滲透數(shù)學(xué)思維方法，提高學(xué)生思維能力

彭金強(qiáng)

摘要：在初中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)過程中，我們經(jīng)常聽到學(xué)生反映：上課聽教師講課，聽得很懂，但到自己解題時(shí)，總感到困難重重，無從下手。事實(shí)上，有不少問題，學(xué)生感覺解答困難，并不是因?yàn)檫@些問題的解答太難以致學(xué)生無法解決，而是學(xué)生的思維形式與具體問題的解決存在差異，也就是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維存在障礙，如何幫助學(xué)生消除這個(gè)障礙，是我們每一位數(shù)學(xué)教師必須思考的問題，也是目前我們數(shù)學(xué)教師面臨的必須解決的問題。為此，筆者在教學(xué)實(shí)踐中“為開啟學(xué)生的思維之窗”做了一些努力。

關(guān)鍵詞：滲透；數(shù)學(xué)思維方法；提高；學(xué)生；思維能力

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）04-0119

一、創(chuàng)設(shè)懸念情境，提高學(xué)生思維能力

懸念是牽制學(xué)生思維的線，設(shè)置懸念可以激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲。提高學(xué)生思維能力。

例如，筆者在教學(xué)“三角形相似的應(yīng)用”時(shí)，上課前，先給學(xué)生講一個(gè)故事：古希臘哲學(xué)家泰勒斯旅行到埃及，在一個(gè)晴朗的日子里，當(dāng)?shù)厝伺阃⒂^胡夫金字塔，泰勒斯問旁邊的人：“誰知道這金字塔有多高？”當(dāng)?shù)厝苏f：“沒有人知道，因?yàn)楣糯萜臅蠜]有記載，而我們今天也不能判定這金字塔究竟有多高。”泰勒斯說：“可是，這是馬上可以測出來的，我可以根據(jù)我的身高測得金字塔的高度?！闭f完，泰勒斯取出一條結(jié)繩，在助手的幫助下，測得塔高是136.5米。故事講完了，在學(xué)生還沉浸在故事之中時(shí)，筆者問：“誰能說出泰勒斯是如何測出塔高的？”大家面面相覷，回答不出。于是，筆者說：“下面學(xué)習(xí)的知識(shí)就能幫助你回答！”這一懸念的設(shè)置，使學(xué)生產(chǎn)生了好奇心和濃厚的探究興趣，自然地進(jìn)入學(xué)習(xí)中。創(chuàng)設(shè)懸念情境能激發(fā)求知的火花，促使學(xué)生主動(dòng)地投入到學(xué)習(xí)中。

二、重視思維活動(dòng)，發(fā)散思維得到升華

對(duì)學(xué)生來說，“做題”“作業(yè)”“問答”“提問”都是思維訓(xùn)練的機(jī)會(huì)。教師在處理這些問題時(shí)，容易忽視考查學(xué)生在作出答案或結(jié)論之前的思維過程，往往使知識(shí)的形成過程受到高度壓縮，學(xué)生不注重理清知識(shí)的來龍去脈，忽視分析、探索過程，結(jié)果造成學(xué)生思維空間狹小、思維閉塞，致使生搬硬套結(jié)論，采用題海戰(zhàn)術(shù)，甚至機(jī)械模仿套路與模式。教師必須重視學(xué)生的思維活動(dòng)，教學(xué)過程中要充分暴露學(xué)生錯(cuò)誤的想法。思維的訓(xùn)練和發(fā)展是以暴露思維過程為前提的，學(xué)生的思維能力是在暴露的過程中得到錘煉和提高的。梯形的中位線可以看成是三角形中位線的一般化的應(yīng)用，在生活中我們看到梯形中位線的影子很多：梯子的一根根橫梁是許多“梯形”的中位線，只要知道其中的一對(duì)上底和下底，就可以解決其他的上底與下底的和，自然而然地將學(xué)生的思維發(fā)散開去……

而且從中體會(huì)到中位線是存在于什么圖形中，且在上面這多個(gè)梯形的疊加圖形中，中位線是一座重要的橋梁，因此有時(shí)，在一些問題中，“隱藏”的中位線要把它“挖掘”出來，或自己添加上去，像這樣一個(gè)簡單地而且貼近生活實(shí)際的問題，由一個(gè)點(diǎn)引到另一個(gè)點(diǎn)，由一個(gè)面引到另一個(gè)面，學(xué)生的思維也就像一個(gè)點(diǎn)光源發(fā)散到四面八方，當(dāng)然就能很順利解決以下這個(gè)問題了（解題能力也提高了?。?/p>

