磨片精磨區(qū)纖維軌跡模型的建立及磨齒作用頻數(shù)的求解1)

花軍 林曉亮 陳光偉

(東北林業(yè)大學，哈爾濱，150040)

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磨片精磨區(qū)纖維軌跡模型的建立及磨齒作用頻數(shù)的求解1)

花軍 林曉亮 陳光偉

(東北林業(yè)大學，哈爾濱，150040)

通過對熱磨機磨片精磨區(qū)內(nèi)纖維運動的分析，闡述了纖維的流體特性；根據(jù)流體力學的運動學原理求解磨片精磨區(qū)間隙內(nèi)纖維流體的運動軌跡模型，并建立纖維流體在精磨區(qū)內(nèi)的軌跡方程；結(jié)合磨片的結(jié)構(gòu)參數(shù)，運用軌跡方程推導磨齒作用頻數(shù)的數(shù)學表達式，并通過計算實際磨片的磨齒作用頻數(shù)和統(tǒng)計纖維的研磨質(zhì)量數(shù)據(jù)探究二者之間的影響關系。結(jié)果表明：纖維流體在精磨區(qū)內(nèi)的流動屬于庫特流動，并符合Naiver提出的線性滑移模型；其運動軌跡呈螺旋形，主要受磨片角速度、磨片間隙、磨片齒傾角的影響；磨齒作用頻數(shù)受磨片結(jié)構(gòu)參數(shù)影響，并與纖維的研磨質(zhì)量具有相關性，合理的磨齒作用頻數(shù)能夠保證較高的纖維質(zhì)量。

纖維分離；精磨；流體運動；軌跡模型；頻數(shù)

熱磨法是纖維板生產(chǎn)中纖維制備的重要方法，該法利用熱磨機靜、動磨片對纖維原料進行研磨，使纖維原料在研磨過程中發(fā)生解離。目前，國內(nèi)外對于纖維解離的研究主要是從兩個方面進行的。一方面是分析木材原料的形態(tài)、含水率和纖維質(zhì)量、設備能耗之間的關系，這類研究主要以安德里茨等纖維分離設備制造企業(yè)為代表[1]；另一方面是建立磨齒對纖維作用的力學模型，通過模型分析和實驗驗證得到磨齒的齒形參數(shù)與纖維分離強度、能量消耗等的聯(lián)系[2-3]。纖維在磨片內(nèi)研磨時的運動速度和運動軌跡決定著纖維的研磨時間，研磨時間的長短影響著纖維受磨齒作用頻數(shù)的高低，從而決定纖維質(zhì)量的優(yōu)劣，而目前對于纖維在磨片內(nèi)部運動狀態(tài)的研究較少。

在磨片的精磨區(qū)間隙內(nèi)，從宏觀來看，纖維的運動特征具有統(tǒng)計意義上的平均性和一致性，若只考慮纖維的整體運動性質(zhì)而不考慮纖維單體的微觀運動，則其總體行為模式與流體極其相似[4]。纖維的含水率較高，運動的纖維內(nèi)部以及纖維與磨片之間存在的較大黏性切應力和較強的黏附性，這是黏性流體運動的特點和標志。大量的纖維在精磨區(qū)內(nèi)處于強烈的擠壓狀態(tài)，纖維單體之間相互擠壓和粘連，使整個纖維流體由連續(xù)介質(zhì)組成，因此，纖維既具有流動性又具有連續(xù)性。筆者將運用流體運動學理論對纖維流體進行運動分析，并建立對運動軌跡模型。利用建立的數(shù)學模型推導出纖維流體流經(jīng)精磨區(qū)時受磨片、磨齒作用頻數(shù)的計算公式，通過分析幾種磨片工作時磨齒作用頻數(shù)與纖維質(zhì)量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)研究作用頻數(shù)與纖維質(zhì)量的關系。

1 纖維流體運動速度求解

1.1 纖維流體運動控制方程

研磨過程中磨片間隙設置為定值，纖維在間隙內(nèi)的體積不會改變，視為不可壓縮流體。基于前言對于纖維流體流動性和連續(xù)性的論述，根據(jù)黏性流體運動學理論，纖維流體的軌跡方程將由不可壓縮流體流動連續(xù)性方程和黏性流體運動的微分方程導出[5]。

