關(guān)于橢球區(qū)域面積計(jì)算問(wèn)題的討論

呂朋一

摘 要：目前關(guān)于橢球區(qū)域面積的計(jì)算都是采用邊界點(diǎn)高斯平面坐標(biāo)進(jìn)行，由于高斯投影為等角投影存在面積變形，因而所計(jì)算的面積和實(shí)際面積有一定差距。橢球面上的不規(guī)則面積計(jì)算則顯得尤為復(fù)雜困難。文章討論顧及地球曲率的面積計(jì)算方法，轉(zhuǎn)換為采用等面積投影的方法，采用平面坐標(biāo)面積計(jì)算，對(duì)不規(guī)則橢球區(qū)域面積計(jì)算方法進(jìn)行討論。

關(guān)鍵詞：橢球規(guī)則梯形計(jì)算；等面積投影；高斯投影；等角投影；高斯正反算

1 概述

目前橢球面面積的計(jì)算都是采用邊界線的高斯平面坐標(biāo)進(jìn)行，沒(méi)有考慮地球曲率。由于高斯投影存在面積變形，雖然單宗土地面積變形不大，但是全省、全國(guó)大面積統(tǒng)計(jì)，則影響不可忽視，因此精確計(jì)算橢球面區(qū)域面積，是國(guó)土部門亟待解決的問(wèn)題。目前提出的方法多種多樣，如利用傅立葉級(jí)數(shù)快速轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)面積計(jì)算、利用freeman鏈碼矢量分析對(duì)邊界進(jìn)行綜合處理獲取邊界像素坐標(biāo)加權(quán)求和，求得面積等方法。上述的方法，最終并沒(méi)有成為解決橢球面區(qū)域計(jì)算的方法。

橢球梯形是橢球面上唯一能直接計(jì)算出準(zhǔn)確面積的圖形，它是由兩條子午線和兩條平行圈圍成的梯形表面。但事實(shí)生產(chǎn)工作中并不會(huì)簡(jiǎn)單的計(jì)算梯形面積，而是需要對(duì)不規(guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算。本文希望能通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單投影方法的運(yùn)用，得到區(qū)域面積的計(jì)算簡(jiǎn)便方法，并利用橢球梯形作為實(shí)際面積進(jìn)行檢驗(yàn)。利用等面積投影特有的投影后面積不變的特點(diǎn)和高斯投影直接利用坐標(biāo)計(jì)算面積的方式，將不規(guī)則橢球區(qū)域坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為等面積投影和高斯投影坐標(biāo)，再用平面面積計(jì)算公式計(jì)算不規(guī)則區(qū)域。通過(guò)具體數(shù)據(jù)比較高斯投影與等面積的投影轉(zhuǎn)化方法能否解決不規(guī)則區(qū)域面積計(jì)算，并用橢球梯形面積進(jìn)行檢驗(yàn)。

2 橢球面積計(jì)算方法

2.1 規(guī)則梯形面積計(jì)算

地球?yàn)橐粋€(gè)不規(guī)則的球體，廣大區(qū)域上遍布著江河，湖海，高山，盆地，低洼，峽谷等等，因此地球上區(qū)域的面積計(jì)算就變得很困難，此時(shí)需要引入一個(gè)類地球的橢球，這個(gè)橢球的目的主要是為了方便地球表面上的測(cè)量計(jì)算工作。這個(gè)數(shù)學(xué)模型為規(guī)則的，它非常接近大地體并用來(lái)替代大地體。我國(guó)的參考橢球經(jīng)歷了幾代更迭，從1952年前的海福特橢球，至1953年開始使用克拉索夫斯基橢球，1978年則使用75國(guó)際橢球，通過(guò)75橢球的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)建立了我國(guó)自己的80坐標(biāo)系，現(xiàn)在國(guó)家正在大力推行CGS2000坐標(biāo)。

參考橢球雖然替代了大地體，但對(duì)于它上面的不規(guī)則區(qū)域面積計(jì)算仍然沒(méi)有簡(jiǎn)單有效的解決辦法。雖說(shuō)不規(guī)則的區(qū)域無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算，但對(duì)于橢球梯形，通過(guò)微分、積分的方式能夠計(jì)算其面積，并總結(jié)得出以下公式：

