基于非參數(shù)核估計方法的均值-VaR模型

黃金波，李仲飛，丁 杰

(1.廣東財經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，廣東 廣州 510320；2.中山大學(xué)管理學(xué)院，廣東 廣州 510275)

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基于非參數(shù)核估計方法的均值-VaR模型

黃金波1，李仲飛2，丁 杰1

(1.廣東財經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，廣東 廣州 510320；2.中山大學(xué)管理學(xué)院，廣東 廣州 510275)

本文運(yùn)用非參數(shù)核估計方法對資產(chǎn)組合的在險價值 (Value at Risk, VaR)進(jìn)行估計，得到VaR的非參數(shù)核估計公式，并基于VaR的非參數(shù)核估計公式建立投資組合選擇模型。理論上該模型的目標(biāo)函數(shù)具有良好的光滑性，便于優(yōu)化問題求解。Monte Carlo模擬結(jié)果表明該模型具有大樣本性質(zhì)，估計誤差會隨著樣本容量的增大而下降，且該模型在非對稱和厚尾分布下的表現(xiàn)優(yōu)于當(dāng)前文獻(xiàn)中常用的經(jīng)驗分布法和Cornish-Fisher展開法。基于我國上證50指數(shù)及其成份股實際數(shù)據(jù)的實證結(jié)果說明該模型是有效的。

投資組合；在險價值；非參數(shù)核估計

1 引言

自Markowitz[1]以收益率的均值和方差反映投資組合的收益和風(fēng)險，建立均值-方差投資組合優(yōu)化模型之后，均值-風(fēng)險權(quán)衡模型逐漸成為標(biāo)準(zhǔn)的投資組合分析工具，學(xué)者從不同的角度對其進(jìn)行擴(kuò)展和完善。而與此同時，針對均值-方差模型，也有來自不同方面的批評，期望收益率作為投資收益的觀點(diǎn)已被廣泛接受，然而，以收益率的方差作為風(fēng)險度量指標(biāo)，受到多方面的質(zhì)疑，也是受到批評最多的方面。在對方差作為風(fēng)險度量批評的基礎(chǔ)上，發(fā)展出了多種風(fēng)險度量工具，其中，在險價值 (Value at Risk, VaR)是近二十年發(fā)展起來的最重要指標(biāo)。VaR是指在給定置信水平1-α下，在未來特定期間內(nèi)，資產(chǎn)或資產(chǎn)組合所遭受的最大可能損失。VaR的概念簡潔易懂且與人們對風(fēng)險的心理認(rèn)知非常接近，成為當(dāng)前業(yè)界最流行的風(fēng)險度量工具。

VaR在業(yè)界的廣泛使用激發(fā)了學(xué)者對基于VaR的投資組合選擇問題的研究，在Markowitz的框架內(nèi)建立均值-VaR模型是研究的重點(diǎn)之一，早期的學(xué)者主要在正態(tài)分布下對此展開研究[2-6]。顯然，正態(tài)分布假設(shè)與實際金融時間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出的尖峰厚尾、非對稱等非正態(tài)分布特征不符。因此，在不做任何分布假設(shè)下，如何準(zhǔn)確估計VaR并基于VaR的估計量進(jìn)行投資決策成為近期研究的熱點(diǎn)。CuiXueting等[7]結(jié)合Cornish-Fisher展開和Delta-Gamma方法對VaR進(jìn)行近似計算并建立投資組合模型；CuiXueting等[8]基于經(jīng)驗分布函數(shù)建立非參數(shù)VaR的資產(chǎn)配置模型，并給出一個新的計算方法。

