三角函數(shù)角的變形方法

冉宇

摘 要：三角函數(shù)恒等變形中，角的變形是學(xué)習(xí)中的難點，因為其變形途徑較為隱蔽，教師要幫助學(xué)生總結(jié)歸納變形方法，歸結(jié)起來，角的變形方法有：通過自然的展開變形、通過加減變形、通過誘導(dǎo)變形、通過二倍的相對性變形、通過換元變形.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；角；變形；方法

三角函數(shù)恒等變形中，角的變形是一個難點，學(xué)生難于無規(guī)律可尋，教師要幫助總結(jié)方法與規(guī)律.

一、通過自然的展開變形

自然的展開是一種樸素的方法，往往題設(shè)或結(jié)論中嵌有特殊角.

例1 已知cosα-π6+sinα=453，則sinα+7π6的值是（ ）.

A.-235B.235C.-45D.45

解 cosαcosπ6+sinαsinπ6+sinα=453.化簡得

12cosα+32sinα=45.

∴sinα+7π6=sinαcos7π6+cosαsin7π6

=-32sinα-12cosα=-45.

選C.

二、通過加減變形

如：α=（α-β）+β=α+β2+α-β2=…

例2 已知sin（π4+α）=45，cos（β-π4）=13，π4+α∈（π2，π），β-π4∈（0，π2），求cos（α+β）的值.

解 cos（α+β）=cosπ4+α+β-π4

=cosπ4+αcosβ-π4-sinπ4+αsinβ-π4

=-35·13-45·223=-3+8215.

例3 已知函數(shù)f（x）=sin（x+2φ）-2sinφcos（x+φ）的最大值.

解 f（x）=sin（x+φ）+φ-2sinφcos（x+φ）

=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ-2sinφcos（x+φ）

=sin（x+φ）cosφ-cos（x+φ）sinφ

=sin[（x+φ）-φ]=sinx.

由于f（x）的定義域為R，所以f（x）的最大值為1.

三、通過誘導(dǎo)變形

例4 已知cos2π3-θ=-25，求cosπ3+θ的值.

解 cosπ3+θ=cosπ-2π3-θ

=-cos2π3-θ=25.

例5 已知sinθ+π12=-13，求cosπ6+2θ的值.

解 cosπ6+2θ=cos2θ+π12

=1-2sin2θ+π12

=1-2-132=79.

四、通過二倍的相對性變形

如x=2·x2，x2=2·x4，x4=2·x8…

例6 已知tanx6=-2，求sinx3的值.

解 sinx3=sin2·x6=2sinx6cosx6cos2x6sin2x6

=2tanx61+tan2x6=2·（-2）1+（-2）2=-45.

五、通過換元變形

例7 已知cosα+π6=45，α為銳角，求sin2α+π12的值.

解 令α+π6=θ，則α=θ-π6，cosθ=45，θ為銳角.

sin2α+π12=sin2θ-π6+π12

=sin2θ-π4

=2sinθcosθcosπ4-（2cos2θ-1）sinπ4

=2·35·45-2·1625-1·22=17250.

換元有時神奇，能把深深的隱藏挖出來.