公式中的xy，需要先經(jīng)過(guò)（x，y）高斯投影→（L，B）大地坐標(biāo)→（x，y）等面積投影來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到等面積投影的橫縱坐標(biāo)。其中的S是一弧度對(duì)應(yīng)的緯差B所構(gòu)成的梯形面積。

3 不規(guī)則區(qū)域面積計(jì)算方法的討論

3.1 規(guī)則區(qū)域面積計(jì)算

3.1.1 高斯投影面積計(jì)算分析

由于高斯投影需要控制投影變形，就必須控制投影區(qū)域的范圍。面積計(jì)算受到分帶、形變等的影響，但是其方法簡(jiǎn)便，直接利用平面坐標(biāo)計(jì)算的方法，依然有可取之處。通過(guò)以下數(shù)據(jù)說(shuō)明高斯投影與實(shí)際面積的差距。

表1中的數(shù)據(jù)取自不同經(jīng)度差，不同大小的梯形。是為了能得到隨機(jī)數(shù)據(jù)，通過(guò)上表可以看出，在利用高斯投影直接進(jìn)行梯形計(jì)算時(shí)絕對(duì)誤差較大，得到的相對(duì)誤差較等面積投影的相對(duì)誤差明顯偏大。根據(jù)上表中當(dāng)經(jīng)度差等于一度時(shí)數(shù)據(jù)可以看出，實(shí)際面積和高斯面積相差很大達(dá)到425440平方米，這個(gè)誤差相當(dāng)于59個(gè)足球場(chǎng)的面積。這個(gè)面積差相當(dāng)明顯不能忽視。當(dāng)經(jīng)度差減小時(shí)，實(shí)際面積和高斯面積之間的差值在不斷減少，但是這個(gè)數(shù)據(jù)僅僅是對(duì)梯形面積進(jìn)行的比較，還未對(duì)不規(guī)則圖形進(jìn)行分析。由于高斯投影面積變形與計(jì)算區(qū)域的中央子午線距離有關(guān)，而針對(duì)論文中討論的用梯形作為實(shí)際面積的參考物，經(jīng)度差也就決定了實(shí)際面積與投影面積的關(guān)系，利用高斯投影做標(biāo)準(zhǔn)梯形的替代情況下，在經(jīng)度差很?。ㄈ绫砻娣e相當(dāng)于121公頃）甚至面積更小的情況下，獲得相對(duì)誤差數(shù)量級(jí)在E-07這個(gè)級(jí)別。

3.1.2 等面積投影分析

由方案一可知單獨(dú)考慮用高斯投影來(lái)解決不規(guī)則區(qū)域面積的計(jì)算，不太可行?？紤]到等面積投影雖角度長(zhǎng)度都有變形，但整體面積投影后沒(méi)有發(fā)生變化，這正是解決區(qū)域面積計(jì)算的理想方法，利用等面積投影的方法，理論上能夠避免不規(guī)則區(qū)域面積計(jì)算的轉(zhuǎn)換損失。將橢球梯形面積與等面積投影面積進(jìn)行比較可以得到如下數(shù)據(jù)（Dc距中央子午線距離，De距赤道距離，δ相對(duì)誤差，△B經(jīng)度差）。

通過(guò)與橢球梯形對(duì)比，由上表可以看出：

隨離中央子午線距離越遠(yuǎn)，橢球梯形面積與等面積投影面積并無(wú)明顯差異，距離中央子午線遠(yuǎn)近，不會(huì)決定面積的大小變化。

對(duì)于同樣的橢球梯形，面積不會(huì)隨經(jīng)度變化而變換，當(dāng)緯度變化時(shí)，面積會(huì)以減函數(shù)的性質(zhì)變化。

經(jīng)度差的大小可以看作是梯形面積的大小，由表中可知，面積越大計(jì)算出來(lái)的絕對(duì)誤差就會(huì)越大，相對(duì)誤差應(yīng)該基本保持在一個(gè)水平內(nèi)不變化（表4的梯形起始最小經(jīng)緯度分別為L(zhǎng)=0°，B=10°）