不可壓縮流體流動連續(xù)性方程為

(1)

黏性流體運動的微分方程為

(2)

式中：X、Y、Z為外部作用于單位質(zhì)量流體的體積力沿x、y、z方向的分量；為哈密爾頓算子，k。

1.2 磨片精磨區(qū)間隙內(nèi)纖維運動速度分析

根據(jù)速度矢量疊加原理，將纖維進入磨片精磨區(qū)后的運動速度分解為繞z軸的周向運動和沿磨片磨齒的擴散運動，如圖1所示。設精磨區(qū)內(nèi)某纖維質(zhì)點M的周向速度為u，擴散速度為w，二者的合成速度為v，M位置的極徑值為r，M與磨片中心O的連線與x軸夾角為θ，磨齒的齒傾角為φ，磨片的精磨區(qū)內(nèi)徑大小為r0。

圖1 纖維質(zhì)點M的速度分解

1.2.1 纖維的周向運動

將磨片精磨區(qū)沿著圓周方向展開成直線，使動、靜磨片轉(zhuǎn)化成平行平板結(jié)構(gòu)，采用流體平行平板間縫隙流動模型進行分析[6]。此時，纖維的周向運動轉(zhuǎn)換成直線運動，如圖2所示，若設纖維質(zhì)點M周向運動的角速度為ω，則纖維質(zhì)點M沿各坐標軸的速度為

(3)

根據(jù)式(1)和式(3)，有?vx/?x=0，由于精磨區(qū)內(nèi)纖維的體積力相比磨片對纖維的作用力來說很小，忽略體積力的影響。則式(2)可簡化為

(4)

纖維周向運動的圓周軌跡上壓強可認為處處相等，即?p/?x=0，得

(5)

因此式(4)進一步簡化為關于z軸坐標值的函數(shù)，即

(6)

設動磨片轉(zhuǎn)動的角速度為ω0，動、靜磨片之間的間隙為hg，由邊界條件

z=0,vz=0;

z=hg,vz=ω0r。

解得纖維質(zhì)點M在磨片間隙內(nèi)的周向速度為

(7)

由式(7)看出，纖維在磨片間隙內(nèi)作周向運動時，運動速度與動磨片角速度、磨片間隙及位置半徑有關，因纖維自身的黏性還會沿間隙方向(z軸方向)產(chǎn)生速度梯度，即和動磨盤磨片接觸的纖維層與磨片同步旋轉(zhuǎn)，與靜磨盤磨片接觸的纖維層靜止不動，兩層之間的纖維運動速度呈線性分布，形成平行于磨片表面的剪切運動。該流動形式在流體運動學中稱為庫特流動[7]。其速度分布見圖3。

圖2 流體平行平板間縫隙流動模型

圖3 纖維流體流動的速度分布

1.2.2 纖維的擴散運動

磨片精磨區(qū)間隙內(nèi)的纖維遇到磨齒的作用時，受齒傾角的影響，纖維流體會沿磨齒的延伸方向向外擴散。由于周向速度與磨齒齒面的夾角為π/2+φ，則纖維的擴散速度w為

(8)

纖維的擴散速度表達式表明磨片精磨區(qū)間隙內(nèi)纖維的擴散運動同樣符合庫特流動，其大小同樣與動磨片角速度、磨片間隙及位置半徑有關，并且受齒傾角的影響。由于擴散速度是極徑值r的函數(shù)，而齒傾角又影響著纖維擴散路徑的大小。因此齒傾角的設置決定著纖維在精磨區(qū)研磨時間的長短，合理的齒傾角能保證纖維良好的研磨質(zhì)量。

1.2.3 纖維的運動速度及其修正

由速度合成定理，利用纖維的擴散速度和周向速度表達式對合成速度的大小進行解算。根據(jù)余弦定理得

(9)

解得纖維的合成速度為

(10)

從式(10)中可以看出，纖維在磨片精磨區(qū)間隙內(nèi)的速度受磨片間隙、磨片角速度及磨齒傾角的影響。這些參數(shù)共同影響了纖維的研磨時間，纖維制備工藝中通過調(diào)整各參數(shù)的大小，可以控制纖維分離的質(zhì)量。