近年來，許多學(xué)者開始運(yùn)用非參數(shù)核估計方法來估計VaR和條件VaR(ConditionalVaR,CVaR)[9-14]，但他們并沒有進(jìn)一步考慮投資組合選擇問題。也有一部分學(xué)者基于CVaR的非參數(shù)核估計公式構(gòu)建投資組合選擇模型，YaoHaixiang等[15]運(yùn)用非參數(shù)核估計方法對CVaR進(jìn)行估計，并構(gòu)建了基于CVaR核估計量的投資組合選擇模型。黃金波等[16]運(yùn)用非參數(shù)核估計方法得到CVaR的兩步核估計量，并基于CVaR的兩步核估計量構(gòu)建投資組合選擇模型。由于CVaR是凸風(fēng)險測度，基于CVaR核估計量的投資組合選擇問題是凸優(yōu)化問題，計算起來比較方便。然而因VaR的非凸性導(dǎo)致基于VaR的優(yōu)化問題相對較難處理，目前我們還沒有發(fā)現(xiàn)基于VaR的非參數(shù)核估計公式進(jìn)行投資組合選擇問題的研究。因此，本文嘗試將VaR的非參數(shù)核估計公式嵌入均值-VaR模型，構(gòu)建基于VaR核估計量的投資組合選擇模型。運(yùn)用MonteCarlo模擬檢驗該模型的準(zhǔn)確性，并基于我國上證50指數(shù)及其成份股的實際數(shù)據(jù)檢驗該模型的實用性。當(dāng)前，隨著我國金融衍生產(chǎn)品的發(fā)展和私募基金的興起，量化投資已經(jīng)成為當(dāng)下業(yè)界和學(xué)界關(guān)注的熱點(diǎn)，本文的研究在理論上能夠豐富金融工程領(lǐng)域的研究內(nèi)容，在實踐中可為投資者和基金管理者提供新的金融資產(chǎn)配置方法。

2 VaR的非參數(shù)核估計

2.1 VaR的定義

假設(shè)存在n(n≥2)種風(fēng)險資產(chǎn)，第i種風(fēng)險資產(chǎn)的收益率為隨機(jī)變量ri，則r=(r1,r2,…,rn)′為n種風(fēng)險資產(chǎn)的收益率向量。記x=(x1,x2,…,xn)′為投資者所持有的投資組合頭寸，則組合的收益率R=x′r。根據(jù)Jorion[17]的定義，投資組合的VaR是指在給定置信水平1-α和持有期下的最大可能損失，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

VaRα(R)=inf{z:Ρrob(-R≥z)≤α}

(1)

即損失超過VaRα(R)的概率小于α，設(shè)R的分布函數(shù)為F(z)，則上式等價于：

VaRα(R)=inf{z:F(-z)≤α}

(2)

在F(z)滿足連續(xù)性的條件下，容易得到F(-VaRα(R))=α，從而VaRα(R)=-F-1(α)，即VaR是收益率的逆分布函數(shù)的相反數(shù)。從定義式來看，要計算VaR，首先要知道分布函數(shù)的具體形式，在一些特殊的分布下(如正態(tài)分布、t分布等橢球分布)，我們可以得到VaR的解析表達(dá)式。但在實際的金融市場中，我們很少能事先知道收益率的分布函數(shù)形式，任何事前的分布假設(shè)都可能產(chǎn)生模型設(shè)定誤差。有時即使我們知道分布函數(shù)的具體形式，但分布函數(shù)中的參數(shù)也很難確定。

若r服從n維正態(tài)分布N(μ,Σ)，則R服從一維正態(tài)分布N(x′μ,x′Σx)，簡單推導(dǎo)可知[6]

(3)

z1-α為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的1-α分位數(shù)。若r服從n維t分布t(μ,Σ,m)，Σ為散度，m為自由度，則R服從一維t分布t(x′μ,x′Σx,m)，此時可得：

(4)

t1-α為經(jīng)典一維t分布的1-α分位數(shù)。一般地，如果r服從n維橢球分布，VaR有如下表達(dá)式：

(5)

kκ,α是依賴橢球分布族中某具體分布函數(shù)κ和參數(shù)α的常數(shù)。實際上橢球分布族包含了正態(tài)分布、t分布、廣義t分布和帕累托分布等，何種分布更適合實際金融市場數(shù)據(jù)，我們事先并不可知，從而導(dǎo)致kκ,α的選擇非常困難；另外橢球分布能夠反映出金融時間序列的厚尾性，卻不能描述金融時間序列數(shù)據(jù)的非對稱性。

