準(zhǔn)確理解教材意圖，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程
——以“利用圓設(shè)計(jì)美麗的圖案”為例

人民教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)室 丁國(guó)忠

準(zhǔn)確理解教材意圖，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程
——以“利用圓設(shè)計(jì)美麗的圖案”為例

人民教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)室 丁國(guó)忠

數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的培養(yǎng)，以及發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題能力的發(fā)展，需要在具體的教學(xué)過程中加以落實(shí)，前提是對(duì)教材編寫意圖的準(zhǔn)確把握?！袄脠A設(shè)計(jì)美麗的圖案”是修訂后的人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中新增的內(nèi)容，意在使學(xué)生通過深度參與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，深入理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，要準(zhǔn)確理解教材編寫的這一意圖，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，創(chuàng)設(shè)有意義的真實(shí)情境，喚起學(xué)生的探究欲望，層層分析，剝繭抽絲，完整地經(jīng)歷問題解決的過程。在此過程中，使學(xué)生對(duì)“圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小”有更深刻的理解，并產(chǎn)生進(jìn)一步探索數(shù)學(xué)世界的愿望，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的真正提升。

理解 意圖 設(shè)計(jì) 過程 圓 圖案

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維……”“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程。認(rèn)真聽講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程?！睌?shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的培養(yǎng)，以及發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題能力的發(fā)展，只有在具體的教學(xué)過程中才能得以落實(shí)。修訂后的人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材非常重視通過相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)現(xiàn)夯實(shí)“四基”、發(fā)展“四能”的教學(xué)目標(biāo)。本文試以“利用圓設(shè)計(jì)美麗的圖案”這一數(shù)學(xué)活動(dòng)為例，談一談如何在準(zhǔn)確理解教材編寫意圖的基礎(chǔ)上，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，使學(xué)生深度參與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，深入理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，切實(shí)提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

一、準(zhǔn)確理解教材意圖

“利用圓設(shè)計(jì)美麗的圖案”是在學(xué)生認(rèn)識(shí)了圓、了解了圓的特征之后新增的一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)。

關(guān)于“圓的認(rèn)識(shí)”的編排，在本次教材修訂時(shí)，我們進(jìn)行了大膽的嘗試。首先，呈現(xiàn)生活中各種圓的實(shí)例。接下來(lái)，與實(shí)驗(yàn)教材相似，修訂后的教材依然安排了畫圓的環(huán)節(jié)，所不同的是在這一環(huán)節(jié)中增加了用圓規(guī)畫圓的內(nèi)容（在過去，用圓規(guī)畫圓一般是在認(rèn)識(shí)圓的特征之后單獨(dú)學(xué)習(xí)）。這樣調(diào)整，一方面是由于大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)具備了用圓規(guī)畫圓的生活經(jīng)驗(yàn)，教材編排應(yīng)充分考慮學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)；另一方面，通過用圓規(guī)畫圓來(lái)引出圓心、半徑、直徑等概念，更能反映圓“一中同長(zhǎng)”的本質(zhì)特點(diǎn)。關(guān)于圓的特征的認(rèn)識(shí)，由于在前面的“軸對(duì)稱”單元中已經(jīng)涉及圓的對(duì)稱性，因此在本單元不再重復(fù)描述；同時(shí)，考慮到圓心與半徑是體現(xiàn)圓的本質(zhì)特征的兩個(gè)要素，因此增加了“圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小”這一特征，從圓的解析式（x-a）2+（y-b）2=r2可以看到，一旦一個(gè)圓的圓心和半徑確定了，這個(gè)圓也就唯一地確定了。

