推理：推向兒童思維更深處

徐建林

[摘要]推理能力是新課標提出的十個關鍵詞之一，它是學生極為重要的數學素養(yǎng)，本文選取張玉平老師的《圓的認識》《圓的周長》《圓的面積》三課片段，重點分析兒童推理能力的培養(yǎng)要點。

[關鍵詞]小學數學 “圓”的三部曲 推理 思維

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學在數學教學中，應當注重發(fā)展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直覺、數據分析觀念、運算能力、推理能力。推理不僅是數學的基本思維方式，更是生活中經常使用的一種思維方式，因此在小學教學中要不斷致力于兒童的推理能力的發(fā)展和提升。

一、推理讓枯燥的概念走向靈動的思維

[《圓的認識》教學片段]

在教學完圓與其他平面圖形的區(qū)別和聯系及簡單的畫圓后，張老師接著開始引導學生探究圓的內部概念和特征。

師：我們認識了圓，研究平面圖形我們一般要從形狀、大小、位置這些方面去認識?，F在老師要大家去畫一個和黑板上一樣大的圓，你們能做到嗎？

生：只要用圓規(guī)準確地量出直徑和半徑，就可以畫出一個一樣的圓。

師：一個叫直徑，一個叫半徑，也就是說認識這個圓，還必須要認識半徑和直徑，同學們還想說什么？

生：還要知道圓心。

師：又加了一個條件，除了知道直徑、半徑，還要知道圓心。（板書：圓心、半徑、直徑）

師追問：老師想知道，這三個條件你們認為哪一個應該先認識？

生：圓心。

師：是不是因為我把圓心寫在第一個，所以你覺得是第一個？

生：不是。

師：說說理由。

生：因為有圓心畫出來才能知道直徑和半徑。

師：（拿出剛剛學生畫的圓）畫的時候這個點是不動的，這是圓心。（出示圓心概念的板書）

師：同學們讀到了什么？

生：字母O可以表示圓心。

生：知道了如何畫圓的第一步。

生：用中間針尖的一頭抵住固定不動。

生：不動的那一點是圓心。

生：畫圓的時候，圓心固定不能動。

生：圓心只有一個。

師：有第二個嗎？為什么？

生：不會，有兩個圓心的話就可以畫兩個圓了。

師：讀一讀這句話。（出示半徑概念的板書）

師：你讀到什么了？

生：一個圓上有無數條半徑。

師：為什么圓有無數條半徑？

生：因為圓有無數個點組成，只要連接圓心和圓上任意一點就是半徑，所以有無數條半徑。

生：想畫出半徑，一定是圓心和圓上任意一點的連接。

生：半徑是線段。

生：半徑有長度。

師：一頭在圓心，一頭在圓上，線段，是有長度的，順著這個思路，同學們想到了什么？

生：他們的長度都一樣的。

師：線段的長度都相等，老師有點不相信，誰來說一說？

生：因為圓心是圓的中心點，它到圓上的任意一個位置的長度都是一樣的。

師：現在我們知道半徑有無數條且長度都相等。用這樣的方法繼續(xù)學習直徑。（出示直徑概念的板書）

師：根據同學讀的，你們說我該怎么畫直徑？

生：通過圓心，從上面畫下來，不要出頭。

生：在兩端上。

師：還讀出什么？

生：直徑也是線段。

生：兩條半徑的長度等于一條直徑的長度。

生：直徑也有無數條，每條直徑的長度一樣。

生：直徑就是圓的對稱軸。

師：直徑就是對稱軸，誰來證明一下？

生：只要將圓對折，兩邊是一樣的，所以圓是軸對稱圖形，這個折痕是直徑。

師：所以對稱軸是直徑所在的那條直線。

生：我還知道直徑是圓內最長的線段。

師：分析了這幾句話，讓我們更加了解了圓心、半徑、直徑，因此數學知識可以讀，但更要想……

[品析]《圓的認識》是一節(jié)概念課，但有別于一般的概念課，本課并沒有直接研究圓的幾何定義，而是界定了圓心、半徑、直徑等圓構成部分的概念。在以往的圓的教學中，教師們普遍糾結于圓心、半徑、直徑這三個概念是一起呈現還是打散在各個環(huán)節(jié)中逐個出現？是先誘導學生說然后順勢呈現，還是強行植入式呈現？何種研究方式才能實現概念的價值最大化？……而在本環(huán)節(jié)中，教師用實際教學給出了最好的答案。

