一個(gè)頻譜有限小波變換像空間的再生核函數(shù)

鄧彩霞+賀鵬+陳夏夏

摘要：為了描述具有頻譜有限且衰減速度較快的小波函數(shù)其小波變換像空間的性質(zhì)。首先針對(duì)由Shannon尺度函數(shù)構(gòu)造的小波函數(shù)，借助小波分析理論給出這個(gè)小波變換及其像空間的性質(zhì)。當(dāng)固定尺度因子時(shí)，得到這個(gè)小波變換像空間中的再生核函數(shù)的兩種形式具體表達(dá)式，然后利用再生核空間理論描述這個(gè)小波變換像空間，為該小波的數(shù)值計(jì)算提供理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：再生核Hilbert空間；小波函數(shù)；小波變換；再生核函數(shù)；尺度因子

DOI：10.15938/j.jhust.2017.02.018

中圖分類號(hào)： O174.22

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2017）02-0095-04

Abstract：In order to describe the nature of image space of the wavelet transform and a limited spectrum and decay faster wavelet， this paper uses Shannon scaling function to construct a wavelet function， take advantage of wavelet analysis theory to give the nature of image space of the wavelet transform and the wavelet transform. Fixing the scale factor， we get this wavelet transform as the space of two specific expressions of reproducing kernel function， take advantage of the reproducing kernel space theory to describe the wavelet transform of image space and provide the theoretical basis for numerical calculation of the wavelet.

Keywords：reproducing kernel Hilbert space； wavelet function； wavelet transform； reproducing kernel function； scale factor

0引言

小波分析產(chǎn)生30年來，已活躍在純粹數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和信號(hào)處理等領(lǐng)域，并取得了豐碩的研究成果[1]。小波分析反映了學(xué)科之間的相互滲透和交叉，被學(xué)者們認(rèn)為，小波分析是繼Fourier分析后將數(shù)學(xué)工具成功應(yīng)用在工程領(lǐng)域的一個(gè)重大突破。眾所周知，小波分析的基礎(chǔ)是連續(xù)小波變換[2]。1992年，Daubechies在她的著作中指出，連續(xù)小波變換的像空間是再生核Hilbert空間[1]，也就是說，再生核Hilbert空間是連續(xù)小波變換的基礎(chǔ)。因此，利用再生核Hilbert空間的性質(zhì)討論連續(xù)小波變換像空間的性質(zhì)是十分必要的。由于連續(xù)小波變換是由小波函數(shù)確定的一個(gè)線性變換，所以選擇不同的小波母函數(shù)，其連續(xù)小波變換的像空間也不同。即不同的連續(xù)小波變換對(duì)應(yīng)著不同的再生核Hilbert空間，而且再生核Hilbert空間的每個(gè)元素可以用它的再生核函數(shù)來描述，從而在該連續(xù)小波變換的像空間中的每個(gè)元素也可以由其再生核函數(shù)來描述，這為進(jìn)一步研究空間性質(zhì)和數(shù)值分析提供理論依據(jù)[3]。一些學(xué)者對(duì)于Cgau小波、DOG小波、Journe小波等經(jīng)典小波變換的像空間進(jìn)行了研究，給出了相應(yīng)小波變換像空間中的再生核函數(shù)具體表達(dá)式及其空間性質(zhì)[4-6]。但是對(duì)于一般的母小波變換像空間的再生核函數(shù)的解析表達(dá)式很難獲得，不利于數(shù)值分析[7-8]。此文針對(duì)廣泛應(yīng)用于信號(hào)檢測(cè)、頻譜有限且衰減速度較快的小波母函數(shù)，討論該小波變換像空間的性質(zhì)及再生核函數(shù)的具體表達(dá)式，與前人的工作相比此文不需要將尺度因子和平移因子延拓到復(fù)空間上討論[10-13]。為該小波變換在實(shí)際問題中的數(shù)值計(jì)算和信號(hào)處理等方面提供了理論依據(jù)[14-17]。

5結(jié)語(yǔ)

此文利用Shannon尺度函數(shù)構(gòu)造了一個(gè)頻譜有限小波函數(shù)，結(jié)合小波分析理論和再生核理論得到了其小波變換像空間的再生核函數(shù)的不同形式的解析表達(dá)式，對(duì)頻譜有限小波變換的像空間進(jìn)行了具體描述。對(duì)進(jìn)一步探討這種小波起到一定的推動(dòng)作用，也為工程方面提供理論依據(jù)。

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（編輯：溫澤宇）