（錦州市中考），如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=a，BC=b，若E1、F1分別是AB、CD的中點(diǎn)，則：

E1F1=0.5（AD+BC）=0.5（a+b）；若E2、F2分別是E1B、F1C的中點(diǎn)，則：

E2F2=0.5（E1F1+BC）=0.5【0.5（a+b）+b】=0.25（a+3b）；當(dāng)E3，F(xiàn)3分別是E2B、F2C的中點(diǎn)，則：

E3F3=0.5（E2F2+BC）=0.5【0.25（a+3b）+b】=0.125（a+7b）；若En、、Fn分別是En-1B、Fn-1C的中點(diǎn)，根據(jù)上述規(guī)律猜想EnFn= （n.≥1，n為整數(shù)）。

在這個(gè)點(diǎn)上還可以發(fā)散開來，引起許多的思考，教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)都是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的舞臺(tái)。它還可以引申到我們課題學(xué)習(xí)中的中點(diǎn)四邊形。例如，在等腰梯形中，若找到上底、下底的中點(diǎn)，和腰上的中點(diǎn)順次連接，這個(gè)中點(diǎn)四邊形是什么特殊四邊形呢？通過這個(gè)發(fā)散推理，學(xué)生也易去思考，若外面是一般的四邊形、平行四邊形、矩形呢等，它們的中點(diǎn)四邊形會(huì)是一樣的特征嗎？和什么有關(guān)呢？這樣抓住課堂教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，精心設(shè)計(jì)課堂提問，但是實(shí)際教學(xué)中，時(shí)間有限，而問題是無窮無盡的，到適當(dāng)?shù)臅r(shí)候，我們也要把網(wǎng)收回，把相關(guān)問題集中到一個(gè)點(diǎn)：這個(gè)問題其實(shí)是平行線分線段成比例的一種情形，是三角形中位線定理的一般情形，它的延伸拓展沒離開最基本的“梯形中位線定理”或“三角形中位線定理”。

數(shù)學(xué)教學(xué)需要研究培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)的途徑、策略和方法，使學(xué)生融會(huì)貫通地學(xué)習(xí)知識(shí)，獨(dú)立地解決問題，敢于質(zhì)疑，樂于創(chuàng)新。

三、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納探究，培養(yǎng)思維能力

先研究個(gè)別的、特殊的問題，盡量總結(jié)出適合這些特殊問題的某些規(guī)律，然后總結(jié)出適合出同類事物的一般性規(guī)律。如我們在補(bǔ)充教學(xué)《根與系數(shù)關(guān)系》時(shí)，設(shè)計(jì)如下問題引導(dǎo)學(xué)生探究：

1. 讓學(xué)生完成下表方程

2. 注意觀察，比較兩根之和及兩根之積與方程系數(shù)的關(guān)系，并猜想對(duì)于x2+px+q=0的兩根與x1，x2方程系數(shù)的關(guān)系。

3. 對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程，是否也有類似的關(guān)系？填寫并考察下表：

4. 猜想：對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根x1，x2與方程的系數(shù)a，b的關(guān)系。并分別用符號(hào)語言及文字語言進(jìn)行概括。

5. 你能給出嚴(yán)格的證明嗎？

四、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比探究，提高思維能力

對(duì)于雖不同類，但相似、相近或相關(guān)的問題，通過對(duì)比不但能獲得結(jié)論，而且還能確切地了解彼此間的聯(lián)系與區(qū)別。如我們在指導(dǎo)學(xué)習(xí)做《梯形》這一節(jié)中的課內(nèi)練習(xí)時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了如下問題引導(dǎo)學(xué)生探究：

如圖（2），在梯形ABCD中，連結(jié)AB的中點(diǎn)與CD的中點(diǎn)得到EF。

①請(qǐng)你給線段EF一個(gè)恰當(dāng)?shù)拿Q。

②與三角形的中位線性質(zhì)對(duì)比，請(qǐng)你推測梯形ABCD中位線有何性質(zhì)？

③如圖（2）中，AD∥BC，當(dāng)點(diǎn)D沿DA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)得到如圖（1）的三角形ABC，請(qǐng)問能否將梯形中位線性質(zhì)的證明，轉(zhuǎn)化為三角形中位線問題來考慮？

