推理：推向兒童思維更深處
——品析張玉平老師“圓”的三部曲

江蘇蘇州市吳江經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)花港迎春小學(xué) 徐建林

推理：推向兒童思維更深處
——品析張玉平老師“圓”的三部曲

江蘇蘇州市吳江經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)花港迎春小學(xué) 徐建林

推理能力是新課標(biāo)提出的十個關(guān)鍵詞之一，它是學(xué)生極為重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，本文選取張玉平老師的《圓的認(rèn)識》《圓的周長》《圓的面積》三課片段，重點分析兒童推理能力的培養(yǎng)要點。

小學(xué)數(shù)學(xué) “圓”的三部曲 推理 思維

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直覺、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力。推理不僅是數(shù)學(xué)的基本思維方式，更是生活中經(jīng)常使用的一種思維方式，因此在小學(xué)教學(xué)中要不斷致力于兒童的推理能力的發(fā)展和提升。

一、推理讓枯燥的概念走向靈動的思維

[《圓的認(rèn)識》教學(xué)片段]

在教學(xué)完圓與其他平面圖形的區(qū)別和聯(lián)系及簡單的畫圓后，張老師接著開始引導(dǎo)學(xué)生探究圓的內(nèi)部概念和特征。

師：我們認(rèn)識了圓，研究平面圖形我們一般要從形狀、大小、位置這些方面去認(rèn)識?，F(xiàn)在老師要大家去畫一個和黑板上一樣大的圓，你們能做到嗎？

生：只要用圓規(guī)準(zhǔn)確地量出直徑和半徑，就可以畫出一個一樣的圓。

師：一個叫直徑，一個叫半徑，也就是說認(rèn)識這個圓，還必須要認(rèn)識半徑和直徑，同學(xué)們還想說什么？

生：還要知道圓心。

師：又加了一個條件，除了知道直徑、半徑，還要知道圓心。（板書：圓心、半徑、直徑）

師追問：老師想知道，這三個條件你們認(rèn)為哪一個應(yīng)該先認(rèn)識?

生：圓心。

師：是不是因為我把圓心寫在第一個，所以你覺得是第一個？

生：不是。

師：說說理由。

生：因為有圓心畫出來才能知道直徑和半徑。

師：（拿出剛剛學(xué)生畫的圓）畫的時候這個點是不動的，這是圓心。（出示圓心概念的板書）

師：同學(xué)們讀到了什么？

生：字母O可以表示圓心。

生：知道了如何畫圓的第一步。

生：用中間針尖的一頭抵住固定不動。

生：不動的那一點是圓心。

生：畫圓的時候，圓心固定不能動。

生：圓心只有一個。

師：有第二個嗎？為什么？

生：不會，有兩個圓心的話就可以畫兩個圓了。

師：讀一讀這句話。（出示半徑概念的板書）

師：你讀到什么了？

生：一個圓上有無數(shù)條半徑。

師：為什么圓有無數(shù)條半徑？

生：因為圓有無數(shù)個點組成，只要連接圓心和圓上任意一點就是半徑，所以有無數(shù)條半徑。

生：想畫出半徑，一定是圓心和圓上任意一點的連接。

生：半徑是線段。

生：半徑有長度。

師：一頭在圓心，一頭在圓上，線段，是有長度的，順著這個思路，同學(xué)們想到了什么？

生：他們的長度都一樣的。

師：線段的長度都相等，老師有點不相信，誰來說一說？

生：因為圓心是圓的中心點，它到圓上的任意一個位置的長度都是一樣的。

師：現(xiàn)在我們知道半徑有無數(shù)條且長度都相等。用這樣的方法繼續(xù)學(xué)習(xí)直徑。（出示直徑概念的板書）

師：根據(jù)同學(xué)讀的，你們說我該怎么畫直徑？

生：通過圓心，從上面畫下來，不要出頭。

生：在兩端上。

師：還讀出什么？

生：直徑也是線段。

生：兩條半徑的長度等于一條直徑的長度。

生：直徑也有無數(shù)條，每條直徑的長度一樣。

生：直徑就是圓的對稱軸。

師：直徑就是對稱軸，誰來證明一下？

生：只要將圓對折，兩邊是一樣的，所以圓是軸對稱圖形，這個折痕是直徑。

師：所以對稱軸是直徑所在的那條直線。

生：我還知道直徑是圓內(nèi)最長的線段。

師：分析了這幾句話，讓我們更加了解了圓心、半徑、直徑，因此數(shù)學(xué)知識可以讀，但更要想……

[品析]《圓的認(rèn)識》是一節(jié)概念課，但有別于一般的概念課，本課并沒有直接研究圓的幾何定義，而是界定了圓心、半徑、直徑等圓構(gòu)成部分的概念。在以往的圓的教學(xué)中，教師們普遍糾結(jié)于圓心、半徑、直徑這三個概念是一起呈現(xiàn)還是打散在各個環(huán)節(jié)中逐個出現(xiàn)？是先誘導(dǎo)學(xué)生說然后順勢呈現(xiàn)，還是強行植入式呈現(xiàn)？何種研究方式才能實現(xiàn)概念的價值最大化？……而在本環(huán)節(jié)中，教師用實際教學(xué)給出了最好的答案。