對纖維周向速度、擴散速度和合成速度表達式的導出都是建立在磨片表面為水力光滑壁的條件之上的；但是，由于磨片內(nèi)表面并不光滑且存在磨齒，纖維在磨片間隙內(nèi)的流動將受到很大阻力，頂層纖維的運動無法與動磨片同步運動，而呈現(xiàn)出速度滯后。另一方面，由于動、靜磨片之間的間隙很小，動磨片的旋轉(zhuǎn)對靜磨片表層纖維的拖拽作用不可忽略，即底層纖維運動速度不為零。

基于以上兩個方面的分析，可以得出與靜磨片接觸的纖維在解離過程中將會產(chǎn)生線性滑移。這種滑移又會減小z軸方向纖維運動的速度梯度，與Naiver提出的線性滑移模型相符[8-9]，滑移速度的大小與hg成反比，如圖4所示。

在此對式(7)、(8)和(10)得出得速度表達式引入?yún)?shù)Bv和d進行修正。其中：Bv為考慮磨齒阻力的修正系數(shù)；d為靜磨片表面到速度為零的虛擬點O′的距離，是考慮到磨片表面粗糙程度的修正系數(shù)。修正后的速度表達式為

(11)

由式(11)可知，磨片精磨區(qū)間隙內(nèi)的纖維運動速度符合庫特流動模型，速度大小受磨片角速度、磨片間隙、磨齒傾角和磨片表面粗糙程度及磨齒阻力的控制，通過影響纖維的研磨時間，進而影響纖維的分離質(zhì)量和熱磨機的能耗[10]。

圖4 纖維流體的線性滑移

2 纖維流體運動軌跡方程的建立

2.1 軌跡方程的建立

如圖5所示，在極坐標下，假設纖維質(zhì)點M在t時刻到達M1，極徑值為r，經(jīng)過時間dt后，以速度v到達點M2處，極徑值為r+dr，對應的轉(zhuǎn)角為dθ，則

(12)

圖5 纖維在磨片間隙內(nèi)的運動

當dθ趨于零時，cosdθ趨于1，則式(12)簡化為

(13)

解微分方程(13)得

(14)

當t=0時，r=r0，即C0=r0代入(14)得

(15)

式(15)即為磨片精磨區(qū)間隙內(nèi)纖維運動軌跡的數(shù)學模型。從軌跡方程的表達式可以看出纖維流體運動的軌跡為螺旋線，其軌跡形狀受磨片轉(zhuǎn)速、磨片間隙和磨齒結(jié)構(gòu)及表面粗糙度影響。

2.2 修正系數(shù)的估算

式(15)中的修正系數(shù)BV和d在實際生產(chǎn)中難以測定，但可以通過生產(chǎn)設備年產(chǎn)量和熱磨機及磨片的相關參數(shù)進行估算。

設熱磨機的年產(chǎn)量為Va，則纖維的每秒產(chǎn)出率可算，設為Vs。對于動、靜磨片磨齒與齒槽進行體積補償運算，設磨片外徑為R0，齒高為hc，則磨片間纖維流體的出口面積為

S=2πR0(hg+hc)。

(16)

設纖維流體垂直于磨片方向的出口速度為vs，則有

(17)

此時應取z=hg/2，則將BV和d的估算轉(zhuǎn)換為對BV(hg+d)的計算，估算式為

(18)

現(xiàn)以某國產(chǎn)磨片(內(nèi)徑1 080 mm，外徑1 372 mm)的相關參數(shù)為例，取磨片精磨區(qū)間隙內(nèi)z=hg/2的纖維流體層，利用Matlab繪制出磨片間隙內(nèi)某纖維質(zhì)點的運動軌跡如圖6所示。

圖6 纖維在磨片精磨區(qū)間隙內(nèi)的運動軌跡

通過模型及圖像可以看出，精磨區(qū)纖維在x-y平面上運動的軌跡呈螺旋形。當z值改變，則不同纖維流體層的運動軌跡線發(fā)生相應變化。通過幾何求解得到纖維的擴散路程sw為