2.2 VaR的核估計量

實際中的金融時間序列數(shù)據(jù)服從何種分布我們事先并不知道，而非參數(shù)核估計方法可以在有限信息的條件下，依賴數(shù)據(jù)特征來擬合出真實的分布函數(shù)，進(jìn)而可得VaR的核估計量。Chen Songxi和Tang Chengyong[18]證明分布函數(shù)的核估計量和經(jīng)驗分布函數(shù)都是真實分布函數(shù)的一致估計量，但前者的方差更?。徊⑶曳植己瘮?shù)的核估計量具有經(jīng)驗分布不具備的連續(xù)性和可導(dǎo)性，這些性質(zhì)在組合優(yōu)化和風(fēng)險管理中至關(guān)重要，以下給出分布函數(shù)的核估計量和VaR的核估計量。

(6)

(7)

(8)

(9)

限于篇幅，證明略。

3 均值-VaR模型

3.1 均值-VaR建模

在前文基礎(chǔ)上，進(jìn)一步假設(shè)市場上不存在賣空限制，資產(chǎn)交易無摩擦，投資者的財富標(biāo)準(zhǔn)化為1。記e是元素全為1的n維列向量，u為投資者要求的最低收益率，則均值-VaR優(yōu)化模型為：

如果n種資產(chǎn)的收益率服從多維橢球分布，將VaR的解析表達(dá)式(5)代入上述優(yōu)化模型，利用均值-方差模型的組合邊界表達(dá)式，可以直接得出均值-VaR的組合邊界表達(dá)式為[6]：

(10)

其中，A=e′Σ-1μ,B=μ′Σ-1μ,C=e′Σ-1e,D=BC-A2。

3.2 核估計框架下均值-VaR模型

3.3 傳統(tǒng)均值-VaR模型

文獻(xiàn)中常用的均值-VaR模型主要包括經(jīng)驗分布函數(shù)法和Cornish-Fisher展開法。經(jīng)驗分布函數(shù)法首先根據(jù)組合收益率的樣本Rt=x′rt,t=1,2,…,T，得到組合收益率的經(jīng)驗分布函數(shù)：

(11)

(12)

基于此，可以構(gòu)建經(jīng)驗分布函數(shù)法下的均值-VaR模型：

(13)

其中zα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α分位點(diǎn)。k3和k4分別為R的偏度系數(shù)和峰度系數(shù)，定義為：

(14)

(15)

根據(jù)VaR與收益率的分位點(diǎn)之間的關(guān)系，可得Cornish-Fisher展開下的VaR表達(dá)式為：

(16)

在實際計算中通常利用相應(yīng)的樣本估計式帶入(16)式。那么基于樣本數(shù)據(jù)和Cornish-Fisher展開下的均值-VaR模型可寫為：

4 模擬分析

本節(jié)基于Monte Carlo模擬檢驗非參數(shù)核估計方法下均值-VaR模型的精度，并將其同經(jīng)驗分布函數(shù)法和Cornish-Fisher展開法進(jìn)行比較。考慮到實際金融數(shù)據(jù)的尖峰厚尾和非對稱性，我們分別基于正態(tài)分布、t分布和非對稱拉普拉斯分布(AsymmetricLaplaceDistribution,ALD)生成隨機(jī)樣本[21-22]，然后將樣本數(shù)據(jù)帶入模型Ρ1,Ρ2,Ρ3得到投資組合前沿。為了比較三種估計方法下所得到的組合前沿的精度，我們需要事先知道真實的投資組合前沿曲線的表達(dá)式。正態(tài)分布和t分布下組合前沿的表達(dá)式由(10)式給出，以下引理給出ALD下的真實組合前沿。

(17)