④要使梯形中位線EF的長度不變，如何轉(zhuǎn)化？

⑤按照上述運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，平行四邊形也可以看作是梯形的特殊情況，問能否轉(zhuǎn)化為平行四邊形問題來證明呢？

⑥由學(xué)生完成各種證法并進(jìn)行概括。

五、注重聯(lián)想方法，提高思維能力

復(fù)雜的問題如何轉(zhuǎn)化為簡單的問題，陌生的問題如何轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，像這樣的每一個(gè)具體問題如何實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化？關(guān)鍵是如何尋找正確、合理的轉(zhuǎn)化的途徑。把數(shù)學(xué)問題還原為生活問題。生活中處處是數(shù)學(xué)，從現(xiàn)實(shí)世界的各個(gè)方面尋找數(shù)學(xué)的影子，把較為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為日常生活中可感可觸的東西，“用糖衣裹著的炮彈”的形式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，就會(huì)生發(fā)“擋不住的誘惑”。

例如：已知平面上構(gòu)成四邊形的4點(diǎn)，在平面找一點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到已知4個(gè)點(diǎn)的距離之和最小。

這是一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生容易產(chǎn)生枯燥的感覺，可把它轉(zhuǎn)換成以下的形式：

如果A、B、C、D為4個(gè)村莊，現(xiàn)要合建一個(gè)自來水廠，為使水管成本最低，廠應(yīng)建在何處，并說明理由。問題的實(shí)質(zhì)沒有變，但以不同的形式交給兩個(gè)平行班解題，學(xué)生探究的熱情卻大相徑庭。節(jié)假日，布置一些實(shí)踐能力與觀察能力相結(jié)合才能解決的題目。如“說說木匠身邊的數(shù)學(xué)”“說說磚匠身邊的數(shù)學(xué)”“說說爸爸身邊的數(shù)學(xué)”等，也會(huì)帶來意想不到的收獲。

六、思維不斷創(chuàng)新，駛向未來

由這樣一個(gè)問題：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1；再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2……如此進(jìn)行下去得到四邊形AnBnCnDn，依次記這些四邊形的面積為S1、S2、S3、……Sn，設(shè)S= S1、+ S2+……Sn，試探究S1、S2、S3，……Sn間的關(guān)系，并思考若S的值大于47.808，則n的值至少為多少？

這個(gè)問題放開讓學(xué)生去想，學(xué)生有許多創(chuàng)新，有學(xué)生問外面圖形矩形改成平行四邊形，一般的四邊形是否還有這個(gè)結(jié)論呢？（S=48×【1-（0.5）n】），這個(gè)結(jié)論和“正方形等無窮均分面積”是一樣的，也有學(xué)生問在這個(gè)圖形中它們的中心既然是共一個(gè)中心的，那我們可以以中心為原點(diǎn)，適當(dāng)?shù)慕⒆鴺?biāo)系，又可以和函數(shù)問題相關(guān)了呀？

這樣一個(gè)幾何問題可以借助直角坐標(biāo)系這個(gè)載體比較清晰地發(fā)現(xiàn)各四邊形面積之間的關(guān)系，最后結(jié)果的得出還可借助代數(shù)中的數(shù)列中的一些規(guī)律解決，換種思維方法這個(gè)問題更形象地得以解決了，并培養(yǎng)了學(xué)生思維的創(chuàng)造性和深刻性。放手大膽地讓學(xué)生想，不斷的創(chuàng)新，教師也能有些收獲，對(duì)學(xué)生來說，知識(shí)得以鞏固，思維得到錘煉，為以后的生活奠定了一個(gè)好的基礎(chǔ)——積極面對(duì)困難，積極尋找解決問題的方法。

總之，在教學(xué)中，教師應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生具有良好的思維品質(zhì)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)；教師要充分發(fā)揮“導(dǎo)演”的作用，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造的“火花”；利用已有的知識(shí)，結(jié)合課堂教學(xué)，把“學(xué)生”與“知識(shí)”這兩個(gè)主體，通過全新的學(xué)習(xí)方式，緊密地聯(lián)系起來；努力從學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展的角度，注重學(xué)生思維過程，教給他思考問題的方法，學(xué)會(huì)自己解決問題。

（作者單位：廣東省茂名市第十五中學(xué) 525000）