在反思中提升數(shù)學(xué)解題的能力

陳鳳霞

[摘 要] 數(shù)學(xué)教育活動中，最基本的活動形式是“解題”。中學(xué)生要學(xué)會“解題反思”。解題反思促進學(xué)生元認知能力的提高，積累解題策略經(jīng)驗。需要對解題的思考過程、數(shù)學(xué)思想方法、知識點、推理過程、語言表述、解題答案進行反思。

[關(guān)鍵詞] 解題反思 元認知能力 策略

在數(shù)學(xué)教育活動中，最基本的活動形式是“解題”。學(xué)生無論是在數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)命題的掌握、數(shù)學(xué)方法和技能技巧的獲得，還是智力的培養(yǎng)與發(fā)展上都必須通過“解題”，但數(shù)學(xué)對象的抽象性、推理的嚴謹性與數(shù)學(xué)語言的特殊性卻決定了處于思維發(fā)展階段的中學(xué)生不可能一下子就直接掌握，必須經(jīng)過多次反復(fù)探究、深入思考，然后自我調(diào)整，才可能洞察數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)。這就需要我們的中學(xué)生要學(xué)會“解題反思”。

一、 解題反思的必要性

1. 數(shù)學(xué)解題中元認知能力的提高

數(shù)學(xué)解題是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，在解題過程中需要學(xué)生對自己的認知過程、思考方式去進行自覺的監(jiān)測、控制和有效調(diào)節(jié)，這就是數(shù)學(xué)解題的元認知能力。數(shù)學(xué)教育家波利亞（G. Polya）強調(diào)：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)首要任務(wù)是加強解題訓(xùn)練”。但解題訓(xùn)練決不是要求學(xué)生死記硬背各種套路與模式，把學(xué)生訓(xùn)練成對習(xí)題作出“快速反應(yīng)”的解題機器，而是培養(yǎng)學(xué)生在解題中能自我監(jiān)控和自我意識。一個解題“高手”在遇到稍難的問題時決不急于看 解題答案，而是先獨立作出一番研究，對如何入手、如何構(gòu)思、如何選擇、如何猜想作出基本策劃，對問題情境的各種信息準確分類，迅速調(diào)動頭腦中相關(guān)知識對有效信息作出選擇，控制選擇解決問題的策略，然后開始解題，在解題過程中總是保持良好的批判性與高度的警覺性密切關(guān)注解題過程并隨時用適當?shù)姆椒z查自己的猜想與推理直至解題結(jié)束。解題結(jié)束后再回過頭去自覺對問題的本質(zhì)進行重新剖析，回顧發(fā)現(xiàn)解題“點金一念”的經(jīng)歷，抽取問題解決的關(guān)鍵，反思出此次解題過程的經(jīng)驗與教訓(xùn)。這樣所形成的解題經(jīng)驗才能有較強的、廣泛的遷移性。在這個過程中，自我反思往往被忽視，而它是提高認知能力中的“自我意識”的關(guān)鍵所在。

2. 解題策略經(jīng)驗的積累

為了使學(xué)生能把學(xué)習(xí)作為主動自覺的一個過程，就必須讓他們形成良好的解題認知結(jié)構(gòu)。解題認知結(jié)構(gòu)的建立和改造有三大環(huán)節(jié)：知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)、解題實踐活動和策略經(jīng)驗積累。在第三環(huán)節(jié)中，要能積累策略經(jīng)驗并不是“題海戰(zhàn)術(shù)”中馬不停蹄做題就能達到的，而是要在不斷“解題回顧”中才能日積月累。在“回顧”中，把問題解決的新舊相關(guān)知識，解題方法、思考策略等意義進行同化并進行聯(lián)系的強化，使知識更鞏固，方法更熟練，策略理融合貫通，從而獲得新的解題策略、方法，這個“回顧”過程又是一次“策略與經(jīng)驗”的學(xué)習(xí)與積累。而如果一味只顧面對排山倒海而來的題目，沒有時間去“回顧”，哪有新策略的重構(gòu)呢？古人云：工欲善其事，必先利其器，解題反思正是磨利“解題武器”的過程。

二、 解題反思的方法

1.對解題的思考過程進行反思

在對一個問題解答結(jié)束以后，引導(dǎo)學(xué)生努力去回憶自己從開始到結(jié)束的每一步心理活動，即對解題的思考過程進行反思。一開始看到題目是怎么想的，繞了什么彎路，碰了幾個釘子；為什么這么想，怎么會走到彎路的，所碰的釘子以后有什么可解決的規(guī)律可循；思考過程中老師和同學(xué)的提示為什么使我“頓悟”，我跟他們的差距是什么；自己的思考過程有沒有什么普遍性的規(guī)律可以歸納等等。比如解完方程“ ”后反思一下為什么我一看到題目就覺得似曾相識但又怕它的“4次”呢？后來又是如何解決“4次”的，這種解決辦法有沒有什么規(guī)律呢？通過一連串的反思，學(xué)生會主動建構(gòu)此類“高次”方程解法的一種策略。這無疑是對學(xué)生一種元認知能力的培養(yǎng)，是一種學(xué)習(xí)潛能的培養(yǎng)。

