讓“美麗”的錯(cuò)誤綻放“絢爛”的學(xué)習(xí)之花

林其洲

【摘 要】學(xué)生的錯(cuò)誤中蘊(yùn)含著珍貴的教學(xué)資源，如果能合理巧妙地加以利用，充分暴露學(xué)生的出錯(cuò)思維過程，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生及時(shí)反思總結(jié)錯(cuò)誤的根源，可以使之成為學(xué)生學(xué)習(xí)的亮點(diǎn)，成為促進(jìn)課堂教學(xué)智慧生成的契機(jī)，那么如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中有效地“運(yùn)用”學(xué)生的錯(cuò)誤資源，本文筆者針對(duì)自己的教學(xué)實(shí)踐，從以下幾方面入手：善待錯(cuò)誤、剖析錯(cuò)誤、巧用錯(cuò)誤、反思錯(cuò)誤等進(jìn)行合理使用錯(cuò)誤資源，在實(shí)踐中取得了較好的效果，不僅有助于學(xué)生開拓思維空間，更有利于學(xué)生通過知識(shí)遷移、深入理解等自覺地獲得新知識(shí)，同時(shí)還提升了學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】錯(cuò)誤資源；有效利用；教學(xué)智慧；效果良好

學(xué)習(xí)的過程是一種漸進(jìn)的嘗試錯(cuò)誤的過程，學(xué)生的錯(cuò)誤中蘊(yùn)含著珍貴的教學(xué)資源，如果能合理巧妙地加以利用，充分暴露學(xué)生的出錯(cuò)思維過程，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生及時(shí)反思總結(jié)錯(cuò)誤的根源，可以使之成為學(xué)生學(xué)習(xí)的亮點(diǎn)，促進(jìn)課堂教學(xué)智慧生成的契機(jī)。在析錯(cuò)、糾錯(cuò)、剖錯(cuò)、思錯(cuò)中開拓了學(xué)生的思維空間，提升了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談幾點(diǎn)關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)錯(cuò)誤資源的利用：

一、善待錯(cuò)誤——千樹萬(wàn)樹梨花開

1.讓“錯(cuò)誤”成為知識(shí)重難點(diǎn)的突破點(diǎn)

對(duì)于教材的重難點(diǎn)，我們都想直接明顯的告訴學(xué)生，以快速而又簡(jiǎn)單的方法讓學(xué)生接受，可效果卻不是很顯著。教師可隨時(shí)抓住師生、生生交流互動(dòng)中出現(xiàn)稍縱即逝的錯(cuò)誤的學(xué)情信息。并巧妙運(yùn)用于教學(xué)活動(dòng)中，順勢(shì)引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生從自身經(jīng)歷出發(fā)，在解決問題、建構(gòu)新知中產(chǎn)生的矛盾落差，幫助學(xué)生完善知識(shí)整體性認(rèn)知結(jié)構(gòu)圖和認(rèn)知策略，從而巧妙地化解疑難，突破知識(shí)的重難點(diǎn)。

案例1：在學(xué)習(xí)一元二次方程后，出示這樣一道來自學(xué)生黑板當(dāng)堂練習(xí)中的錯(cuò)題，已知：關(guān)于x的一元二次方程（b+1）x2+x+b2=0，其中一個(gè)根為-1，求b的值。

錯(cuò)解：把x=-1代入原方程得b+1-1+b2=0，即b+b2=0，所以b=0或-1。

錯(cuò)解過程出示后，一學(xué)生站起來說：b=-1應(yīng)舍去，因?yàn)槭且辉畏匠蘠+1≠0。筆者引導(dǎo)學(xué)生得出：如果b=-1，原方程就化簡(jiǎn)為x+1=0是一元一次方程。筆者接著問：一元二次方程的一般形式是什么？學(xué)生答：ax2+bx+c=0（a≠0）其中有很多學(xué)生把（a≠0）這個(gè)條件漏掉了，筆者又問：如果a=0此方程是關(guān)于x的一元一次方程嗎？有學(xué)生答：需滿足b≠0的條件。

然后師生共同歸納了一元一次方程ax+b=0（a≠0）和一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式，特別強(qiáng)調(diào)了a≠0這個(gè)條件的重要性。

上述教例，筆者以錯(cuò)誤練習(xí)為背景，在知識(shí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)處，筆者利用思維導(dǎo)圖適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生回歸知識(shí)本位，完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而有效突破知識(shí)的重難點(diǎn).