引理2[24]：在ALD下，均值-VaR模型Ρ4等價于以下的優(yōu)化模型：

根據(jù)均值-方差模型的結(jié)果，可知模型Ρ5在最優(yōu)解處的曲線表達(dá)式為：

表1 正態(tài)分布下的模擬結(jié)果

表2 t分布下的模擬結(jié)果

表3 ALD下的模擬結(jié)果

由于基于VaR的模型是非凸優(yōu)化問題，迭代算法可能會失敗，所以我們記錄下N次重復(fù)模擬過程中，三種估計方法失敗的次數(shù)，分別記為K1,K2,K3；如果在某次模擬中，任何一種方法失敗，則我們就去掉該次的模擬結(jié)果；這樣我們定義K4為去掉的模擬次數(shù)，那么還剩下M=N-K4次模擬結(jié)果，我們基于此定義如下指標(biāo)來比較三種估計方法的精確度。

AMSEnp,AMSEem,AMSEcf分別代表三種估計方法在M次有效模擬中的平均誤差，該指標(biāo)越小越好。Ratioem代表非參數(shù)核估計方法的平均誤差與經(jīng)驗分布法平均誤差之比，該指標(biāo)小于1，說明非參數(shù)核估計方法更優(yōu)，反之則反是；Ratiocf的含義與Ratioem類似。Freqem代表在M次有效模擬中，非參數(shù)核估計方法的誤差大于經(jīng)驗分布法的次數(shù)占總次數(shù)M的比重，該指標(biāo)小于0.5，說明非參數(shù)核估計方法更優(yōu)，反之則反是；Freqcf的含義與Freqem類似。為檢驗三種估計方法的大樣本性質(zhì)，我們?nèi)颖救萘繛門=1000,2000,4000,8000，重復(fù)以上過程，模擬結(jié)果見表1。為考察厚尾分布和非對稱分布下三種估計方法的精度，基于自由度為5的t分布t(μ,Σ,5)和非對稱Laplace分布AL(μ,Σ)，重復(fù)以上過程，模擬結(jié)果見表2和表3。

根據(jù)表1-表3，可以得出，在三種不同的分布下，非參數(shù)核估計方法的平均誤差都小于經(jīng)驗分布法，且從Freqem來看，在M次有效模擬中，非參數(shù)核估計方法的誤差在絕對多數(shù)情況下都小于經(jīng)驗分布法，特別是在樣本量比較大時，非參數(shù)核估計方法誤差大于經(jīng)驗分布法誤差的情況為0。與Cornish-Fisher展開法相比，在正態(tài)分布和t分布下，非參數(shù)核估計方法的平均誤差僅在小樣本下比Cornish-Fisher展開法小，在樣本量較大時，Cornish-Fisher展開法優(yōu)于非參數(shù)核估計方法；這是因為Cornish-Fisher展開法包含了前四階矩的信息，能夠反映分布的厚尾特征；從Freqcf來看，也可以得出在正態(tài)分布和t分布下，非參數(shù)核估計方法與Cornish-Fisher展開法各有優(yōu)劣。在既有厚尾又有非對稱性的ALD下，無論是從平均誤差、平均誤差比還是次數(shù)占比來看，非參數(shù)核估計方法全面占優(yōu)Cornish-Fisher展開法。另外，從表中也可以看出，非參數(shù)核估計方法和Cornish-Fisher展開法具有大樣本性質(zhì)，即估計的平均誤差會隨著樣本容量T的增加而減小，而經(jīng)驗分布法沒有表現(xiàn)出這種規(guī)律。最后，從三種方法的失敗次數(shù)來看，非參數(shù)核估計方法的失敗次數(shù)最多，同時，非參數(shù)核估計方法的失敗次數(shù)與樣本容量有關(guān)，樣本容量比較大時，失敗的次數(shù)會降低，所以非參數(shù)核估計方法的精度需要大樣本來保證，這也是非參數(shù)核估計方法的不足。

