“數(shù)學(xué)化”視角下問題解決教學(xué)的可行策略

何達明

【摘要】弗賴登塔爾是國際上極負盛名的荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。弗賴登塔爾指導(dǎo)、推動和親身參與了荷蘭的數(shù)學(xué)教育改革實踐，并對20世紀國際數(shù)學(xué)課程的改革與發(fā)展作出了重大貢獻。我們今天所討論的便是在他的“數(shù)學(xué)化”理論下的教學(xué)策略。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)化 再創(chuàng)造 問題解決 教學(xué)策略

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）16-0138-02

生活在21世紀的我們，再去重新學(xué)習弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教學(xué)理念，不免要加上我們自己的認識，以及結(jié)合新課標的教學(xué)去更好的實施，落實到我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中。弗賴登塔爾反對死記硬背，提倡討論式，指導(dǎo)式的教學(xué)形式，反對傳統(tǒng)的講演式教學(xué)。

一、數(shù)學(xué)化的涵義

數(shù)學(xué)化也可以稱為數(shù)字化，字符化。在各門科學(xué)研究實踐中廣泛應(yīng)用數(shù)學(xué)方法的整個實施過程。是指隨著人類社會發(fā)展和科學(xué)進步、數(shù)學(xué)廣泛滲透到自然科學(xué)和社會各領(lǐng)域。即是把數(shù)字的高度抽象性、嚴格邏輯性、語言簡明性、廣泛實用性集中用于人類進行理論思維、邏輯分橋、認識客觀世界的一種輔助工具和表現(xiàn)手段，以達到規(guī)范系統(tǒng)的高度。簡單來講現(xiàn)在我們對于“數(shù)學(xué)化”的認識就是將數(shù)學(xué)學(xué)科所有的抽象性，邏輯性運用到現(xiàn)實生活以及其他學(xué)科之中。弗賴登塔爾認為 ：數(shù)學(xué)化就是數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界的過程。同時他所強調(diào)的數(shù)學(xué)化的對象可分為兩類，一類是現(xiàn)實客觀事物 ，另一類是數(shù)學(xué)本身 ，以此為依據(jù)數(shù)學(xué)化思想被分解為兩大類 ：橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化。[1]

“數(shù)學(xué)化”的教學(xué)涵義，弗賴登塔爾曾經(jīng)說過：“與其說是學(xué)數(shù)學(xué)倒不如說是學(xué)習“數(shù)學(xué)化”，與其說是學(xué)習公理系統(tǒng)，還不如說是學(xué)習“公理化，與其說是學(xué)習形式體系，倒不如說是學(xué)習形式化?！本臀易约簩τ凇皵?shù)學(xué)化”教育的理解就是立足于現(xiàn)實，拋開單純的知識傳授，數(shù)學(xué)的學(xué)習是讓我們的學(xué)生能將在課堂上所學(xué)到的運用于實際生活中。

而我們上面所說到的弗賴登塔爾將“數(shù)學(xué)化”分為橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化。橫向數(shù)學(xué)化我們也稱之為水平數(shù)學(xué)化，這種數(shù)學(xué)化模式主要是通過模型將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，具有生活數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)化之稱?？v向數(shù)學(xué)化我們也經(jīng)常將其說為垂直數(shù)學(xué)化，這種數(shù)學(xué)化模式是數(shù)學(xué)問題的重組，以及數(shù)學(xué)內(nèi)部知識的遷移調(diào)整，具有有序性，也是對數(shù)學(xué)問題的進一步抽象。這兩種數(shù)學(xué)化的形式跟我們前面所說的水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化又是不謀而合。個人比較推崇在小學(xué)教育中還是應(yīng)該以水平數(shù)學(xué)化為主，從小培養(yǎng)學(xué)生對于數(shù)學(xué)的正確認識，在教學(xué)中不乏要培養(yǎng)學(xué)生的興趣，教育學(xué)家烏申斯基說“沒有任何興趣，而被迫進行的學(xué)習會扼殺學(xué)生掌握知識的意愿?！?/p>