2.讓“錯(cuò)誤”成為拓寬知識(shí)的觸發(fā)點(diǎn)

“水至清則無魚”，引導(dǎo)學(xué)生在回味疑惑、反思的境界中“去粗取精，去偽存真”，帶著如何解決這些問題的強(qiáng)烈愿望去遷移知識(shí)、分析思考，加深對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解。

案例2：在講授同底數(shù)冪的乘法，如何計(jì)算5y2·2y3=？學(xué)生易出現(xiàn)三種答案：5y2·2y3=7y5，5y2·2y3=10y5，5y2·2y3=10y6，通過讓學(xué)生辨別真?zhèn)?，喚起了學(xué)生解決問題的欲望，激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，通過學(xué)生辨析底數(shù)冪的乘法：5y2·2y3=7y5，5y2·2y3=10y5，5y2·2y3=10y6，的計(jì)算真?zhèn)螢橛|發(fā)點(diǎn)，促使學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，聯(lián)想了多項(xiàng)式乘法，有理數(shù)乘法、有理數(shù)乘方等知識(shí)，從而有依據(jù)、有步驟地逐一剖析驗(yàn)證，從不同角度去探求問題答案.使學(xué)生在不知不覺中拓寬了知識(shí)點(diǎn)，復(fù)習(xí)和鞏固了相關(guān)知識(shí)。

二、剖析錯(cuò)誤——為有源頭活水來

黑格爾說過：“錯(cuò)誤本身是達(dá)到真理的一個(gè)環(huán)節(jié)，由于錯(cuò)誤，真理才會(huì)被發(fā)現(xiàn)?！碑?dāng)學(xué)生在課堂上出錯(cuò)時(shí)，教師要充分發(fā)揮學(xué)生透露解決問題的方法，而要因勢(shì)利導(dǎo)，將“錯(cuò)誤”轉(zhuǎn)化成有助于課堂教學(xué)的素材，成為學(xué)生學(xué)習(xí)的活水源頭，教師應(yīng)提供給學(xué)生自主探索的空間，讓他們合作交流，各抒己見，層層剖析，在爭(zhēng)論中明理，去偽存真、去粗取精主動(dòng)尋求解決問題的方法，這樣所習(xí)得的本領(lǐng)才是真正被他們所理解吸收的本領(lǐng)。

案例3：學(xué)習(xí)完“一元二次方程”后，筆者在第一節(jié)復(fù)習(xí)課上出示了這樣一道練習(xí)題：已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。

生1：因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以必須滿足b2-4ac>O，即>0，解得k>-1/4。

師：（筆者沒有指責(zé)學(xué)生）請(qǐng)同學(xué)們對(duì)該同學(xué)的意見發(fā)表自己的看法。

生2：由題意可知，此方程是一元二次方程，故還須保證二次項(xiàng)系數(shù)3k+l≠0，即k≠-1/3，故本題k的取值范圍為k>-1/4且k≠-1/3。（這時(shí)好多同學(xué)點(diǎn)頭表示贊同）

師：大家都同意了（過了一會(huì)兒，有個(gè)同學(xué)站起來）

生3：我認(rèn)為剛才這位同學(xué)的分析是對(duì)的，但最后的結(jié)論是錯(cuò)誤的，要取k≠-1/3與k>-1/4的并集，因此k的取值范圍為k>-1/4。

師：點(diǎn)頭表示有道理，（這時(shí)課堂斗的氣氛開始活躍起來）筆者趁機(jī)追問，還有不同意見嗎？（學(xué)生進(jìn)入了積極的思考，教師在教室里來回巡視，并進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，不久教室里傳來幾位同學(xué)的聲音：丟了k≥0這個(gè)條件，筆者立即加以肯定，指定其中一個(gè)發(fā)言）

生4：k的取值范圍應(yīng)同時(shí)滿足k>-1/4且k≠-1/3且k≥0.故本題的取值范圍為k≥0”。

這個(gè)過程緊扣學(xué)生可能產(chǎn)生的困惑，經(jīng)過一波三折的討論，將易錯(cuò)、易混的知識(shí)通過學(xué)生的積極參與，分析得一清二楚，從而使學(xué)生從更高層次上深化了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解。

三、巧用錯(cuò)誤——橫看成嶺側(cè)成峰

具有方向性和規(guī)律性的數(shù)學(xué)思想，是數(shù)學(xué)方法的靈魂，數(shù)學(xué)思想是在解題過程中的.教學(xué)中，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生在糾錯(cuò)過程中，努力使數(shù)學(xué)思想方法得到“正遷移”，從感性認(rèn)識(shí)逐漸概括上升成理性認(rèn)識(shí)，最終轉(zhuǎn)化為學(xué)生“可持續(xù)發(fā)展”的學(xué)習(xí)策略。

案例4：筆者教學(xué)了“軸對(duì)稱”這一章節(jié)后，復(fù)習(xí)等腰三角形有關(guān)概念，針對(duì)學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)設(shè)計(jì)了如下一組題目：