當磨片規(guī)格和齒傾角一定時，sw為定值。由式(8)知，當z值減小時，相同r值時的擴散速度小，因此研磨時間長。由于ω0為定值，則軌跡線的圈數(shù)就多。

3 磨片磨齒作用頻數(shù)與纖維質(zhì)量的關系

熱磨機在纖維分離過程中，磨片解離纖維的質(zhì)量和纖維流體的流動狀態(tài)之間具有密切的關系。纖維分離是纖維原料逐次流經(jīng)磨片磨齒表面時，因磨齒形成的壓縮、剪切和摩擦等多種作用力綜合作用后，造成原料被反復壓潰、切斷和分絲的結(jié)果。纖維質(zhì)點M在沿著運動軌跡流動的過程中，由于動磨片的高速旋轉(zhuǎn)，M受到磨齒一定頻數(shù)的作用。若頻數(shù)適當，則纖維分離的質(zhì)量就好，纖維流體的運動和所受磨齒作用的頻數(shù)與磨片齒形結(jié)構(gòu)密切相關；若磨片的齒形結(jié)構(gòu)不合理，原料在磨片內(nèi)的受力頻數(shù)或高或低，都會造成纖維分離質(zhì)量的下降，即纖維可能被過度研磨或研磨的不充分。因此，了解磨齒對纖維流體作用頻數(shù)與纖維研磨質(zhì)量的關系尤為重要。以下對磨齒作用頻數(shù)與纖維質(zhì)量關系進行理論推導和實驗研究。

由纖維質(zhì)點M的軌跡方程(15)，取r=R0可以計算z坐標處纖維質(zhì)點M流經(jīng)精磨區(qū)到達出口所用的時間為

(19)

設纖維質(zhì)點M流經(jīng)精磨區(qū)所受磨齒作用的頻次為k，磨齒齒數(shù)為m，磨片轉(zhuǎn)速為n，則

(20)

將式(18)帶入式(20)得

(21)

式(21)即為磨片磨齒作用頻數(shù)k的數(shù)學表達式?？梢钥闯觯l數(shù)的大小與磨片轉(zhuǎn)速和磨片的規(guī)格、齒數(shù)、齒傾角及磨片間隙等參數(shù)有關，vs由式(17)計算。磨片尺寸和間隙的增大、磨齒齒數(shù)的增多以及齒傾角的加大都會使磨片磨齒作用頻數(shù)增加，從而加強對纖維的研磨作用。磨片間隙內(nèi)不同z值處的纖維研磨強度不同，在磨片規(guī)格、齒傾角一定時，由式(8)可知，z值越大，纖維在精磨區(qū)內(nèi)的擴散速度越大，即被磨片研磨的時間短，經(jīng)歷的磨齒作用頻數(shù)越小，這與式(21)的表達相一致。實際生產(chǎn)中應當綜合考慮磨片結(jié)構(gòu)的各個參數(shù)，使纖維得到適當?shù)淖饔妙l數(shù)，從而防止研磨過度或不充分。

現(xiàn)以我國某幾家纖維板生產(chǎn)企業(yè)的幾種磨片為例，對其研磨出的纖維采用OLYMPUSBX51型生物顯微鏡進行測量和統(tǒng)計，利用統(tǒng)計結(jié)果和相應的磨片參數(shù)探究磨片磨齒作用頻數(shù)與纖維質(zhì)量的關系。所用磨片配備的熱磨機電機轉(zhuǎn)速均為1 500r/min，外徑1 372mm和1 060mm的磨片的分別以年產(chǎn)量15萬m3和10萬m3對vs的估算[11]。頻數(shù)的z軸坐標值統(tǒng)一取為平均間隙高度。根據(jù)《木材工業(yè)手冊》，以早材落葉松的纖維長度、長徑比與大青楊、山楊和小葉楊的平均纖維長度、平均長徑比分別作為合格纖維樣本尺寸形態(tài)的上下限參考值，即合格纖維長度為1.27～3.51mm，長徑比為47.0～60.5[12]。對每種纖維的長度合格率和長徑比合格率進行統(tǒng)計計算，磨片的結(jié)構(gòu)參數(shù)及纖維質(zhì)量統(tǒng)計的百分比見表1。