用圓可以設(shè)計(jì)許多漂亮的圖案，下面的圖形就是用圓規(guī)和直尺一步一步畫出來(lái)的。

請(qǐng)你試著用圓規(guī)和直尺畫一畫下面的圖形。

在此基礎(chǔ)上，教材新編了“利用圓設(shè)計(jì)美麗的圖案”的數(shù)學(xué)活動(dòng)（如上圖）。教材按兩個(gè)層次進(jìn)行編排：第一層次，方法示范。教材提供了一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的花瓣圖案，并詳細(xì)展示了如何利用圓規(guī)和直尺一步一步畫出這個(gè)圖案的過程，使學(xué)生掌握利用圓繪制給定圖案的基本方法，并在此過程中深刻體會(huì)“圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小”這一特征。第二層次，自主嘗試。教材提供了兩個(gè)稍復(fù)雜的圖案，要求學(xué)生自己嘗試畫出來(lái)。為了降低學(xué)生的探索難度，教材特意給出了相關(guān)輔助線，給學(xué)生以簡(jiǎn)單的提示和引導(dǎo)。

對(duì)于圓這一大自然中最“和諧”的幾何圖形，圓本身以及利用圓設(shè)計(jì)出來(lái)的各種圖案都能給人以很美的視覺感受，因此，利用圓設(shè)計(jì)圖案有利于學(xué)生進(jìn)一步欣賞數(shù)學(xué)之美。此外，以“設(shè)計(jì)圖案”的真實(shí)需求代替生硬灌輸，通過參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生更深刻地體會(huì)到“圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小”的特征，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲。這樣的活動(dòng)，對(duì)于幫助學(xué)生學(xué)會(huì)透過現(xiàn)象看本質(zhì)，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和能力，更是大有裨益。

二、精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程

在準(zhǔn)確理解了教材的編寫意圖后，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以緊扣以下目標(biāo)：

第一，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)。使學(xué)生在利用圓規(guī)和直尺繪制給定圖案的過程中，對(duì)“圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小”有更深刻的理解。

第二，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究。在作圖過程中，使學(xué)生提高觀察、操作的能力，發(fā)展分析問題、解決問題的能力，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

第三，感受數(shù)學(xué)之美。使學(xué)生學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)的美，提高利用圓進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)和創(chuàng)作的興趣和能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感。

在實(shí)施教學(xué)時(shí)，既可以遵照教材的編排順序，第一課時(shí)教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”，第二課時(shí)教學(xué)“利用圓設(shè)計(jì)圖案”，這樣設(shè)計(jì)，只是將設(shè)計(jì)圖案這一活動(dòng)定位于第一課時(shí)知識(shí)的鞏固與應(yīng)用。也可以采用更大膽的設(shè)計(jì)方案：直接從研究“如何設(shè)計(jì)一個(gè)花瓣圖案”這一大問題入手，對(duì)本小節(jié)內(nèi)容進(jìn)行整體性設(shè)計(jì)，第一課時(shí)解決“圖案外部的大圓”的問題，第二課時(shí)解決“圖案內(nèi)部的四個(gè)半圓”的問題。在這樣的設(shè)計(jì)思路下，所有知識(shí)的學(xué)習(xí)都是在特定的任務(wù)驅(qū)動(dòng)下展開，而不是“為學(xué)而學(xué)”，更能體現(xiàn)“問題解決”的教學(xué)思想。兩種設(shè)計(jì)方案各有特點(diǎn)，可視具體學(xué)情靈活采用，本文不重點(diǎn)展開討論。

如果只聚焦于“利用圓設(shè)計(jì)美麗的圖案”本身，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)可遵循由簡(jiǎn)單到復(fù)雜層層推進(jìn)、詳略有別、收放有度的原則。

1.簡(jiǎn)單圖案的繪制

這一環(huán)節(jié)，以繪制比較簡(jiǎn)單的花瓣圖案為載體，使學(xué)生大致掌握繪制給定圖案的基本方法。

教學(xué)時(shí)，可從教材上呈現(xiàn)的花瓣圖案直接導(dǎo)入。筆者也一直苦于沒有找到這一圖案的生活原型，直到某次出差，很偶然地在南寧濱湖路小學(xué)的校園里見到了與教材上一模一樣的圖案（如下圖）。若能以這樣一個(gè)自然、真實(shí)的情境導(dǎo)入，一定更能激發(fā)學(xué)生的探究興趣。