為了直觀地顯示三種估計方法下的投資組合前沿，圖1-圖3分別給出了小樣本(T=500)和大樣本(T=8000)下基于三種估計方法所得的組合曲線和真實的投資組合曲線。從圖中可以看出，非參數(shù)核估計方法和Cornish-Fisher展開法所得到的曲線非常光滑，而經(jīng)驗分布法所得的組合前沿曲線不光滑，這是因為經(jīng)驗分布是組合頭寸的不連續(xù)函數(shù)。此外，從圖上可以看出，非參數(shù)核估計方法和Cornish-Fisher展開法在大樣本下估計誤差比小樣本下的估計誤差更小，而經(jīng)驗分布法沒有這種規(guī)律。在大樣本下，非參數(shù)核估計方法在三種分布下的估計曲線都十分接近真實的曲線，而Cornish-Fisher展開法在正態(tài)分布和t分布下的估計曲線接近真實曲線，在ALD下基于Cornish-Fisher展開法的估計曲線偏離真實曲線，而且這種偏離不會隨著樣本容量的增加而減少；這主要是因為Cornish-Fisher展開法是基于泰勒展開僅取前四階矩的近似計算，當(dāng)更高階矩比較重要時，這種近似是存在偏差的。實際中的金融市場數(shù)據(jù)通常都具有尖峰厚尾和非對稱性，此時更適合運(yùn)用非參數(shù)核估計方法。

圖1 正態(tài)分布下的均值-VaR曲線

圖2 t分布下的均值-VaR曲線

圖3 ALD下的均值-VaR曲線

5 實證分析

本節(jié)選取我國上證50指數(shù)(SSE50)的成份股來進(jìn)行投資分析，以檢驗前文建立的非參數(shù)核估計框架下的投資組合模型的有效性。我們收集到50支成份股自2004年1月2日至2016年7月8日，共計3040個日收益率數(shù)據(jù)；同時作為比較基準(zhǔn)，我們也收集了上證50指數(shù)的日收益率數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來自Wind經(jīng)濟(jì)金融數(shù)據(jù)庫。由于日收益率都較小，為了計算方便，所有收益率數(shù)據(jù)都擴(kuò)大100倍，即數(shù)據(jù)的單位為%。我們根據(jù)每支成份股的收益率數(shù)據(jù)和指數(shù)收益率數(shù)據(jù)，計算出每支成份股相對于上證50指數(shù)的β值。然后，我們運(yùn)用上證50指數(shù)的部分成份股構(gòu)造投資組合前沿。由于這50支成份股的收益率服從何種分布，我們事先并不知道，而且數(shù)據(jù)顯示，50支股票收益率數(shù)據(jù)都具有尖峰厚尾和非對稱特征，所以我們無法事先假設(shè)一個分布函數(shù)的具體形式來進(jìn)行投資決策，故而，我們運(yùn)用不需做分布假設(shè)的非參數(shù)核估計方法、經(jīng)驗分布法和Cornish-Fisher展開法來估計成份股構(gòu)成的投資組合前沿。我們分別選用β值最接近1的10支成份股和β值最接近1的20支成份股構(gòu)建投資組合前沿。設(shè)定α=5%，取40個不同的投資者要求的最低收益率，基于三種估計方法得到相應(yīng)的最小VaR，然后在均值-VaR平面用曲線將相應(yīng)的點(diǎn)連接起來，即得到投資組合邊界。三種估計方法下所得到的投資組合邊界如圖4所示。由圖可知，非參數(shù)核估計方法和Cornish-Fisher展開法得到的組合前沿比較光滑，而且二者基本一致，而經(jīng)驗分布法得到的投資邊界與前兩種方法相差很大，而且非常不光滑。另外，相對于10支成份股構(gòu)成的投資組合邊界，20支成份股構(gòu)成的投資組合前沿有所改善，即在相同均值下，20支成份股構(gòu)成的投資組合邊界處的風(fēng)險值有所下降。這符合金融學(xué)基本原理：增加股票數(shù)量會擴(kuò)大投資者面臨的可行集，改善投資策略。