教師首先以一個問題“老師要大家去畫一個和黑板上一樣大的圓，你們能做到嗎？”為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生說出了圓心、半徑、直徑等概念，但是教學(xué)經(jīng)驗告訴我們，學(xué)生雖能說，但未必盡知其玄妙之處，于是，教師采用了逐個擊破的方法進(jìn)行分解教學(xué)，出示概念后，隨即提問：你讀到了什么？（這也是三個概念教學(xué)中的核心問題）讓學(xué)生發(fā)散式地進(jìn)行自由聯(lián)想，學(xué)生每一次的“我知道了”“我還知道了”……無不展示了其思維的火花，就這樣原本枯燥的概念記憶變成了一場思維賽跑，同時，教師在學(xué)生說明后想法，不時地追問“為什么？”以此讓學(xué)生實現(xiàn)有理有據(jù)地推理。

縱觀此環(huán)節(jié)，教師更多的是采用了從一般到特殊的演繹推理的模式，他從一個概念出發(fā)，結(jié)合學(xué)生剛剛畫圓過程中積累的認(rèn)知經(jīng)驗，不斷引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、論證，從而將割裂的三個概念通過學(xué)生靈動的思維加工后結(jié)合成了一個整體，正如烏申斯基曾指出：所謂智力發(fā)展不是別的，只是很好組織起來的知識體系，而知識體系因為其內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)而獲得邏輯意義。教師就這樣讓學(xué)生從概念為源點，讓思維自由地旅行，看遍知識的風(fēng)景后，又回到了源點，但我相信，這個源點再也不是學(xué)生當(dāng)初所認(rèn)為的源點。

二、推理讓淺顯的直觀走向嚴(yán)密的邏輯

[《圓的周長》教學(xué)片段]

教師讓學(xué)生在已畫好的一個圓中找到直徑后，再用三角尺的60°角沿直徑畫了一個三角形。如圖：

師：圖畫好了，你覺得老師要提什么問題？或者你有什么想法想說？

生：我為什么要畫三角形？

生：這個圓里可以畫多少個這樣的三角形？

生：三角形的周長是多少？

生：三角形的面積是多少？

師：三角形的面積，以后我們要學(xué)圓的面積再來研究。

生：這個三角形有什么特殊的地方？

師：你覺得有什么特殊的地方？

生：老師用的是三角尺的60°的那個角畫的角。

師：觀察得非常仔細(xì)，看到的是老師用60°的角來畫的。學(xué)習(xí)不光要聽，還要觀察，觀察后還要思考。從這個度數(shù)想，它是一個什么三角形？

生：這個是等邊三角形。

師：你量過嗎？

生：沒有。

師：老師也沒有量過，我只畫了一個角，你能證明出是等邊三角形嗎？同桌討論一下。

生匯報：兩條邊都是圓的半徑，所以它是一個等腰三角形，那么下面兩個角的度數(shù)是一樣的。剩下的就是180°-60°=120°，下面兩個角就是120°除以2都等于60°，所有的角都是60°，所以是等邊三角形。

師：這個圓可以畫幾個這樣的三角形？

生：6個。

師：這個六邊形的周長和這個圓的周長有什么關(guān)系？誰長誰短？

生：圓的長。

生：圓的周長比6r多一些。

生：圓的周長比3d多一些。

師：也就是說圓的周長比直徑的3倍多一點，到底多多少呢？請看。（師出示圓周率的板書：任何一個圓的周長除以直徑的商都是一個固定的數(shù)，這個固定的數(shù)叫作圓周率）

[品析]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。誠然在現(xiàn)代教育理念下，只讓學(xué)生死記C=πd已經(jīng)不合時宜，無論是教材的編排意圖還是學(xué)生自身素養(yǎng)的提升都需要教師通過動手操作等方式幫助學(xué)生找到圓的周長和直徑的關(guān)系。然而教學(xué)實踐告訴我們，通過動手測量圓形物體表面的周長或是通過滾一滾的方式雖然能加深學(xué)習(xí)體驗，但得到圓周率都是十分困難的。

在本環(huán)節(jié)中，教師的教學(xué)可謂是另辟蹊徑，教師先用三角尺的60°角沿直徑畫了一個三角形，接著他讓學(xué)生證明所畫的三角形是一個等邊三角形，而這個證明過程看似簡單但又布滿了崎嶇，因為小學(xué)生的圖形認(rèn)知普遍是靠眼睛看后的感覺（這是幾何思維水平的最低層次：視覺），不需要加以證明，但是張老師卻不滿足于學(xué)生的直觀，而是硬生生地“殘酷”地讓學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明，這看上去多余的一筆，卻是兒童思維邁出的一大步，即從直觀思維走向邏輯推理的思維（這是幾何思維水平的高層次：形式化的演繹）。同時細(xì)觀整個教學(xué)環(huán)節(jié)，無不彰顯了教師高超的教材解讀能力：進(jìn)行細(xì)致的解構(gòu)，從細(xì)細(xì)地研究一個三角形開始，過渡到了六個三角形，這又細(xì)又慢的過程加深了學(xué)生對圓的周長和直徑關(guān)系的體驗，從而順利地推導(dǎo)出了圓周率。