教師首先以一個問題“老師要大家去畫一個和黑板上一樣大的圓，你們能做到嗎？”為導向，引導學生說出了圓心、半徑、直徑等概念，但是教學經驗告訴我們，學生雖能說，但未必盡知其玄妙之處，于是，教師采用了逐個擊破的方法進行分解教學，出示概念后，隨即提問：你讀到了什么？（這也是三個概念教學中的核心問題）讓學生發(fā)散式地進行自由聯想，學生每一次的“我知道了”“我還知道了”……無不展示了其思維的火花，就這樣原本枯燥的概念記憶變成了一場思維賽跑，同時，教師在學生說明后想法，不時地追問“為什么？”以此讓學生實現有理有據地推理。

縱觀此環(huán)節(jié)，教師更多的是采用了從一般到特殊的演繹推理的模式，他從一個概念出發(fā)，結合學生剛剛畫圓過程中積累的認知經驗，不斷引導學生聯想、論證，從而將割裂的三個概念通過學生靈動的思維加工后結合成了一個整體，正如烏申斯基曾指出：所謂智力發(fā)展不是別的，只是很好組織起來的知識體系，而知識體系因為其內在的邏輯結構而獲得邏輯意義。教師就這樣讓學生從概念為源點，讓思維自由地旅行，看遍知識的風景后，又回到了源點，但我相信，這個源點再也不是學生當初所認為的源點。

二、推理讓淺顯的直觀走向嚴密的邏輯

[《圓的周長》教學片段]

教師讓學生在已畫好的一個圓中找到直徑后，再用三角尺的60。角沿直徑畫了一個三角形。如圖：

師：圖畫好了，你覺得老師要提什么問題？或者你有什么想法想說？

生：我為什么要畫三角形？

生：這個圓里可以畫多少個這樣的三角形？

生：三角形的周長是多少？

生：三角形的面積是多少？

師：三角形的面積，以后我們要學圓的面積再來研究。

生：這個三角形有什么特殊的地方？

師：你覺得有什么特殊的地方？

生：老師用的是三角尺的60°的那個角畫的角。

師：觀察得非常仔細，看到的是老師用60°的角來畫的。學習不光要聽，還要觀察，觀察后還要思考。從這個度數想，它是一個什么三角形？

生：這個是等邊三角形。

師：你量過嗎？

生：沒有。

師：老師也沒有量過，我只畫了一個角，你能證明出是等邊三角形嗎？同桌討論一下。

生匯報：兩條邊都是圓的半徑，所以它是一個等腰三角形，那么下面兩個角的度數是一樣的。剩下的就是180°-60°=120°，下面兩個角就是120°除以2都等于60°，所有的角都是60°，所以是等邊三角形。

師：這個圓可以畫幾個這樣的三角形？

生：6個。

師：這個六邊形的周長和這個圓的周長有什么關系？誰長誰短？

生：圓的長。

生：圓的周長比6r多一些。

生：圓的周長比3d多一些。

師：也就是說圓的周長比直徑的3倍多一點，到底多多少呢？請看。（師出示圓周率的板書：任何一個圓的周長除以直徑的商都是一個固定的數，這個固定的數叫作圓周率）

[品析]《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。誠然在現代教育理念下，只讓學生死記C=πd已經不合時宜，無論是教材的編排意圖還是學生自身素養(yǎng)的提升都需要教師通過動手操作等方式幫助學生找到圓的周長和直徑的關系。然而教學實踐告訴我們，通過動手測量圓形物體表面的周長或是通過滾一滾的方式雖然能加深學習體驗，但得到圓周率都是十分困難的。

在本環(huán)節(jié)中，教師的教學可謂是另辟蹊徑，教師先用三角尺的60°角沿直徑畫了一個三角形，接著他讓學生證明所畫的三角形是一個等邊三角形，而這個證明過程看似簡單但又布滿了崎嶇，因為小學生的圖形認知普遍是靠眼睛看后的感覺（這是幾何思維水平的最低層次：視覺），不需要加以證明，但是張老師卻不滿足于學生的直觀，而是硬生生地“殘酷”地讓學生進行嚴謹地證明，這看上去多余的一筆，卻是兒童思維邁出的一大步，即從直觀思維走向邏輯推理的思維（這是幾何思維水平的高層次：形式化的演繹）。同時細觀整個教學環(huán)節(jié)，無不彰顯了教師高超的教材解讀能力：進行細致的解構，從細細地研究一個三角形開始，過渡到了六個三角形，這又細又慢的過程加深了學生對圓的周長和直徑關系的體驗，從而順利地推導出了圓周率。