為了進(jìn)一步檢驗三種估計方法在實際投資決策中的表現(xiàn)，我們把全樣本分成兩個子樣本，前2000個樣本數(shù)據(jù)作為估計子樣本，后1040個數(shù)據(jù)作為檢驗子樣本。我們首先利用估計子樣本的數(shù)據(jù)得到最優(yōu)投資策略，然后檢驗這些策略在檢驗子樣本中的表現(xiàn)，即進(jìn)行樣本外檢驗。我們基于β值最接近1的10支成份股進(jìn)行投資決策，利用這10支股票的估計子樣本得到非參數(shù)核估計方法、經(jīng)驗分布法和Cornish-Fisher展開法下的最優(yōu)投資策略。然后將這個投資策略運(yùn)用到樣本外，檢驗這10支股票構(gòu)成的投資組合的樣本外收益。同時，我們分別考慮靜態(tài)投資策略和動態(tài)投資策略。靜態(tài)投資策略就是運(yùn)用估計子樣本得到最優(yōu)投資策略之后，在整個檢驗子樣本期間，不再改變資產(chǎn)組合頭寸。動態(tài)投資策略是適時更新估計子樣本，補(bǔ)充最近得到的樣本數(shù)據(jù)，刪去離當(dāng)前時刻較遠(yuǎn)的歷史樣本，保證估計子樣本的樣本容量不變，運(yùn)用更新的估計子樣本，適時調(diào)整投資策略。在動態(tài)投資策略中，我們每10天更新一次樣本，一共進(jìn)行了104次策略調(diào)整。假設(shè)初始投資為1元，三種模型下得到的投資策略及上證50指數(shù)的累計收益率如圖5所示。同時表4總結(jié)了投資策略及指數(shù)在樣本外的收益率均值、方差和夏普比指標(biāo)。由圖5及表4可知：相對于上證50指數(shù)，基于非參數(shù)核估計方法和Cornish-Fisher展開法的投資策略能夠得到更高的平均收益，同時也具有更高的方差，但二者的夏普比都高于指數(shù)(見表4)。而基于經(jīng)驗分布法的投資策略表現(xiàn)最差，方差非常大導(dǎo)致其夏普比低于指數(shù)。

圖4 上證50成份股的投資組合邊界(左圖：n=10，右圖：n=20)

圖5 投資策略的樣本外表現(xiàn)(n=10，左圖：靜態(tài)策略，右圖：動態(tài)策略)

指標(biāo)靜態(tài)策略(n=10)動態(tài)策略(n=10)指數(shù)npemcfnpemcfSSE50均值0.07260.04280.06990.06070.06160.05760.0376方差3.85725.12423.45244.26415.77863.97253.1093夏普比0.01880.00840.02020.01420.01070.01450.0121

6 結(jié)語

如何對風(fēng)險測度VaR進(jìn)行估計一直是風(fēng)險管理領(lǐng)域的熱點(diǎn)話題，其間產(chǎn)生了大量的優(yōu)秀成果，而如何在準(zhǔn)確估計VaR的基礎(chǔ)上構(gòu)建投資組合選擇模型是最近提出來的新課題。本文提出非參數(shù)核估計框架下的均值-VaR模型，該模型不需要做事前分布假設(shè)避免了模型設(shè)定誤差；雖然該模型不是凸優(yōu)化問題，但其目標(biāo)函數(shù)仍具有良好的光滑性，便于優(yōu)化問題的求解；同時該模型具有大樣本性質(zhì)，估計誤差會隨著樣本容量的增加而下降。Monte Carlo模擬結(jié)果說明，與傳統(tǒng)的經(jīng)驗分布法和Cornish-Fisher展開法相比，非參數(shù)核估計法更適合具有尖峰厚尾和非對稱性的實際金融市場數(shù)據(jù)?；趪鴥?nèi)上證50指數(shù)及其成份股的實證分析說明非參數(shù)核估計方法在實際投資決策中是有效的。當(dāng)然，本文提出的非參數(shù)均值-VaR模型也存在以下不足值得進(jìn)一步研究：首先，該模型需要大量樣本才能估計地更為準(zhǔn)確；其次，該模型是非凸優(yōu)化問題，很難找到全局最優(yōu)解；最后，從Monte Carlo模擬結(jié)果可以看出，本文提出的模型有時會失敗，特別是當(dāng)資產(chǎn)數(shù)量比較大和樣本容量比較小時，該模型可能給不出最優(yōu)資產(chǎn)配置策略。這些都是后續(xù)需要攻克的難題。

