一種三維實(shí)空間上框架構(gòu)造的算法及其實(shí)現(xiàn)

羅智鵬，朱玉燦

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350116)

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一種三維實(shí)空間上框架構(gòu)造的算法及其實(shí)現(xiàn)

羅智鵬，朱玉燦

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350116)

根據(jù)有限維框架構(gòu)造理論，在給定框架算子特征值及其模長序列條件下，提出一種三維實(shí)空間上具體構(gòu)造框架的算法，并以算例驗證了該算法的準(zhǔn)確性和靈活性.

框架構(gòu)造算法； 三維實(shí)空間； 框架算子

0 引言

為合成算子，其對偶算子

T*:Hn→Cm,T*f=(〈f,f1〉, 〈f,f2〉, …, 〈f,fm〉)T

為分析算子. 令S=TT*, 即

命題1[8]下列兩個敘述等價.

2) 矩陣F的秩為n.

如果Λ為對角矩陣且diag(Λ)=(λ1,λ2, …,λm)，則存在m階正交矩陣O，使得

1 算法設(shè)計

1.1 算法思想

R3中矩陣S是3階正定矩陣，存在正交矩陣O和對角矩陣Λ，使S=OΛO*成立，其中diag(Λ)=(λ1,λ2,λ3)，λi(i=1, 2, 3)為S的特征值(設(shè)λ1≥λ2≥λ3>0). 取m×3階矩陣Δ如下：

則ΔΔ*為m階對角矩陣，且diag(ΔΔ*)=(λ1,λ2,λ3, 0, …, 0)，這里m為框架元素個數(shù). 由命題2知，當(dāng)滿足條件：

?

1.2 三階正交矩陣O的構(gòu)造

由前面分析知矩陣S是一個三階正定矩陣，故存在三階正交矩陣O和對角矩陣Λ使S=OΛO*. 反之，已知對角矩陣Λ，即已知三個正實(shí)數(shù)λ1、λ2、λ3時，取不同的矩陣O將對應(yīng)著不同的矩陣S. 此時矩陣S只由正交矩陣O決定. 本研究以下面方式構(gòu)造三階正交矩陣[9]O：

其中:a、b、c由控制參數(shù)θ、φ確定，它們的關(guān)系如下：

a=sinφcosθ，b=sinφsinθ，c=cosφ

因此，正交矩陣O由控制參數(shù)θ、φ、γ決定. 取值范圍分別為：θ∈[0, 2π],φ∈[0, π],γ∈[0, 2π]. 從而不同的控制參數(shù)可以得到不同的矩陣O，生成不同的框架算子S. 特別地，當(dāng)需求為生成緊框架時，可令θ=0，φ=π/2，γ=0，即O=E3，其中E3為三階單位矩陣.

對于Oj的構(gòu)造，令l=m-j+1. 設(shè)Aj為l階對角矩陣，它在Oj-1的構(gòu)造過程中迭代生成，其中初始矩陣A1為m階對角矩陣，且

最后構(gòu)造如下形式的l階正交矩陣Oj：

1.4 算法描述

輸出： 矩陣F.

第二步： 判斷框架類型控制參數(shù)Y. 若Y=0，則以式(3)構(gòu)造正交矩陣O; 若Y=1，則O=E3，進(jìn)入第三步.

第三步： 初始化控制變量j=1，如式(4)所示構(gòu)造對角矩陣A1，進(jìn)入第四步.

第四步： 初始化控制變量i=2，進(jìn)入第五步.

第六步： 以式(5)方式構(gòu)造正交矩陣Oj， 進(jìn)入第七步.

第七步： 若j=m-1，進(jìn)入第八步； 否則生成對角矩陣Aj+1，令j=j+1，返回第四步.

第八步： 初始化控制變量w=1. 如果m=3，進(jìn)入(二)； 否則進(jìn)入(一).

(一)構(gòu)造w+2階矩陣Bw+2：

令Om-1-w=Bw+2Om-1-w. 判斷等式w=m-2是否成立，如果成立，進(jìn)入(二)； 否則令w=w+1，返回(一).

1.5 算法實(shí)現(xiàn)的偽代碼

根據(jù)上述算法描述給出對應(yīng)的偽代碼，如表1所示.

表1 偽代碼

1.6 算例及驗證分析

表2 參數(shù)θ、 φ、 γ取不同值時的輸出結(jié)果

表3 參數(shù)θ、φ、γ取不同值時輸出的矩陣F的秩、FF*以及OΛO*比較

Yθφγrank(F)FF?OΛO?013534．35781．37180．41721．37188．56770．30770．41720．30772．0745é?êêêù?úúú4．35781．37180．41721．37188．56770．30770．41720．30772．0745é?êêêù?úúú03153 6．6674-2．9562-0．3842-2．9526 4．6008 1．3562-0．3842 1．3562 3．7318é?êêêù?úúú 6．6674-2．9562-0．3842-2．9526 4．6008 1．3562-0．38421．3562 3．7318é?êêêù?úúú05313 5．4287-2．2529 0．5205-2．2529 7．4891-0．4549 0．5205-0．4549 2．0822é?êêêù?úúú 5．4287-2．2529 0．5205-2．2529 7．4891-0．4549 0．5205-0．4549 2．0822é?êêêù?úúú03333 8．3866 0．7016-1．8296 0．7016 4．1047-0．1604-1．8296-0．1604 2．5265é?êêêù?úúú 8．3866 0．7016-1．8296 0．7016 4．1047-0．1604-1．8296-0．1604 2．5265é?êêêù?úúú

表4 參數(shù)θ、 φ、 γ取不同值時輸出結(jié)果的模長

表5給出了在框架類型參數(shù)Y取1時所得到的框架，易驗證所得到框架即為緊框架. 在本例中，若λ1=λ2=λ3=5，同時取Y=1，O=E3，則根據(jù)算法編寫相應(yīng)程序，運(yùn)行結(jié)果見表5 (精度取四位小數(shù)).

表5 參數(shù)Y=1時的輸出結(jié)果

此時可驗證FF*=S=OΛO*為對角矩陣，且diag(S)=(5, 5, 5).

2 結(jié)論

以框架存在性定理為理論依據(jù)，在模長序列和框架算子特征值序列給定的條件下設(shè)計框架構(gòu)造算法，解決了三維空間中具體構(gòu)造框架的問題，并以算例驗證了算法的準(zhǔn)確性和靈活性. 后續(xù)我們將嘗試把該算法推廣到高維空間上，使其能更廣泛地應(yīng)用于高維空間的數(shù)據(jù)處理. 同時也將嘗試對算法進(jìn)行優(yōu)化，使之執(zhí)行速度更快.

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(責(zé)任編輯： 林曉)

An algorithm for constructing frames for the three-dimensional real space and its implementation

LUO Zhipeng, ZHU Yucan

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350116, China)

We present an algorithm for constructing frames on the three-dimensional real space under given the eigenvalues of the frame operator and predetermined lengths of frame’s vectors. Example is used to verify the accuracy and flexibility of the algorithm.

algorithm of constructing frame; three-dimensional real space; frame operator

2015-05-22

朱玉燦(1963-)，教授，主要從事框架理論、 幾何函數(shù)論、 多復(fù)變函數(shù)幾何理論研究，zhuyucan@fzu.edu.cn

福建省自然科學(xué)基金資助項目(2014J01007) ; 福建省教育廳A類資助項目(JA14041)； 福州大學(xué)科技發(fā)展基金資助項目(2012-XQ-29)

10.7631/issn.1000-2243.2017.03.0301

1000-2243(2017)03-0301-06

O177.1

A