品味三角函數(shù)的應(yīng)用

周沁人

摘 要：三角函數(shù)在實(shí)際問題中主要涉及與物理知識相結(jié)合，與簡諧運(yùn)動相結(jié)合，與實(shí)際生活相結(jié)合等，關(guān)鍵是掌握正弦型函數(shù)的性質(zhì)就可解決問題.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；解析式；實(shí)際；擬合函數(shù)

利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題基本步驟是：（1）審題：讀懂題目中的“文字、圖形、符號”等語言，領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)本質(zhì)；（2）建立三角函數(shù)模型：根據(jù)審題所得到的信息，可把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，建立三角函數(shù)式或三角函數(shù)方程或有關(guān)三角函數(shù)的不等式；（3）解決三角函數(shù)模型：可根據(jù)所學(xué)習(xí)的三角函數(shù)知識解決建立的模型問題；（4）作出結(jié)論：根據(jù)對模型問題的解答，將答案根據(jù)實(shí)際問題來作出相應(yīng)的結(jié)論.我們這里一般常用函數(shù)y=Asin（ωx-φ）+b來刻畫實(shí)際問題，在解決三角函數(shù)的實(shí)際問題時，要注意自變量x的取值范圍；要數(shù)形結(jié)合，要能選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型.

品味一：依據(jù)實(shí)際問題的圖像求解析式

知識點(diǎn) 根據(jù)函數(shù)圖像，由函數(shù)圖像確定解析式中的未知量，主要針對的是物理問題的考查.

例1 已知電流I（A）與時間t（s）的關(guān)系為I=Asin（ωt+φ），（1）圖1是I=Asin（ωt+φ）ω>0，|φ|<π2在一個周期內(nèi)的圖像，根據(jù)圖像中的數(shù)據(jù)求I=Asin（ωt+φ）的解析式；（2）若t在任意一段1150s的時間內(nèi)，電流I=Asin（ωt+φ）都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數(shù)值是多少？

分析 本題的函數(shù)模型是已知的，可利用待定系數(shù)法求出解析式中的未知參數(shù)，再確定函數(shù)解析式.

解 （1）由圖1知道A=300，設(shè)t1=-1900，t2=1180，則周期T=2（t2-t1）=2×1180+1900=175.

則得到ω=2πT=150π.

又當(dāng)t=1180時，I=0，即sin150π·1180+φ=0，而|φ|<π2，得到φ=π6，則所求的解析式為I=300sin（150πt+π6）.

（2）根據(jù)題意，周期T≤1150，即2πω≤1150（ω>0），因此ω≥300π>942.

又ω∈N*，則所求ω的最小正整數(shù)值是943.

評注 這類問題的關(guān)鍵是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言，抓住圖像是解決問題的關(guān)鍵.

品味二：利用解析式求解實(shí)際問題

知識點(diǎn) 已知實(shí)際問題的解析式解決相關(guān)問題，則比較容易解決，只要根據(jù)函數(shù)表達(dá)式結(jié)合所提供的信息來求解.

例2 已知簡諧運(yùn)動f（x）=2sinπ4x+φ |φ|<π2的圖像經(jīng)過點(diǎn)（0，1），則該簡諧運(yùn)動的最小正周期T和φ分別是多少？

分析 本題可由周期公式求出周期T，而該函數(shù)圖像過點(diǎn)（0，1），則可得到關(guān)于φ的關(guān)系式，再根據(jù)φ的范圍求出φ的值.

解 簡諧運(yùn)動f（x）=2sinπ4x+φ|φ|<π2，則其運(yùn)動的周期為T=2ππ4=8.

∵其圖像過點(diǎn)（0，1），∴將點(diǎn)（0，1）代入函數(shù)解析式得到，2sinφ=1，也即sinφ=12.又|φ|<π2，則得到φ=π6.

綜上所述，這個簡諧運(yùn)動的最小正周期T和φ分別為8和π6.

評注 題中給出了簡諧運(yùn)動的函數(shù)模型，就可以直接運(yùn)用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決簡諧運(yùn)動中的有關(guān)問題.