錯(cuò)題回顧

①等腰三角形ABC兩邊長(zhǎng)分別為AB=5cm和AC=6cm，則它的周長(zhǎng)為16cm。（答案：16cm或17cm）

②等腰三角形ABC是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有1條。（答案：1條或3條）

③等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為35°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為55°。（答案：55°或125°）

④等腰三角形ABC中，∠A=50°，則∠B=65°或50°。（答案：65°、50°或80°）

“等腰三角形”是重要的軸對(duì)稱圖形之一，很多差生認(rèn)知不夠全面，忽視了等邊三角形這一特殊情形，導(dǎo)致了問題的錯(cuò)誤；在診斷以上的幾個(gè)問題時(shí)，需要學(xué)生運(yùn)用分類的思想，借用數(shù)形結(jié)合方法，對(duì)等腰三角形的腰、底邊、頂角、底角等有關(guān)概念進(jìn)行自我診斷，讓學(xué)生從錯(cuò)解中對(duì)等腰三角形有關(guān)知識(shí)進(jìn)行反思性的構(gòu)建，達(dá)到對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念的深刻理解.從而有效提高了學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力，有效發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。

四、反思錯(cuò)誤——解題有路思為徑

思維的嚴(yán)謹(jǐn)性即思維過程的嚴(yán)謹(jǐn)性，體現(xiàn)在解題過程中對(duì)推理論證、計(jì)算等語(yǔ)言表達(dá)的清晰、嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)，對(duì)于學(xué)生出現(xiàn)的思維混亂、表達(dá)不清、以偏概全、忽略條件等問題，要讓學(xué)生敢發(fā)言、多發(fā)表、引導(dǎo)學(xué)生在不斷地反思過程中內(nèi)化知識(shí)，構(gòu)建更加清晰、穩(wěn)定、系統(tǒng)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)，最終學(xué)得更牢固的真知。如：在學(xué)生學(xué)習(xí)“等腰三角形”后，復(fù)習(xí)課上，筆者發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)把這一道證明錯(cuò)了。

案例5：如圖：在三角形ABC中，AB=AC，O是三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且OB=OC，求證：AO垂直BC。

錯(cuò)證一：因?yàn)镺B=OC，所以AO平分∠BOC，

因?yàn)锳O平分∠BOC，所以AO垂直BC（等腰三角形“三線合一”）

錯(cuò)證二：取線段BC的中點(diǎn)D，連接OD。

因?yàn)锳B=AC，所以三角形ABC是等腰三角形

又因?yàn)锽D=DC，所以AO垂直BC（等腰三角形“三線合一”）

針對(duì)以上錯(cuò)誤證明，筆者讓學(xué)生反思、討論自己證明不嚴(yán)密的原因：

生1：OB=OC不能說明AO是∠BOC的平分線，我當(dāng)時(shí)感覺AO與三線合一有關(guān)，便把它當(dāng)作已知條件使用，導(dǎo)致證明不嚴(yán)密。

生2：連接OD，并不代表A、O、D三點(diǎn)共線，也需要證明。

師：那么該這樣證明呢？

生1：可以不用證明三點(diǎn)共線的，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，這樣就說明A、O、D三點(diǎn)是在一條直線上，再利用SSS證明AOB全等于AOC，利用等腰三角形三線合一即可證得。（學(xué)生都投來贊許的目光）

生2：連接AO，因?yàn)锳B=AC，所以∠ACB=∠ABC；因?yàn)镺B=OC，所以∠OCB=∠OBC

因?yàn)椤螦CO=∠ACB-∠OCB，∠ABO=∠ABC-∠OBC。

所以∠ACO=∠ABO因?yàn)锳B=AC，OB=OC

所以△ACO≌△ABO。因?yàn)椤螧AO=∠CAO

所以AO是等腰三角形的頂角平分線，所以也是高即AO⊥BC

生3：……。

在平時(shí)教學(xué)中，筆者讓學(xué)生真實(shí)地表達(dá)自己的想法，勇敢說出自己的錯(cuò)誤所在，對(duì)自己解題的思維進(jìn)行批判性回顧、分析和檢查，以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提升學(xué)生的思維能力。

教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、不斷發(fā)展推進(jìn)的過程，有靈活的生成性。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師如果只是機(jī)械地應(yīng)對(duì)，只追求學(xué)生正確的答案，那么學(xué)生的思維能力、表達(dá)能力、概括能力、理解能力都不能得到很好的提高，甚至誤導(dǎo)學(xué)生死記硬背，偏離正確的學(xué)習(xí)方法。正確可能只是一種模仿，而錯(cuò)誤則可能是一種創(chuàng)新的開始。只要我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中不斷提升自己的教學(xué)機(jī)智，將“錯(cuò)誤”變成教學(xué)成功的奪目亮點(diǎn)，就能點(diǎn)“石”成“金”；就能讓“錯(cuò)誤”生成美麗。讓學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)由“錯(cuò)誤”走向“絢爛”。

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