2.對解題所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法進行反思

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓是對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會、掌握和運用。而數(shù)學(xué)思想方法沒有獨立的存在形式，往往伴隨著具體的數(shù)學(xué)活動過程，蘊涵在具體解題的字里行間，要靠學(xué)生在長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中領(lǐng)悟、吸收和運用。因此，在解題結(jié)束后，應(yīng)該去發(fā)掘一下在此過程中用了什么思想方法，這種用法有什么特點，在其他情況下是否也用過，有什么差異和規(guī)律等。當然這個過程開始必須由老師去引導(dǎo)和選拔，預(yù)先介紹轉(zhuǎn)化的的思想，函數(shù)與方程思想、分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“降次、消元、換元、配方、歸納”等方法，然后碰到類似問題時讓學(xué)生主動思考屬于哪種思想方法，從而不斷提高對思想方的認識和運用水平。

3.對解題所涉及到的知識點進行反思

大多數(shù)學(xué)生對某一數(shù)學(xué)對象的認識不是在一次數(shù)學(xué)活動中就能完成的。比如初中八年級的學(xué)生在剛開始接觸函數(shù)時并不能理解用“變量”下的定義，對于“ ”與“ ”是否是同一個函數(shù)根本不理解，對于函數(shù)為什么會有圖象更是莫名其妙。函數(shù)對學(xué)生來說是一個難點，他們對函數(shù)的本質(zhì)屬性的認識不是在短時間內(nèi)就能達到的，必須要經(jīng)歷一個長期的過程。而每一次的解題過程都可能提供一個提高認識水平的機會。盡管可能每次的數(shù)學(xué)背景不同，但涉及到同一對象“函數(shù)”的就可以進行反思，這個題目中的函數(shù)自己是否有一些新的認識，原來的認識有什么欠缺，這種欠缺是什么造成的，現(xiàn)在我會不會補救等等。久而久之，認識會越來越深刻，越來越完善。而正是這種與具體情境聯(lián)系起來的認識才是能遷移的認識，才是最有用的認識。

4.對解題的推理過程、語言表述進行反思

數(shù)學(xué)解題追求簡單自然，就是解題時抓住實質(zhì)，不亂兜圈子，不去一味尋求所謂的妙解，而是利用題目中顯性或隱性的條件直截了當尋求最樸實、最直接的解法。法國數(shù)學(xué)家狄德羅說過：“數(shù)學(xué)中的所謂美的解答，是指一個困難復(fù)雜問題的簡易回答。”

例如，已知關(guān)于 的實系數(shù)一元二次方程 有兩個實數(shù)根 、 且 ，求證： 。

如果僅靠根與系數(shù)的關(guān)系證明相當繁，且書寫過程較瑣碎，但如果由方程 聯(lián)想到函數(shù) 的圖象便簡單自然多了，根據(jù)條件推得函數(shù)在 時均為正值從而推到 ，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系再得到 。在完成解答后，可以對解題的推理過程的邏輯性、嚴謹性進行回顧一下，總結(jié)出簡縮思維結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗，逐步提高簡縮思維的能力。另外還應(yīng)回顧一下運算是否簡便、書寫是否規(guī)范，這也是養(yǎng)成規(guī)范解題習(xí)慣的一個重要途徑。

5.對解題答案進行反思

G.波利亞說：“在你找到第一個蘑菇（或作出第一個發(fā)現(xiàn)）后，要環(huán)顧四周，因為它們總是成堆生長的。”因此不能把獲得答案作為解題的單一目標，一定要形成一種反思意識，思考一下這個結(jié)果是否能變形，推廣？如果改變一下條件，結(jié)論是否會發(fā)生變化？這個結(jié)論能否用于其他問題的解決呢？這樣的反思會引導(dǎo)對其他問題的思考，借用結(jié)論還可以解出原來不會解或有疑惑的問題，在反思中不斷成長為”反思結(jié)論“的受益學(xué)習(xí)者。

反思是我們目前教學(xué)中比較缺乏的環(huán)節(jié)，而解題反思則更為薄弱，合理引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會解題反思是我們數(shù)學(xué)老師的重要職責(zé)。它能促使學(xué)生主動學(xué)習(xí)、自主構(gòu)建知識體系，也是彌補學(xué)習(xí)的個體差異的最佳途徑。我們呼吁：解題是一種訓(xùn)練手段，而解題反思才是目的。正如柯朗（R.Courant）所說：“數(shù)學(xué)的教學(xué)，逐漸流于無意義的單純的演算習(xí)題的訓(xùn)練，固然，這可以發(fā)展運算的能力，但卻無助于提高獨立思考的能力”。因此要提高學(xué)生獨立思考有創(chuàng)造性地解決問題的能力，解題反思起著很大的作用，在這條引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會如何進行解題反思的道路上，我們還任重而道遠。