代數(shù)式、方程和函數(shù)按運(yùn)算分類；方程和函數(shù)按次數(shù)分類；多邊形按邊數(shù)分類；多面體按面數(shù)分類；解析幾何中的曲線按方程的次數(shù)分類等，都是按對(duì)象的外部現(xiàn)象與聯(lián)系加以區(qū)分，這種分類難以反映對(duì)象間的本質(zhì)聯(lián)系。所謂本質(zhì)分類，是按對(duì)象本質(zhì)特征和內(nèi)部聯(lián)系進(jìn)行的分類，它能從本質(zhì)上揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的規(guī)律。比如，函數(shù)按單調(diào)性、有界性或周期性分類；排列組合問(wèn)題按是否與順序有關(guān)分類等均屬本質(zhì)分類。總之，根據(jù)什么原則對(duì)被研究的對(duì)象進(jìn)行分類，要具體情況具體分析。有時(shí)對(duì)一個(gè)問(wèn)題要進(jìn)行多次分類或不斷地修改、完善分類的方法，才能達(dá)到預(yù)期的目的。

分類方法的解題步驟：

①確定分類標(biāo)準(zhǔn)

數(shù)學(xué)分類思想的關(guān)鍵在于正確選擇分類標(biāo)準(zhǔn)。這就要運(yùn)用辯證的邏輯思維，對(duì)具體事物作具體分析，從表面上極為相似的事物之間看出它們本質(zhì)上的差異點(diǎn)，從表面上差異極大的事物之間看出它們本質(zhì)上的相同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)特征。只有這樣才能揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的規(guī)律，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行有意義的分類。

②恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類

在確定分類標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，遵循分類的四條規(guī)則，對(duì)所討論的問(wèn)題恰當(dāng)?shù)胤诸悺?wèn)題能否順利討論的關(guān)鍵是對(duì)所討論對(duì)象進(jìn)行正確的分類。

③逐類討論

根據(jù)分好的各類情況，逐類進(jìn)行研究的分類討論。分門別類逐一把問(wèn)題解決。

④歸納結(jié)論

對(duì)分類結(jié)果進(jìn)行討論，歸納出問(wèn)題的最終結(jié)果。討論的結(jié)論有時(shí)將其劃分為同一個(gè)可能的形式表達(dá)出來(lái)，有時(shí)你需要在聲明中進(jìn)行分類，使問(wèn)題得到完美的答案。

分類方法在數(shù)學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用，這是因?yàn)橐磺惺挛锒急仨毞珠T別類加以研究，才能條理清楚、涇渭分明，區(qū)別事物間的千差萬(wàn)別，明確事物間的聯(lián)系。作為反映現(xiàn)實(shí)世界各種現(xiàn)象普遍聯(lián)系和制約關(guān)系的數(shù)學(xué)，是以概念為支柱的，沒(méi)有分類，數(shù)學(xué)概念就不復(fù)存在，也就無(wú)法建立和發(fā)展。分類往往把復(fù)雜的問(wèn)題化簡(jiǎn)，隱晦的條件變明，從而有助于分別思考，各個(gè)擊破。對(duì)于分類方法的分析、研究和掌握，有利于培養(yǎng)周密、全面的數(shù)學(xué)思維。有利于培養(yǎng)綜合分析問(wèn)題的能力。