試論小學(xué)數(shù)學(xué)的必備品格

【摘要】數(shù)學(xué)自有其必備品格，但就“小學(xué)數(shù)學(xué)”而言，其必備品格必須既具有數(shù)學(xué)的特性，又必須擁有教育的品格。也就是說，她應(yīng)該能夠培養(yǎng)學(xué)生“關(guān)聯(lián)地想象”，以促進其學(xué)習(xí)；引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”，以發(fā)展其思維；幫助教師開展“基于三重聯(lián)系”的教學(xué)，以改善其教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；必備品格；關(guān)聯(lián)地想象；數(shù)學(xué)地思維；基于三重聯(lián)系

【中圖分類號】G623.5 【文獻標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）33-0016-03

【作者簡介】徐文彬，南京師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所（南京，210097）常務(wù)副所長，教授，博士生導(dǎo)師。

數(shù)學(xué)自有其必備品格，譬如，數(shù)學(xué)的高度抽象、數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)和數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，抑或數(shù)學(xué)的理想化、形式化與符號化等。但是，就“小學(xué)數(shù)學(xué)”而言，由于它是一個教育范疇，因此，其必備品格必須既具有數(shù)學(xué)的必備品格，又必須擁有教育的必備品格。具體而言，我們認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)的必備品格應(yīng)該能夠：培養(yǎng)學(xué)生“關(guān)聯(lián)地想象”，以促進其學(xué)習(xí)；引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”，以發(fā)展其思維；幫助教師開展“基于三重聯(lián)系”的教學(xué)，以改善其教學(xué)。

一、促進學(xué)生學(xué)習(xí)：關(guān)聯(lián)地想象

我們所生活的世界，不論是自然、社會、歷史、文化、政治、經(jīng)濟、軍事、娛樂等，還是我們的生理、心理、精神等，都是普遍聯(lián)系與永恒發(fā)展的。而人類所發(fā)現(xiàn)與揭示的一切“客觀規(guī)律”都是其基于這個世界普遍聯(lián)系與永恒發(fā)展的想象，而其所發(fā)明與創(chuàng)造的一切“主觀事實”則都是基于這一想象的創(chuàng)造。因此，學(xué)習(xí)就是學(xué)會“關(guān)聯(lián)地想象”、甚至基于這一想象的創(chuàng)造。小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)概莫能外。

數(shù)學(xué)哪怕就是小學(xué)數(shù)學(xué)，它也是我們?nèi)祟惖南胂笾a(chǎn)物，即人類大腦的思想產(chǎn)物。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)就不僅應(yīng)該告之小學(xué)生數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計等其中的基本的數(shù)學(xué)事實，而且更應(yīng)該通過這些基本的數(shù)學(xué)事實來幫助小學(xué)生“重溫”其背后的想象過程及其基于何種關(guān)聯(lián)。唯有如此，才能夠真正發(fā)展小學(xué)生“關(guān)聯(lián)地想象”，并促進其學(xué)習(xí)。

譬如，僅就小學(xué)數(shù)學(xué)中的加、減、乘、除四則運算的學(xué)習(xí)而言，我們教師通常都會在實際情境中或在學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)上導(dǎo)入“運算的必要性”，展開教學(xué)，并引導(dǎo)學(xué)生自主編制有實際意義或數(shù)學(xué)意義的問題情景：這里存在著無限的可能，但實際教學(xué)的結(jié)果卻是有限的選擇。但是，如果我們還能夠在此基礎(chǔ)上更進一步，即引導(dǎo)學(xué)生就某個或某些具體的算式，來設(shè)想其盡可能多的實際背景或數(shù)學(xué)意義，也許更能有效地發(fā)展學(xué)生“關(guān)聯(lián)地想象”，因為這里還存在著另一種無限的可能：一對多或者有限對無限。

再譬如，僅就小學(xué)數(shù)學(xué)中的“可能性及其大小”的學(xué)習(xí)而言，我們教師通常都會以“摸球試驗”來展開教學(xué)活動，并從大量的實驗結(jié)果來推測：球袋中各種球的顏色、各種顏色球的多寡等。但是，當(dāng)球袋打開時，其中各種顏色的球及其多寡并不一定與我們的推測一致！這其實正是我們概率推理之實質(zhì)：我們只能根據(jù)我們的觀察或試驗結(jié)果來推測（其實就是“關(guān)聯(lián)地想象”）事物發(fā)展的真實情況。因為，很多情況下“球袋”我們是根本打不開的或者不能打開的（譬如，微觀世界、宏觀世界，社會現(xiàn)象、經(jīng)濟現(xiàn)象、政治現(xiàn)象，個性、個人心理、人類大腦等）。問題是，我們的實際教學(xué)果真如此嗎？還只是作者個人的設(shè)想？