表1 磨片結(jié)構(gòu)參數(shù)及纖維測量統(tǒng)計結(jié)果

以頻數(shù)為橫坐標，纖維長度的合格率和長徑比合格率作為縱坐標繪制曲線圖(見圖7)?？梢钥闯?，磨片磨齒作用頻數(shù)對于纖維長度合格率的影響呈現(xiàn)由低到高再到低的變化趨勢，而對于長徑比合格率的影響基本與纖維長度影響趨勢一致。磨片磨齒作用頻數(shù)較低使纖維研磨得不夠充分，頻數(shù)較高又會研磨過度，這都會使纖維的合格率降低。因此，選擇合理的磨片結(jié)構(gòu)參數(shù)能有效提高纖維的研磨質(zhì)量。

圖7 纖維長度合格率和長徑比合格率與磨片磨齒作用頻數(shù)的關系曲線

4 結(jié)論

磨片精磨區(qū)間隙內(nèi)纖維流體的周向運動、擴散運動以及合成速度均為庫特流動，速度大小沿著z軸線性分布形成分層剪切，速度大小受磨片角速度、間隙大小及齒傾角的影響；因磨片間隙尺寸較小，又受齒形及磨片表面粗糙程度的影響，纖維流體的運動符合Naiver提出的線性滑移模型。

纖維運動的軌跡呈螺旋形，磨片角速度、間隙及磨齒齒傾角影響磨片間隙內(nèi)運動軌跡的形狀，不同纖維流體層內(nèi)的軌跡線形也不同。z軸坐標值較小的纖維流體層內(nèi)，相同極徑值的纖維擴散速度小，分離的時間長，螺旋軌跡的圈數(shù)也就多。

磨片磨齒作用頻率與磨片的規(guī)格、間隙、轉(zhuǎn)速和磨齒的齒數(shù)、齒傾角等參數(shù)有關，具有大尺寸、高轉(zhuǎn)速、多齒數(shù)和較大齒傾角的磨片對纖維的作用頻數(shù)較高。z軸坐標值相同的纖維在較大間隙內(nèi)由于擴散速度較慢，所受磨齒作用時間長，作用頻數(shù)高。纖維分離質(zhì)量和受磨片磨齒的作用頻數(shù)具有相關性，作用頻數(shù)較小，纖維研磨不充分，作用頻數(shù)較大，纖維研磨過度，都會降低纖維的合格率。

由此可見，研究纖維流體在磨片間隙內(nèi)的運動軌跡及磨齒作用頻數(shù)與纖維研磨質(zhì)量的影響關系對獲得較高合格率的纖維制品具有重要意義。實際生產(chǎn)中選擇合理的磨片結(jié)構(gòu)參數(shù)能夠保證較高的纖維研磨質(zhì)量。

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Establishment of Tajectory Model for Fiber in Fine Grinding Zone of Disc and Solution of the Frequency of Gear Grinding Effect//

Hua Jun, Lin Xiaoliang, Chen Guangwei(Northeast Forestry University, Harbin 150040, P. R. China)//

Journal of Northeast Forestry University，2017,45(4)：94-98.

Movement of fiber in fine grinding zone of refiner disc was analyzed and fluid properties of fiber were elaborated. Trajectory model of fiber fluid was solved by kinematics of fluid mechanics through which equation of trajectory in fine grinding zone was established. The formula of the frequency of gear grinding effect in combination with parameter of disc structure was solved through the equation of trajectory. Through calculating the frequency of gear grinding effect of real disc and compiling the statistics of the fiber quality the relationship was analyzed between them. The flow of fiber fluid is Coutte flow and accords with Linear slip model proposed by Naiver. The trajectory is helical and mainly influenced by disc speed, clearance and tooth Inclination. The frequency of gear grinding effect is influenced by parameter of disc structure, and it has a relationship with the properties of fiber. Therefore, reasonable frequency can ensure high quality of fiber.

Separating fiber; Fine grinding; Fluid movement; Trajectory model; Frequency

花軍，男，1959年5月生，東北林業(yè)大學機電工程學院，教授。E-mail：huajun81@163.com。

2016年10月7日。

TS642

1)教育部高等學校博士學科點專項科研基金(博導類)課題(20130062110005)。

責任編輯：戴芳天。