二、“再創(chuàng)造”原則

弗賴登塔爾認為存在兩種數(shù)學(xué)，一種是現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，一種是創(chuàng)新的數(shù)學(xué)。我們在談“數(shù)學(xué)化”就不得不談到“再創(chuàng)造”，他同樣是弗賴登塔爾“數(shù)學(xué)化”思想下的重要組成部分。既然學(xué)習數(shù)學(xué)的過程是一種“數(shù)學(xué)化”的過程，他認為唯一可行的方法就是讓學(xué)生進行“再創(chuàng)造”的學(xué)習?！霸賱?chuàng)造”就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來。他說：“這是兒童學(xué)習數(shù)學(xué)最自然的、也是最有效的方法?！盵2]48而再創(chuàng)造在我們現(xiàn)代的小學(xué)教學(xué)中到底有什么啟示作用呢？例如我們創(chuàng)作一個電影劇本，劇本完成后在拍攝的過程中演員們會不斷的根據(jù)劇情需要以及自己對于角色的理解對劇本進行修改，往往拍出來的電影跟原先的劇本就有著許多不同，但是觀眾卻會更喜歡。然而我們忽略了“再創(chuàng)造”的重要性，數(shù)學(xué)化中的再創(chuàng)造可以將數(shù)學(xué)歷史縮短，可以將數(shù)學(xué)歷史與現(xiàn)實統(tǒng)一。

三、“數(shù)學(xué)化”與問題解決

美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會（NCTM）于 1980 年 4 月公布了文件《關(guān)于行動的議程》（An Agenda For Action），該文件指出：“20 世紀 80 年代的數(shù)學(xué)大綱 ，應(yīng)當在各年級介紹數(shù)學(xué)的應(yīng)用， 把學(xué)生引進問題解決中去?！薄皵?shù)學(xué)課堂應(yīng)當圍繞問題解決來組織 ?！薄皵?shù)學(xué)教師應(yīng)當創(chuàng)造一種使問題解決得以蓬勃發(fā)展的課堂環(huán)境?！?，并且明確提出 ：把“問題解決”作為“學(xué)校數(shù)學(xué)的核心”[3]在數(shù)學(xué)教學(xué)中，傳統(tǒng)教學(xué)認為問題解決就是數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程，就是學(xué)生在課堂上所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識能充分運用的數(shù)學(xué)題目的解答中，那便是學(xué)以致用。在“數(shù)學(xué)化”視角下我們應(yīng)該賦予問題解決更高層次的理解，問題的解決不應(yīng)該僅僅是知識的運用過程，在這個過程里更應(yīng)該加入學(xué)生自身對于問題的理解思考，同樣的需要從實際出發(fā)，在現(xiàn)實思考中解決問題。