又譬如，僅就“特殊四邊形的關(guān)系”的學(xué)習(xí)而言，為什么我們只能規(guī)定“只有一組對邊平行的四邊形是梯形”，而不能想象“有一組對邊平行的四邊形是梯形”？其實，前者可能是基于現(xiàn)實的抽象（當(dāng)然也是想象）（譬如，水渠的橫截面、堤壩的橫截面等），而后者則是基于邏輯的想象（譬如，與其他特殊四邊形內(nèi)在屬性的一致性，如面積公式的統(tǒng)一性）。前者可謂常規(guī)的學(xué)習(xí)與教學(xué)，而后者則是數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的上佳案例。

二、發(fā)展學(xué)生思維：數(shù)學(xué)地思維

“數(shù)學(xué)地思維”不僅包括從各種“客觀現(xiàn)實”中抽象出數(shù)學(xué)概念、原理、法則等，以及把這些數(shù)學(xué)概念、原理、法則等運用于各種“客觀實際”以解決問題，而且還包括其中的“數(shù)學(xué)概念、原理、法則等之間的純粹邏輯演繹關(guān)系”。就其實質(zhì)而言，“數(shù)學(xué)地思維”就是“首先要在大腦中解決問題”。

僅就小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)而言，我們教師也應(yīng)該促使小學(xué)生逐步明了數(shù)學(xué)對象的人類大腦建構(gòu)之特點（而非現(xiàn)實世界的模仿），漸漸感悟數(shù)學(xué)特征的邏輯演繹之特性（而非實際的經(jīng)驗事實之概括），初步把握數(shù)學(xué)思想方法的建模之屬性（而非現(xiàn)實模型的實際建構(gòu)），點滴體悟數(shù)學(xué)追求的邏輯一致性之目標(biāo)（而非客觀的現(xiàn)實矛盾之解決）。

譬如，僅就小學(xué)生所學(xué)習(xí)的各類數(shù)學(xué)對象：數(shù)字或數(shù)（如自然數(shù)、整數(shù)，分?jǐn)?shù)、小數(shù)等）、四則運算（加、減、乘、除）、幾何對象（如點、線、面，三角形、四邊形、圓形，平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等）、概率（人類經(jīng)驗中只有頻率而無概率，概率只是人類大腦對頻率“背后依據(jù)”的推測或預(yù)設(shè)，所以，這里存在著主觀概率與客觀概率之爭）等，都不是我們對現(xiàn)實世界的模仿，它們都是我們?nèi)祟惔竽X的主觀建構(gòu)。

再譬如，僅就小學(xué)一年級數(shù)學(xué)中的“十加幾等于十幾”的學(xué)習(xí)而言，教師們通常都會“聯(lián)系實際”，以強化其記憶或運用：一位老師帶領(lǐng)十位同學(xué)去公園游玩，請問要買幾張門票？參考答案是11張（10+1=11）。如果小學(xué)生有其他回答，我們教師一般都會判錯，甚至認(rèn)為該學(xué)生可能缺乏“數(shù)學(xué)地思維”。其實，真實的情況可能要復(fù)雜得多，而該學(xué)生就極有可能擁有這些復(fù)雜的經(jīng)驗事實之一二：教師無須買票、全票與半票問題、公園免費問題、不知公園為何物等。由此亦可見，數(shù)學(xué)確實不是客觀的現(xiàn)實矛盾的解決之道，它極有可能僅僅只是其實際解決之前在大腦中的一種可能的解決。

又譬如，僅就小學(xué)數(shù)學(xué)中的運算律的學(xué)習(xí)而言，我們教師通常都會在“加法交換律與結(jié)合律”的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，引導(dǎo)小學(xué)生去猜想其他運算可能存在的運算律：這里存在“乘法交換律”和“乘法結(jié)合律”的可能，但幾乎不存在減法交換律或減法結(jié)合律的可能。因為除了“a=b時，a-b=b-a”之外，沒有其他可能，而且除了“c=0時，（a-b）-c=a-（b-c）”之外，也沒有其他可能。但是，教學(xué)中就有不少學(xué)生也有不少教師就給出了“減法交換律”或“減法結(jié)合律”的數(shù)學(xué)猜想。殊不知，盡管數(shù)學(xué)猜想需要正面的實例，但已知的大量數(shù)學(xué)事實中卻不能有反例（譬如，不夠減、兩步加法運算、兩步減法運算等）。更為重要的是，學(xué)習(xí)中的學(xué)生與教學(xué)中的教師均在沒有給出“正面的實例”情況就給出了上述關(guān)于減法的運算律之?dāng)?shù)學(xué)猜想。由此我們可以推測：師生此時缺乏必要的數(shù)學(xué)猜想之思維——大量數(shù)學(xué)事實，且目前沒有反例之基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)想象。

