偽拋物方程組解的全局存在

姜迪彪, 曾有棟, 魏 丹

(福州大學數學與計算機科學學院，福建 福州 350116)

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偽拋物方程組解的全局存在

姜迪彪, 曾有棟, 魏 丹

(福州大學數學與計算機科學學院，福建 福州 350116)

研究如下非線性偽拋物方程組柯西問題解的全局存在性，ut-Δut=Δu+uαvp，vt-Δvt=Δv+uqvβ, 這里p,q≥0,α,β≥0. 首先應用壓縮映射原理得到解的局部存在性, 之后運用上下解方法研究α,β≤1,pq≤(1-α)(1-β)時解的全局存在性.

非線性偽拋物方程組； 局部存在； 全局存在; 柯西問題

0 引言

考慮下面非線性偽拋物系統(tǒng)的柯西問題解的全局存在性, 有

式(1)中α,β,p,q≥0，并且滿足α+p>0和β+q>0.u0(x)和v0(x)都是非負有界和適當光滑的函數. 這類方程描述了一類重要的物理過程，比如, 非線性擴散長波的單向傳播, 透過裂縫巖石均勻流體的滲透, 傳導問題中的雙溫控制模型.

對于偽拋物方程

當p≥1,q≥1,pq>1時確定了它的Fujita臨界指標和第二臨界指標分別是：

根據以往的研究, 式(1)爆破和全局存在臨界指標以及解的漸進性質仍然是一個開放性的問題. 本研究對這些開放性問題進行初步探索, 得到式(1)解的局部存在性和在一定條件下解的全局存在性.

1 預備知識

對于非線性偽拋物系統(tǒng)(1), 類似于文獻[3]，可得

其中: I(t)=exp(-t(kΔ-I)-1Δ)，B=-(kΔ-I)-1, 算子I(t)和B的性質參考文獻[2-7]．

定義1 如果(u,v)∈C([0,T];C(n)∩L∞(n))2且滿足積分方程(4)和(5), 則稱(u,v)是柯西問題(式(1))在[0,T]上的適度解.

引理1 設ε∈(0, 1), 式(1)的初值滿足u0,v0∈C2+ε(n), 則式(1)在C([0,T];C(n)∩L∞(n))2中具有積分方程(4)、 (5)形式的適度解(u,v)，該解屬于(C1([0,T];C2(n)))2且是古典解.

證明 設(u,v)在C([0,T];C(n)∩L∞(n))2中是式(1)的適度解. 由算子I(t)和B的性質可得u,v∈C([0,T];Cε(n)), 對某個0<θ≤ε, 有uα,uq,vp,vβ∈C([0,T];Cθ(n)). 則可得u,v∈C([0,T];C2+θ(n)). 易證(u,v)滿足式(1)且正是式(1)的古典解.

根據文獻[2]可知對于非負初值, 柯西問題(式(1))的解也是非負的.

類似文[1]中定義2.2的敘述, 下面給出耦合適度上下解的定義.

定義2 稱函數(u′,v′)是柯西問題在[0,T]上的上(下)適度解, 如果(u′,v′)∈C([0,T];C(n)∩L∞(n))2且滿足

2 局部存在和全局存在

2.1 解的局部存在性

定理1 (局部存在性)設0≤u0, v0∈C(n)∩L∞(n)，α, β≥0, pq>0，則存在T(0

證明 I)首先設p,q,α,β≥1，由標準的不動點定理即可推出式(4)和式(5)在n×[0,T], 0

設(u,v)∈X∩BR, 首先可得Φ1(u,v)≥0,Φ2(u,v)≥0. 又因為

其中:C1是大于零常數, 不依賴于T、u和u0. 因此, 如果令

則可得：

綜上可得Ψ(u, v)∈X∩BR.

對于(u1, v1)∈X∩BR，(u2, v2)∈X∩BR, 可得

綜上可知, 當R滿足上面條件時,Ψ是XR上的壓縮映射, 因此由Banach空間壓縮映射原理可得結論.

II)如果至少有一指標小于1, 存在性可采取文獻[8]中相關性討論得到. 為了簡潔, 在這里簡略說明如何證明0≤α<1,p,q,β≥1的情形, 一般的情形也可類似得到. 令序列{gn}是全局Lipschitz函數, 并且對任意給定的n滿足：

考慮下面的逼近問題

像步驟I)部分一樣討論, 則在某個(0,T)×n上可得與方程組(6)相關的積分方程唯一非負適度解(un(t),vn(t)). 此外, 如果n≥m, 有un(t)≤um(t),vn(t)≤vm(t)成立. 因此, 序列{un(t)}和{vn(t)}非增且下方有界. 令n→∞, 也可得到與I)部分相關的結論. 證明完畢.

2.2 解的全局存在理論

定理2 設α≤1,β≤1和pq≤(1-α)(1-β), 初值滿足0≤u0,v0∈Cα(n),α∈(0, 1)則對任意給定的T>0, 柯西問題(式(1))至少存在一個非負適度解.

另外記映射：

Φi:C([0,T];C(n)∩L∞(n))→C([0,T];C(n)∩L∞(n)) (i=1, 2)

則

所以u,v∈C([0,T];C(n)∩L∞(n)). 此外

同理, 由qm≤l(1-β)和1/2

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(責任編輯： 林曉)

Global existence of solution to pseudo-parabolic system

JIANG Dibiao, ZENG Youdong, WEI Dan

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350116, China)

This paper deals with the Cauchy problem to nonlinear pseudo-parabolic systemut-Δut=Δu+uαvp,vt-Δvt=Δv+uqvβwhere,q≥0,α,β≥0. we first applied contraction mapping to obtain that local solutions are existence. And then we investigate that the solutions are global whileα,β≤1andpq≤(1-α)(1-β) by use upper and lower solutions method.

nonlinear pseudo-parabolic system; local existence; global existence; Cauchy problem

10.7631/issn.1000-2243.2017.03.0312

1000-2243(2017)03-0312-05

2015-04-17

曾有棟(1961-), 教授, 主要從事偏微分方程研究, zengyd@fzu.edu.cn

國家自然科學基金資助項目(2016J06001)

O175.26

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