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    函數(shù)零點(diǎn)與單調(diào)性在導(dǎo)數(shù)題目中的應(yīng)用

    2017-06-05 14:52:05山東省寧陽第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)271400山東省寧陽一中271400
    數(shù)理化解題研究 2017年13期
    關(guān)鍵詞:寧陽增函數(shù)定義域

    山東省寧陽第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)(271400) 山東省寧陽一中(271400)

    王曉輝● 蘇凡文●

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    函數(shù)零點(diǎn)與單調(diào)性在導(dǎo)數(shù)題目中的應(yīng)用

    山東省寧陽第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)(271400) 山東省寧陽一中(271400)

    王曉輝● 蘇凡文●

    在高中階段,導(dǎo)數(shù)知識主要用來研究高次函數(shù)、超越函數(shù)的性質(zhì),難度較大,有較強(qiáng)的區(qū)分度,故在模擬題與高考題中一直肩負(fù)著壓軸題的重任.本文利用一類與不等式有關(guān)的典型導(dǎo)數(shù)題目,從函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)單調(diào)性兩個視角談一下一類導(dǎo)數(shù)大題的解決辦法.

    視角一 函數(shù)零點(diǎn)

    對于超越函數(shù)的零點(diǎn)一般要靠觀察得到,但也有章可尋,如若函數(shù)中含對數(shù)式,真數(shù)為1時對應(yīng)的自變量的值一般為函數(shù)的零點(diǎn),而且零點(diǎn)多為0、1、-1、e等.

    視角二 函數(shù)的單調(diào)性

    導(dǎo)數(shù)研究的函數(shù)單調(diào)性無外乎三種,我們分別命名為類一次函數(shù)、類二次函數(shù)、類三次函數(shù),即函數(shù)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減、先增后減或先減后增、先增后減再增或先減后增再減.

    類型一 零點(diǎn)與類一次函數(shù)

    若函數(shù)定義域的端點(diǎn)為函數(shù)的唯一零點(diǎn),則對應(yīng)的函數(shù)一般為類一次函數(shù),可利用一次函數(shù)的單調(diào)性解題.

    題目1 (2016新課標(biāo)Ⅱ文20)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

    分析 (Ⅱ)中容易發(fā)現(xiàn)僅有1為函數(shù)f(x)的零點(diǎn),即f(1)=0,又滿足f(x)>0恒成立,所以大膽猜測函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增的類一次函數(shù),以此為切入點(diǎn)嘗試解題.

    二、零點(diǎn)與類二次函數(shù)

    此類型題目有兩類.

    1.若函數(shù)定義域內(nèi)(不含端點(diǎn))有唯一零點(diǎn),而函數(shù)恒大于或恒小于(亦可恒大于等于或恒小于等于)零,則對應(yīng)的函數(shù)一般為類二次函數(shù),可利用二次函數(shù)的單調(diào)性來解題.

    2.若函數(shù)定義域兩端點(diǎn)值均為函數(shù)的零點(diǎn),而函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零,則對應(yīng)的函數(shù)一般為類二次函數(shù),可利用類二次函數(shù)的單調(diào)性來解題.

    (Ⅰ)求l的方程;

    (Ⅱ)證明:除切點(diǎn)(1,0)之外,曲線C在直線l下方.

    x>1時,1-x2-lnx<0,所以g′(x)<0,g(x)在(1,+)上為減函數(shù),則g(x)

    綜上可知,除切點(diǎn)(1,0)之外,曲線C在直線l下方.

    題目3 (2016年新課標(biāo)Ⅲ文21)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1.

    (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

    (Ⅱ)證明當(dāng)x∈(1,+)時,;

    (Ⅲ)設(shè)c>1,證明當(dāng)x∈(0,1)時,1+(c-1)x>cx.

    分析 在(Ⅲ)中,設(shè)函數(shù)g(x)=1+(c-1)x-cx,容易觀察出區(qū)間(0,1)的端點(diǎn)值0、1為函數(shù)g(x)的兩個零點(diǎn),而需證g(x)>0,故大膽猜測函數(shù)g(x)為先增后減的類二次函數(shù),以此為切入點(diǎn)嘗試解題.

    解析 設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx,g′(x)=c-1-cxlnc,g″(x)=-cx(lnc)2<0,所以g′(x)在(0,1)上為減函數(shù).

    又g′(0)=c-1-lnc,g′(1)=c-1-clnc.

    由(Ⅱ)c>1時,c-1-lnc>0,c-1-clnc<0,即g′(0)>0,g′(1)<0.

    所以存在唯一的x0∈(0,1)使得g′(x0)=0,

    所以x∈(0,x0)時,g′(x)>0,g(x)在(0,x0]上為增函數(shù),g(x)>g(0)=0;

    x∈(x0,1)時,g′(x)<0,g(x)在(x0,1)上為減函數(shù),g(x)>g(1)=0.

    所以x∈(0,1)時,g(x)>0,即1+(c-1)x>cx.

    三、零點(diǎn)與類三次函數(shù)

    若函數(shù)定義域內(nèi)有一個端點(diǎn)值為零點(diǎn),另一個非端點(diǎn)值為零點(diǎn),而函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零,則對應(yīng)的函數(shù)一般為類三次函數(shù),可利用類三次函數(shù)的單調(diào)性來解題.

    題目4 (2017年泰安市一輪模擬題20)已知函數(shù)f(x)=aex+bx在y軸上的截距為1,并且與x軸相切.

    (Ⅰ)求a,b的值;

    (Ⅱ)函數(shù)g(x)=x2-2x+1,求證:x≥0時,f(x)≥g(x).

    分析 由(Ⅰ)可得a=1,b=-e,設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=ex-ex-(x-1)2,x≥0時,容易觀察出0、1為函數(shù)h(x)的零點(diǎn),而需證h(x)≥0,故大膽猜測函數(shù)h(x)為先增后減再增的類三次函數(shù),以此為切入點(diǎn)嘗試解題.

    解析 由(Ⅰ)可得a=1,b=-e,則f(x)=ex-ex.

    設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=ex-ex-(x-1)2(x≥0).

    h′(x)=ex-e-2(x-1),h″(x)=ex-2,

    h″(x)<0時,0

    h″(x)>0時,x>ln2,h′(x)為增函數(shù).

    因?yàn)閔′(1)=0,所以h′(ln2)<0,

    因?yàn)閔′(0)=3-e>0,所以?x0∈(0,ln2),使得h′(x0)=0,

    所以x∈(0,x0)時,h′(x)>0,h(x)在[0,x0]為增函數(shù),h(x)≥h(0)=0;

    x∈(x0,1)時,h′(x)<0,h(x)在(x0,1)上為減函數(shù),h(x)>h(1)=0;

    x∈(1,+)時,h′(x)>0,h(x)在[1,+)上為增函數(shù),h(x)≥h(1)=0.

    綜上可知,當(dāng)x≥0時,h(x)≥0,即f(x)≥g(x).

    G632

    B

    1008-0333(2017)13-0016-02

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