如果在學(xué)生“機械模仿”時，我們教師能夠適時引導(dǎo)學(xué)生思考諸如：“有實例嗎？具體說說、寫寫好嗎？”“存在反例嗎？具體說說、寫寫好嗎？”“我們提出數(shù)學(xué)猜想時，應(yīng)該考慮哪兩點？”“再想一想：我們是如何提出‘加法交換律和‘加法結(jié)合律這兩個猜想的？我們又是如何進一步確信這兩個猜想的？”這些問題，那么，學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”就會得到逐步改善與不斷提升。

三、改善教師教學(xué)：基于三重聯(lián)系

“基于三重聯(lián)系”就是我國“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”所強調(diào)的，數(shù)學(xué)教育教學(xué)應(yīng)該注重數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與兒童生活和社會經(jīng)驗之間的聯(lián)系，以幫助學(xué)生獲取“數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”，并引導(dǎo)學(xué)生“運用數(shù)學(xué)的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。唯有如此，我們教師才有可能真正不斷地改進甚至改善自己的數(shù)學(xué)教學(xué)。

就小學(xué)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系而言，不僅存在著數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率等各領(lǐng)域知識內(nèi)容間的聯(lián)系，而且還存在著其中任何兩者以及三者之間的聯(lián)系。譬如，僅就“數(shù)與代數(shù)”中的算術(shù)與代數(shù)之間的聯(lián)系而言，我們教師不僅應(yīng)該明了“算術(shù)只是數(shù)字的代數(shù)即特殊的代數(shù)，而代數(shù)則是字母的算術(shù)即一般的算術(shù)”，而且還應(yīng)該在算術(shù)的教學(xué)中滲透代數(shù)之變換思維，以培養(yǎng)學(xué)生靈活運用算術(shù)之程序思維。而準(zhǔn)變量及其表達(dá)式可能就是一個很好的教學(xué)設(shè)想：在算術(shù)運算教學(xué)中引入“準(zhǔn)變量”和“準(zhǔn)變量表達(dá)式”這兩個概念，并加以有效運用。如“37-29=（37-30）+1”中的“37”和“29”就是準(zhǔn)變量，而它本身就是一個準(zhǔn)變量表達(dá)式，因為它蘊含著這樣一個代數(shù)式：a-b=a-（b+1）+1（涵蓋了我們通常所說的“湊整十?dāng)?shù)”）。

就小學(xué)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系而言，數(shù)學(xué)與科學(xué)的聯(lián)系最為緊密，尤其是在“數(shù)與量的關(guān)系”當(dāng)中，這種聯(lián)系則顯得更為明顯。譬如，在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”當(dāng)中就蘊含著“數(shù)與量的關(guān)系”，因而也就隱含了“數(shù)學(xué)與科學(xué)的聯(lián)系”。不僅如此，這里其實還存在著更多的數(shù)學(xué)與科學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別：“科學(xué)中的平均分”似乎都是會有誤差的，而“數(shù)學(xué)中的平均分”是絕對不容許有任何誤差的。那么，如何進行“數(shù)學(xué)中的平均分”呢？其實，沒有任何具體現(xiàn)實的辦法——這是科學(xué)的問題；只有在大腦中理想化、抽象化、形式化地平均分——這是數(shù)學(xué)思考的方式方法。

就小學(xué)數(shù)學(xué)與兒童生活和社會經(jīng)驗之間的聯(lián)系而言，盡管近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展給人以“越來越遠(yuǎn)離我們的生活”之印象，但是，數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展無時無刻不與我們的生活緊密相連。小學(xué)數(shù)學(xué)基本上都屬于“初等數(shù)學(xué)”的范疇，幾乎毫無例外地都與兒童生活和社會經(jīng)驗聯(lián)系緊密。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中聯(lián)系兒童生活和社會經(jīng)驗來展開學(xué)習(xí)活動是極其自然的事情。但是，實際教學(xué)中卻時常會出現(xiàn)“把成人過時的經(jīng)驗當(dāng)成當(dāng)下兒童的經(jīng)驗”等問題。譬如，上述“十加幾等于十幾”的案例便是。由此可見，“體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系”這句話雖然簡單，但是要把它運用得恰到好處往往卻并不是一件很容易的事情，它需要我們真心地對待兒童、數(shù)學(xué)與我們自己。

如果小學(xué)數(shù)學(xué)能夠做到上述三點，我們就認(rèn)為她具備了其應(yīng)具備的必備品格。但這僅是作者個人關(guān)于“小學(xué)數(shù)學(xué)的必備品格”所做出的初步思考，僅供參考與批判。

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