在呈現(xiàn)這樣的實(shí)際情境以后，可讓學(xué)生思考：這個(gè)圖案是怎樣畫出來(lái)的？先讓學(xué)生嘗試自行解決。也許，大部分學(xué)生在探究過程中會(huì)遇到困難，但真正的探究應(yīng)該讓學(xué)生有機(jī)會(huì)遭遇這樣的障礙。有了障礙，才能產(chǎn)生問題，有了問題，才能產(chǎn)生思考，接下來(lái)的探究過程才會(huì)真正有效。

在學(xué)生遇到困難、產(chǎn)生探究欲望后，師生再以“問題串”的形式，共同探索解決這個(gè)問題的基本思路：在這個(gè)漂亮的花瓣圖案中，你看到了哪些幾何圖形？遇到的主要困難是什么？如果看不太清楚的話，把顏色去掉是不是更明顯一些？（根據(jù)學(xué)生回答，課件演示去掉顏色的過程，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖案外面是一個(gè)大圓，里面的四個(gè)“花瓣”是由四個(gè)小的半圓組成的）大圓好畫嗎？（在紙上確定了圓心和半徑就可以畫出來(lái)）這四個(gè)半圓能任意畫嗎？要畫出它們，需要知道什么？它們的圓心和半徑該怎樣確定？（引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線，依次連接四個(gè)半圓與大圓的四個(gè)交點(diǎn)，找到四個(gè)半圓的直徑；通過測(cè)量相關(guān)線段的長(zhǎng)度，就可以找到圓心和半徑）假設(shè)已經(jīng)畫出了大圓，在大圓上怎樣找到這四個(gè)點(diǎn)呢？（引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、思考，發(fā)現(xiàn)這四個(gè)點(diǎn)形成的圖形是一個(gè)正方形，把這個(gè)正方形的對(duì)角線連起來(lái)，正好是大圓的一對(duì)互相垂直的直徑）

以上的分析過程可用下圖表示：

把圖案分解、還原的思路分析清楚后，再來(lái)思考如何繪制出這個(gè)圖案。繪制的過程恰好就是以上分析過程的逆向操作：先確定好圓心、半徑，畫出一個(gè)大圓。再畫出大圓的一組互相垂直的直徑，這兩條直徑和大圓有四個(gè)交點(diǎn)，把這四個(gè)交點(diǎn)依次連接起來(lái)，再以這四條線段分別為直徑畫出四個(gè)半圓。最后，把這些輔助的線段擦去，并涂上自己喜歡的顏色，就形成了一個(gè)漂亮的花瓣圖案。這一環(huán)節(jié)可以讓學(xué)生自主完成。

接下來(lái)，通過交流反饋，引導(dǎo)學(xué)生回顧整個(gè)探究過程，整理思路。（1）分析：先去掉顏色的干擾，找出組成圖案的基本圖形，并發(fā)現(xiàn)這些基本圖形之間的關(guān)系（圓心的位置、半徑的大?。?；再通過添加輔助線等手段找到畫出基本圖形的方法。（2）繪制：對(duì)分析的過程進(jìn)行倒推，先一步一步畫出基本圖形，形成圖案的輪廓，再在相應(yīng)部分涂上自己喜歡的顏色。

最后，可以引導(dǎo)學(xué)生把涂好顏色的作品進(jìn)行交流、展示，讓學(xué)生看到，盡管大家繪制的圖案大小、顏色不同，但分析與繪制的方法是一致的，圖案中大、小圓之間的關(guān)系也是一致的。