數學作為一種演繹系統(tǒng)，一方面，使得數學內容以邏輯意義相關聯，另一方面，從知識結構所蘊含的邏輯思維形式中得到的研究方法（如邏輯推理等），再去獲取更多的知識。

三、推理讓個體的猜想走向智慧的發(fā)現

[《圓的面積》教學片段]

教師事先在黑板上畫了兩個圖形，然后用紙遮住。

師：請同學們猜猜黑板上畫的是什么？

生：圓。

師：是的，今天學圓的面積，肯定與圓有關。

師：另外一個呢？誰來猜！

生：正方形。

生：長方形。

生：三角形。

生：平行四邊形。

師：請不要輕易下結論，猜也要有目標，請用腦子想想應該是什么。

生：應該是正方形，因為正方形里面正好可以畫一個圓。

師揭示謎底正方形：看來正方形和圓果然存在一定的關系。我們來看看，這個圓和正方形誰的面積大？

生：正方形，因為正方形里面正好可以畫一個圓。

師：顯然正方形的面積大。但是通過觀察，大家能不能理解這個圓就是正方形里最大的圓？為什么？

生：不能，因為沒有寫出正方形的邊長是多少，也不知道圓的直徑，所以不能將直徑和邊長進行比較看他們是否相等。

師：現在老師把數據寫出來，你能不能看出？

生：圓的直徑是30厘米，正方形的邊長是30厘米，所以這個圓是正方形里最大的圓。

師補充：可以發(fā)現這個圓的面積比這個正方形的面積小。

師：剛才我們說這個圓是正方形里最大的圓，如果我們不知道這個正方形的邊長，假設正方形的邊長是d，那么正方形的面積是多少？

生：d的平方。

師：正方形的面積還可以怎么說？

生：正方形的面積等于圓的面積多一些。

師：正方形的面積還可以怎么說？

生：4個r的平方。

師：那么圓的面積是多少？

生：是r的平方的三倍多一些。

師：我們知道c除以d就等于圓周率，那么圓的面積是誰除以誰會3倍多一些？

生：圓的面積就是半徑乘半徑乘3倍多點。

師：現在我們就把圓轉化成已經學過的圖形來推導，同桌兩人可以把圓平均分成16等分或者32等分，拼成一個我們以前學過的圖形，然后想想面積怎么算？

學生有的將圓轉化成了平行四邊形，有的轉化成了梯形、有的轉化成了三角形進行推導面積公式。

[品析]有人說，一個好的問題是一堂數學課的靈魂。但在這課上假如一定要說有一個好問題的話，那么就是一個字“猜”，這是一個簡單至極的問題卻又蘊含著無比玄奧的哲思，老師讓學生“猜”，引導他們走向數學的本質。

在這個環(huán)節(jié)中，老師讓學生通過“三猜”不斷提升學生的思維層次：“一猜”和圓有關的圖形，明確圓與正方形存在某種神秘的聯系；“二猜”圓的面積與正方形面積大小，通過觀察引導學生驗證自己的猜想；“三猜”圓的面積計算公式，從而利用轉化進行推導驗證，得到嚴密的論證。而這“三猜”無不契合了范希爾夫婦在20世紀80年代提出的幾何思維水平的三個層次，即直觀水平（visual level）——整體認識幾何對象；描述水平（de-scriptive level）——通過幾何性質認識幾何對象；理論水平（theoretical level）——利用演繹推理證明幾何關系。細細品來，原本看似無心之“猜”，卻蘊含了張老師的別有用心、別出心裁的教學設想，而也正是這“三猜”帶領著學生們走向了智慧的發(fā)現之旅。

鄭毓信教授說：數學基礎知識的學習，不應求全，而應求聯。在我看來，數學的學習不只要讓學生感受到知識點之間的相互串聯，更要讓學生感受到內在的數學思想的連接，而老師正是將原本同屬于一個單元但又完全不同的三課時，用一條“推理”之鏈，緊密地聯系在了一起，“看著兒童的靈魂如何自由地從一道瀑布迅速跳到另一道瀑布。”這不僅是張老師教學之功的全然體現，更是告訴我們數學教學中應有的“無限可能”。