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A Mean-VaR Portfolio Selection Model based on Nonparametric Kernel Estimation Method

HUANG Jin-bo1, LI Zhong-fei2, DING Jie1

(1.School of Finance, Guangdong University of Finance & Economics, Guangzhou 510320, China;2.Sun Yat-Sen Business School, Sun Yat-Sen Universtiy, Guangzhou 510275, China)

Value at Risk (VaR), which is widely used by fund companies, banks, securities firms and financial supervision institution, is one of the most popular risk measurement tools presently. The estimation methods of VaR and portfolio optimization models with VaR have been one of the hot spots in recent years. Since VaR is not a convex risk measure, it is difficult to obtain the global optimal solution of portfolio selection problems based on VaR. Moreover, the present study on portfolio selection with VaR is mostly carried out under normal or ellipsoidal distribution assumptions, which is not consistent with the reality of financial markets. In this paper, nonparametric kernel estimation method is firstly applied to estimate VaR and a nonparametric kernel estimator for asset portfolio's value at risk (VaR) is gotten with distribution-free specification. Then kernel estimator of VaR is embedded into the mean-VaR portfolio selection models and accomplish the goal that financial risk estimation and portfolio optimization are implemented at the same time. It is easy to show that the objective function of our model is smooth theoretically and easy to solve the optimization problem. Monte Carlo simulations are carried out to compare the accuracy of our method with the accuracy of classical methods. The simulation results show that our model possesses large sample properties, and outperforms empirical distribution method and Cornish-Fisher expansion method which are usually applied in the classical literatures under the asymmetric and thick tail distribution setting. Finally, our models and methods are applied to the Chinese A stock market. The daily data of SSE 50 Index and its constituent stocks are collected. The data window ranges from January 2nd2004 to July 8th2016, with a total of 3040 daily data. The empirical results show that our model can effectively control risk, as well as obtain excess returns relative to the stock index and support effectiveness of our model and application value of this research. It is acknowledged that, in this study, our nonparametric mean - VaR model has these shortcoming: First, our model requires a large number of samples; Secondly, our model is non-convex optimization problem, which is difficult to find the global optimal solution; Finally, it can be seen from the Monte Carlo simulation, sometimes our model cannot give the optimal asset allocation strategy, especially when the number of assets is large and the sample size is small. These questions are left for further research.

Investment portfolio; Value at Risk; nonparametric kernel estimation

1003-207(2017)05-0001-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.05.001

2016-07-13；

2017-01-12

國家自然科學(xué)基金資助項目(71231008, 71603058, 71573056)；教育部人文社會科學(xué)研究項目(16YJC790033)；廣東省自然科學(xué)基金項目(2016A030313656, 2015A030313629, 2014A030310305)；廣東省哲學(xué)社會科學(xué)規(guī)劃項目(GD15YYJ06, GD15XYJ03)；廣州市哲學(xué)社會科學(xué)規(guī)劃項目(15Q20)；廣州市社會科學(xué)界聯(lián)合會2016年“羊城青年學(xué)人”研究項目(16QNXR08)

李仲飛(1963-)，男(漢族)，內(nèi)蒙古鄂爾多斯人，中山大學(xué)管理學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，長江學(xué)者，博士，研究方向：金融工程與風(fēng)險管理，E-mail: lnslzf@mail.sysu.edu.cn.

F830.9

A