例1.22個學(xué)生去劃船，每條船最多坐四人，他們要租多少條船？

（1）從題目中我們能得到什么？

信息一：22個學(xué)生去劃船；信息二：每條船最多坐四人。

（2）他們至少要租多少條船？

反思1—1：“每條船最多坐四人”是什么意思？

每條船：坐滿4人

坐不滿1人，2人或是3人

講解1—1：怎樣租船才能“至少”呢？

每條船盡量坐滿四人，多出的人可在租一條船。

預(yù)設(shè)1：○○○○ ○○○○ ○○○○ ○○○○ ○○○○ ○○

預(yù)設(shè)2： 4，4，4，4，4，2

預(yù)設(shè)3：

22÷4=5（條）……2（人）

反思2-1：求要租幾條船，就是求22里有幾個4，應(yīng)該用除法解答。

講解2-1：豎式中每個數(shù)的含義以及租6條船的道理。

還多出2人，應(yīng)該再租1條船，一共要租6條船。

例2.出租車收費標準每千米1.5元（不足一千米按一千米算）

反思1-1：怎樣計算出租車費？

3km ：3個1.5元 7km： 7個1.5元

講解1-1：全程按單價計費

出租車收費標準：3km以內(nèi)7元，超過3km，每千米1.5元（不足一千米按一千米算）

反思1-2：怎樣計算出租車費？

3km ：7元 7km： 7元和4個1.5元

講解1-2：分段計費

3km以內(nèi)；超過3km

反思1-3：兩種收費標準有什么異同？你喜歡那種收費標準？

講解1-3：

少算：13-10.5=2.5（元）

前3km少算：7-1.5×3=2.5（元）

方法一： 7+1.5×4 方法二： 1.5×7=10.5（元）

=7+6 7-1.5×3=2.5（元）

=13（元） 10.5+2.5=13（元）

反思2-1：

方法一：前面3km應(yīng)收7元，后面4km按每千米1.5元計算… …

方法二：可以先把7km按每千米1.5元計算，再加上前3km少算的。

講解2-1：一種是分段來計算，一種是先假設(shè)再調(diào)整的方法；

分段計費的問題可以用加法計算。

學(xué)生學(xué)習無疑是為了知識的運用。學(xué)學(xué)習的目的之一：能夠應(yīng)用學(xué)得的數(shù)學(xué)知識解決實際問題 ，這類“實際問題”廣泛來源于現(xiàn)實的生活環(huán)境 、工作環(huán)境 ，與常見的“數(shù)學(xué)習題”相比較 ，它沒有充分的條件、確定的結(jié)論， 至多有一個要解決的目標 ，為了實現(xiàn)解決的目標 ，必須通過數(shù)學(xué)模型的建立將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題。

四、可行教學(xué)策略

教師的任務(wù)在于了解學(xué)生的教學(xué)現(xiàn)實，并由此出發(fā)組織教學(xué)。有以下幾點， “數(shù)學(xué)化”視角下的教學(xué)策略還應(yīng)該結(jié)合我國的新課標教學(xué)，在“數(shù)學(xué)化”視角下問題解決的可行性策略可以有以下幾點：

1.嘗試教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)；無論是教師還是學(xué)生對于教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)都是同樣重要的。教師是教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)的指導(dǎo)者，學(xué)生是教學(xué)情境下的主體，相輔相成，才能推動教學(xué)的發(fā)展。

2.引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，自主探索，合作交流；我們在前面說過的“數(shù)學(xué)化”再創(chuàng)造，再創(chuàng)造在我們教學(xué)中具有促進教學(xué)發(fā)展的作用，學(xué)生通過獨立思考創(chuàng)造不同的解題思路，教師同樣也是引導(dǎo)者。

3.重視小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與社會實踐問題的聯(lián)系；“數(shù)學(xué)化”本就是立足于現(xiàn)實的，即是數(shù)學(xué)的現(xiàn)實，在小學(xué)教學(xué)中我們需要做到的是教學(xué)中的“數(shù)學(xué)化”，引導(dǎo)學(xué)生立足現(xiàn)實去思考，而不是跟學(xué)生強調(diào)“數(shù)學(xué)化”，相反教師應(yīng)該將“數(shù)學(xué)化”巧妙運用到教學(xué)中。

4.引導(dǎo)學(xué)生正確認知問題，對知識或理論的發(fā)生發(fā)展及其應(yīng)用有一定的理解能力，提高學(xué)生接受，鞏固數(shù)學(xué)知識的能力，提高學(xué)生自身思維和解決問題的能力。教師要把各種問題加以歸類，使之系統(tǒng)化，引導(dǎo)學(xué)生進行比較，滲透對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的探索。

5.要合理設(shè)計問題，好的問題能誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習動機，啟迪思維，激發(fā)求知欲望，基于情景問題，盡可能的吸引人，問題的設(shè)計還應(yīng)具有較強的“再生力”。要注意提煉基本方法，在“問題解決”教學(xué)中，基本技能和方法在學(xué)習過程中有著特別重要的意義。

弗賴登塔爾的“數(shù)學(xué)化”教學(xué)理念于我而言還有很多需要研究學(xué)習的，如何將其正確地應(yīng)用到我的教學(xué)中，也是我接下來需要不斷刻苦研究的。

參考文獻：

[1]劉祥偉. 對弗賴登塔爾“數(shù)學(xué)化”的再認識[J]. 重慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2001，（02）：82-85.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995.

[3]張奠宙，戴再平，唐瑞芬， 等.數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引[M].南京：江蘇教育出版社， 1998 .