2.稍復(fù)雜的圖案的繪制

與第一環(huán)節(jié)相比，這一環(huán)節(jié)可體現(xiàn)更大的開放性，放手讓學(xué)生自主探索?；镜姆治鲞^程如下圖：

3.欣賞與拓展

一堂好的數(shù)學(xué)課，下課鈴響不應(yīng)是學(xué)習(xí)活動(dòng)的結(jié)束，而應(yīng)該是新的學(xué)習(xí)活動(dòng)的開始。本活動(dòng)中，只是繪制了相對(duì)簡(jiǎn)單的圖案，而且是繪制給定的圖案。在學(xué)生掌握了基本的分析方法后，可引導(dǎo)學(xué)生將課內(nèi)所學(xué)進(jìn)行更多的拓展性應(yīng)用。例如，課后可由教師提供，也可由學(xué)生自行上網(wǎng)找到更多與圓相關(guān)的美麗圖案（如下圖）進(jìn)行欣賞，并嘗試著繪制一下。

除此之外，還可進(jìn)一步發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性，激發(fā)學(xué)生自由創(chuàng)作的愿望，在創(chuàng)作中領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美。即使是已經(jīng)畫過的圖案，也可體現(xiàn)更大的開放性：涂色方法不同，效果也迥異。例如，教材上最后一個(gè)圖案，還可涂畫出更多類似于下圖的作品。

以下是一些學(xué)生自由創(chuàng)作的作品：

由此可見，只要給學(xué)生充分的自由探究的時(shí)間和空間，他們會(huì)還以更大的驚喜?；蛟S，某些學(xué)生會(huì)因?yàn)檫@一數(shù)學(xué)活動(dòng)而愛上數(shù)學(xué)、愛上設(shè)計(jì)，而在數(shù)學(xué)和藝術(shù)的道路上走得很遠(yuǎn)，這也是我們?cè)谛抻喗滩臅r(shí)新編這一活動(dòng)的一個(gè)更高、更遠(yuǎn)的期望。從這個(gè)意義上講，把這一數(shù)學(xué)活動(dòng)做成一個(gè)“綜合與實(shí)踐”的生動(dòng)案例，是完全有可能的。甚至，還可將本活動(dòng)的實(shí)施作為一個(gè)契機(jī)，在班內(nèi)、年級(jí)內(nèi)開展一次圖案設(shè)計(jì)大賽，真正實(shí)現(xiàn)課程的融合。

在以上教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生通過動(dòng)腦、動(dòng)口、動(dòng)手，完成了一次將數(shù)學(xué)應(yīng)用于藝術(shù)設(shè)計(jì)的探究之旅。在這一過程中，“四基”“四能”得以真正落地生根、發(fā)芽：學(xué)生不僅鞏固了“圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小”這一基礎(chǔ)知識(shí)，提高了測(cè)量、畫圓等基本技能，更為重要的是，進(jìn)一步理解和掌握了抽象、推理、審美等數(shù)學(xué)思想，積累了更加豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

眼下，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為數(shù)學(xué)教育和教學(xué)的重要任務(wù)，相關(guān)的理論研究與討論非常熱烈。筆者認(rèn)為，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，不是一句空泛的口號(hào)，需要在每一個(gè)實(shí)實(shí)在在的教學(xué)活動(dòng)中加以落實(shí)。正如馬云鵬老師所指出的：“數(shù)學(xué)核心內(nèi)容是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的載體?！薄皩W(xué)生的有效參與是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的重要途徑?！薄吧疃忍骄渴前l(fā)展核心素養(yǎng)的關(guān)鍵?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，只有創(chuàng)設(shè)真實(shí)而有意義的情境，才能使學(xué)生真正學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”；只有讓學(xué)生深度參與數(shù)學(xué)探究的全過程，才能使學(xué)生真正學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的思維分析世界”；只有引領(lǐng)學(xué)生將數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界，才能使學(xué)生真正學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”。

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]人民教育出版社課程教材研究所小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]史寧中.數(shù)學(xué)的基本思想[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（1）.

[4]馬云鵬.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中核心素養(yǎng)的培養(yǎng)——以吳正憲老師“小學(xué)除法”教學(xué)為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2016（11）.