品味三：三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用

知識點(diǎn) 解決三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題時要按照一般應(yīng)用題的解題步驟執(zhí)行：（1）要審清題意，理清問題中的等量或不等關(guān)系；（2）建立函數(shù)模型（寫出三角函數(shù)解析式或三角函數(shù)方程或有關(guān)三角函數(shù)的不等式等等），將實(shí)際問題數(shù)字化；（3）利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決關(guān)于三角函數(shù)的問題，求得數(shù)學(xué)模型的解；（4）再回到實(shí)際問題中，可根據(jù)實(shí)際問題的意義，得出實(shí)際問題的解.

例3 如圖2，游樂場的摩天輪勻速運(yùn)轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心O距離地面405米，摩天輪的半徑為40米，如果你從最低處登上摩天輪，則你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時，請解答以下的問題：（1）求出你與地面的距離y與時間t的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)你第4次距離地面605米時，用了多少時間？

分析 根據(jù)題意可知道應(yīng)建立余弦型函數(shù)模型解題，由摩天輪的旋轉(zhuǎn)周期為12分鐘，振幅是40，同時t=0時y=05，可求出函數(shù)解析式；將y=605代入函數(shù)解析式求出第一個周期所滿足題意的周期，再加上周期就可得解.

解 （1）由已知可設(shè)y=405-40cosωt，t≥0，則由周期為12分鐘可知道在第1個周期內(nèi)當(dāng)t=6分鐘時到達(dá)最高點(diǎn)，即函數(shù)取得最大值，則805=405-40cos6ω，因此cos6ω=-1，即6ω=π，得到ω=π6，于是y=405-40cosπ6t（t≥0）.

（2）令y=405-40cosπ6t=605，則可得到cosπ6t=-12，因此在第一個周期內(nèi)π6t=23π或者π6t=43π，得到t=4或t=8，也即第1次距離地面605米時用了4分鐘，第2次用時8分鐘，則第4次距離地面605米時，用了12+8=20分鐘.

評注 在本題中抓住余弦型函數(shù)解析式，分析各個時間點(diǎn)，則結(jié)合解析式就可求解.

品味四：根據(jù)數(shù)據(jù)建立擬合函數(shù)

知識點(diǎn) 往往是由已知條件的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，在直角坐標(biāo)系中描寫出相應(yīng)的點(diǎn)（作出散點(diǎn)圖），再觀察這些點(diǎn)的位置關(guān)系，再用光滑曲線將這些點(diǎn)盡可能連接起來，然后利用圖像選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ瓦M(jìn)行研究.

例4 受到日月引力，海水會發(fā)生漲落，在通常情況下，船在漲潮時駛?cè)牒降?，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋，某港口的深度y（m）是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，記y=f（t），下面是該港口在某季節(jié)每天水深的數(shù)據(jù)：

通過長期觀察，曲線f（t）可以近似地看作函數(shù)y=Asinωt+b的圖像；（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=f（t）的近似表達(dá)式；（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5m或5m以上是認(rèn)為安全的（船舶?？繒r，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底離水面距離）為65m，若該船在同一天內(nèi)安全進(jìn)出港，它至多能在港內(nèi)停留多長時間（忽略進(jìn)出港的時間）？

分析 可根據(jù)所給的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中作出散點(diǎn)圖，再結(jié)合幾個關(guān)鍵數(shù)據(jù)求出解析式，最后求解.

解 （1）根據(jù)函數(shù)圖像畫出散點(diǎn)圖，如圖3，則周期T=12，ω=2π12=π6，振幅A=3，b=100.

則y=3sinπ6t+10（0≤t≤24）.

（2）根據(jù)題意，該船進(jìn)出港時，水深應(yīng)該不小于5+65=115（m），也即y=3sinπ6t+10≥115，因此sinπ6t≥12，∴2kπ+π6≤π6t≤2kπ+5π6（k∈z），0≤t≤24，∴12k+1≤t≤12k+5（k∈z）.

在同一天內(nèi)取k=0或1，則1≤t≤5或13≤t≤17.

又函數(shù)y=3sinπ6t+10（0≤t≤24）的最小值為7>65所以該船在任何時候在港內(nèi)都可以?？浚虼嗽摯惶靸?nèi)在港內(nèi)停留時間為17-1=16（小時）.

因此該船最早在凌晨1時進(jìn)港，最晚下午17時出港，在港口最多停留16小時.

評注 實(shí)際問題的背景比較復(fù)雜，需要綜合運(yùn)用各學(xué)科的知識來解答.