數(shù)學(xué)作為一種演繹系統(tǒng)，一方面，使得數(shù)學(xué)內(nèi)容以邏輯意義相關(guān)聯(lián)，另一方面，從知識結(jié)構(gòu)所蘊含的邏輯思維形式中得到的研究方法（如邏輯推理等），再去獲取更多的知識。

三、推理讓個體的猜想走向智慧的發(fā)現(xiàn)

[《圓的面積》教學(xué)片段]

教師事先在黑板上畫了兩個圖形，然后用紙遮住。

師：請同學(xué)們猜猜黑板上畫的是什么？

生：圓。

師：是的，今天學(xué)圓的面積，肯定與圓有關(guān)。

師：另外一個呢？誰來猜！

生：正方形。

生：長方形。

生：三角形。

生：平行四邊形。

師：請不要輕易下結(jié)論，猜也要有目標(biāo)，請用腦子想想應(yīng)該是什么。

生：應(yīng)該是正方形，因為正方形里面正好可以畫一個圓。

師揭示謎底正方形：看來正方形和圓果然存在一定的關(guān)系。我們來看看，這個圓和正方形誰的面積大？

生：正方形，因為正方形里面正好可以畫一個圓。

師：顯然正方形的面積大。但是通過觀察，大家能不能理解這個圓就是正方形里最大的圓？為什么？

生：不能，因為沒有寫出正方形的邊長是多少，也不知道圓的直徑，所以不能將直徑和邊長進(jìn)行比較看他們是否相等。

師：現(xiàn)在老師把數(shù)據(jù)寫出來，你能不能看出？

生：圓的直徑是30厘米，正方形的邊長是30厘米，所以這個圓是正方形里最大的圓。

師補充：可以發(fā)現(xiàn)這個圓的面積比這個正方形的面積小。

師：剛才我們說這個圓是正方形里最大的圓，如果我們不知道這個正方形的邊長，假設(shè)正方形的邊長是d，那么正方形的面積是多少？

生：d的平方。

師：正方形的面積還可以怎么說？

生：正方形的面積等于圓的面積多一些。

師：正方形的面積還可以怎么說？

生：4個r的平方。

師：那么圓的面積是多少？

生：是r的平方的三倍多一些。

師：我們知道C除以d就等于圓周率，那么圓的面積是誰除以誰會3倍多一些？

生：圓的面積就是半徑乘半徑乘3倍多點。

師：現(xiàn)在我們就把圓轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形來推導(dǎo)，同桌兩人可以把圓平均分成16等分或者32等分，拼成一個我們以前學(xué)過的圖形，然后想想面積怎么算？

學(xué)生有的將圓轉(zhuǎn)化成了平行四邊形，有的轉(zhuǎn)化成了梯形、有的轉(zhuǎn)化成了三角形進(jìn)行推導(dǎo)面積公式。

[品析]有人說，一個好的問題是一堂數(shù)學(xué)課的靈魂。但在這課上假如一定要說有一個好問題的話，那么就是一個字“猜”，這是一個簡單至極的問題卻又蘊含著無比玄奧的哲思，老師讓學(xué)生“猜”，引導(dǎo)他們走向數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

在這個環(huán)節(jié)中，老師讓學(xué)生通過“三猜”不斷提升學(xué)生的思維層次：“一猜”和圓有關(guān)的圖形，明確圓與正方形存在某種神秘的聯(lián)系；“二猜”圓的面積與正方形面積大小，通過觀察引導(dǎo)學(xué)生驗證自己的猜想；“三猜”圓的面積計算公式，從而利用轉(zhuǎn)化進(jìn)行推導(dǎo)驗證，得到嚴(yán)密的論證。而這“三猜”無不契合了范希爾夫婦在20世紀(jì)80年代提出的幾何思維水平的三個層次，即直觀水平（visual level）——整體認(rèn)識幾何對象；描述水平（descriptive level）——通過幾何性質(zhì)認(rèn)識幾何對象；理論水平（theoretical level）——利用演繹推理證明幾何關(guān)系。細(xì)細(xì)品來，原本看似無心之“猜”，卻蘊含了張老師的別有用心、別出心裁的教學(xué)設(shè)想，而也正是這“三猜”帶領(lǐng)著學(xué)生們走向了智慧的發(fā)現(xiàn)之旅。

鄭毓信教授說：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)。在我看來，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不只要讓學(xué)生感受到知識點之間的相互串聯(lián)，更要讓學(xué)生感受到內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想的連接，而老師正是將原本同屬于一個單元但又完全不同的三課時，用一條“推理”之鏈，緊密地聯(lián)系在了一起，“看著兒童的靈魂如何自由地從一道瀑布迅速跳到另一道瀑布。”這不僅是張老師教學(xué)之功的全然體現(xiàn)，更是告訴我們數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)有的“無限可能”。?