最優(yōu)化視角下對數(shù)學線性規(guī)劃內容的拓展

周如俊

摘 要：從最優(yōu)化視角對高中數(shù)學線性規(guī)劃內容進行拓展，借助線性規(guī)劃作圖解決最值思想，從一個新的角度對高考有關線性（非線性）約束條件下線性（非線性）目標函數(shù)最值問題“模型構建”進行引申歸類，形成“LC-LF”類、“LC-NLF”類、“NLC-LF”類、“NLC-NLF”類四種模型，并提出相應“破解”之策.

關鍵詞：線性規(guī)劃；拓展；高考題；類型分析

《全日制普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》中關于線性規(guī)劃內容提到：線性規(guī)劃是最優(yōu)化的具體模型之一.在高中數(shù)學中，線性規(guī)劃問題都是最簡單的線性規(guī)劃 （Linear Programming，簡稱LP） 問題，即線性約束條件下線性（目標）函數(shù)最優(yōu)化問題.其數(shù)學思想在高考解題中具有很強的現(xiàn)實意義，核心是運用數(shù)形結合的思想方法，借助平面圖形，求目標函數(shù)的最值問題[1].

綜觀最近幾年高考約束條件下目標函數(shù)最值考題，其內容都是對簡單的線性規(guī)劃問題的引申與深化.這涉及應用數(shù)學中最優(yōu)化（Optimization）問題，其模型一般包括變量、約束條件和目標函數(shù)三要素.根據(jù)目標函數(shù)和約束條件性質，對最優(yōu)化問題作進一步分類：當目標函數(shù)和約束條件都是線性的，則稱線性規(guī)劃；當目標函數(shù)或約束中有一非線性函數(shù)時，則稱非線性規(guī)劃；當目標函數(shù)是二次的，而約束是線性時，則稱為二次規(guī)劃.

筆者基于當前高考有關考題與命題趨勢，從最優(yōu)化視角對高考有關最值考題的約束條件與目標函數(shù)作表1所示分類，嘗試對高中數(shù)學教材有關線性規(guī)劃內容拓展.其中線性約束條件一般是指二元一次不等式組；非線性約束條件一般是指一個二元非一次不等式（組）（有時也可能是表示曲線或圓的函數(shù)）；線性函數(shù)關系是指直線，而非線性函數(shù)關系是指非直線，包括各種曲線、折線、不連續(xù)的線等.適當對線性（非線性）約束條件下線性（非線性）目標函數(shù)問題“模型構建”，利用其函數(shù)的幾何意義，借助作圖解決高考最值問題，這是從一個新的角度對求最值問題的理解.

一、“LC - LF”最值類

“LC - LF”最值類問題，即指線性約束條件下線性函數(shù)的最值問題.一般這類考題線性約束條件是一個二元一次不等式組，目標函數(shù)是一個二元一次函數(shù)，可行域就是線性約束條件中不等式所對應的方程組所表示的直線所圍成的區(qū)域，在可行域解中的使得目標函數(shù)取得最大值和最小值的點的坐標即簡單線性規(guī)劃的最優(yōu)解.

【解題本質】這類考題的解決，重要在于能夠正確理解線性約束條件所表示的幾何意義，并畫出其圖形， 通過目標函數(shù)[z=ax+by（a≠0）]中直線[l：ax+by=0]的平移法，利用直線[y=-abx+zb]的縱截距[zb]解決最值問題（當[b]為正值時將直線[l：ax+by=0]向上平移使目標函數(shù)取得最大值，反之[b]為負值時向下移動使目標函數(shù)取得最小值）；當線性目標直線的斜率與約束條件的邊界相等時，最優(yōu)解有無數(shù)多個.解題過程中關鍵是突破“畫”（畫出線性約束條件所表示的可行域）、 “移”（作平行直線）、“求”（解方程組求出最優(yōu)解）.這種求最值的方法也稱“角點法”[2].

二、“LC-NLF” 最值類

參考文獻：

[1]潘曉春.運用簡單線性規(guī)劃思想理解求最值問題[J].數(shù)學教學， 2006（4）：25-27.

[2]張金龍，錢軍先，李文斌.線性規(guī)劃方法的本質：多元函數(shù)最值問題的圖象解法[J].新高考：高三數(shù)學，2013（1）：24-26，35.

[3]李劍.運用線性規(guī)劃的思想解決多元變量求最值[J].數(shù)理化學習：高三版，2013（8）：49-50.

[4]張瓊.利用線性規(guī)劃的思想求無理函數(shù)的最值[J].高中數(shù)理化，2011（17）：20-21.