3.1.3 高斯投影加入改正數(shù)后面積計(jì)算分析

由第1種方法看，高斯投影在橢球梯形面積越小的情況下，計(jì)算面積絕對(duì)誤差較小，但是這種誤差依然無(wú)法忽視，能不能通過(guò)加入改正數(shù)的形式，修正這種誤差。由高斯投影的性質(zhì)不難看出，以中央子午線作為標(biāo)準(zhǔn)線的高斯投影，在中央子午線處面積變形很小，但當(dāng)遠(yuǎn)離子午線時(shí)，這種形變成曲線上升，呈現(xiàn)出以中央子午線為最低點(diǎn)的開口向上的函數(shù)圖形。下圖為大致函數(shù)圖像：

圖1中趨勢(shì)可以看出，高斯投影的面積可以通過(guò)函數(shù)的形式呈現(xiàn)，那么利用函數(shù)的方式能夠獲取改正數(shù)，引入高斯投影改正數(shù)，從而減小或消除投影時(shí)與實(shí)際面積的誤差。利用最小二乘原理，對(duì)上圖中的拋物線進(jìn)行分析擬合，將橢球面積假設(shè)為S而高斯投影后的平面坐標(biāo)面積設(shè)為s，它們存在著K=S/s的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合1、2中和大量的計(jì)算數(shù)據(jù)通過(guò)多組方程得到

K=0.999999888-2.46E-14ym （5）

這個(gè)K正是改正數(shù)。由此改正數(shù)加入高斯投影改正得到如下表所示的數(shù)據(jù)：（？駐B經(jīng)度差，St為橢球面積，Sg高斯面積，Kg高斯改正，δ前改正前相對(duì)誤差，δ后改正后相對(duì)誤差）

從表5可以看出在經(jīng)過(guò)高斯改正后，相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差明顯減小了一個(gè)數(shù)量級(jí)更加接近實(shí)際面積，表明在進(jìn)行高斯投影時(shí)可以引入高斯投影改正來(lái)進(jìn)行梯形面積的計(jì)算以達(dá)到實(shí)際面積。

3.1.4 簡(jiǎn)單規(guī)則圖形投影分析

從上面三種方法的數(shù)據(jù)表來(lái)看，對(duì)于簡(jiǎn)單梯形來(lái)說(shuō)，當(dāng)梯形面積小時(shí)，等面積投影和高斯投影面積的相對(duì)誤差都在很小的范圍，但是等面積由于理論上投影時(shí)只發(fā)生了角度和長(zhǎng)度變形，面積并沒(méi)有發(fā)生變形，梯形面積小時(shí)等面積投影的相對(duì)誤差在E-09左右（及構(gòu)成的梯形的經(jīng)度差在幾秒時(shí)），這個(gè)誤差范圍可以忽略。由此可以得出，對(duì)于有兩條經(jīng)緯線相交的橢球梯形，利用等面積投影可以較準(zhǔn)確得出橢球梯形的實(shí)際面積，這種方法直觀，容易被理解，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換就可以得出，可以采用。同樣的利用高斯投影改正后計(jì)算面積的方法，也能得到比較準(zhǔn)確的實(shí)際面積，相比之下這種方法甚至省略了高斯的正反算和等面積投影轉(zhuǎn)換，直接利用平面坐標(biāo)計(jì)算面積，更簡(jiǎn)單直接，容易實(shí)施。第1、3兩種方法針對(duì)橢球梯形情況下都能得到較準(zhǔn)確的實(shí)際面積，但各有利弊。

3.2 不規(guī)則區(qū)域面積計(jì)算

3.2.1 等面積投影方法

等面積投影的步驟是首先要將高斯投影后的坐標(biāo)利用公式：

轉(zhuǎn)換為等面積投影坐標(biāo)。在程序設(shè)計(jì)中首先采集的是大地坐標(biāo)，在通過(guò)高斯反算推出平面坐標(biāo)，再完成上述投影步驟。數(shù)據(jù)的采集有以下幾種類型，這幾種類型也是便于對(duì)結(jié)論進(jìn)行全面比較的。每組比較采用兩個(gè)圖形進(jìn)行對(duì)比（圖例中用長(zhǎng)方形表示梯形）。

（1）由相同經(jīng)度差橢球梯形組成

由表6可以得出如下結(jié)論：當(dāng)不規(guī)則區(qū)域由面積較大（面積在幾千公頃或幾萬(wàn)公頃以上）的橢球梯形組成，相對(duì)誤差較大，通常構(gòu)成的梯形經(jīng)度差為分（如表面積相當(dāng)于110804公頃時(shí)）時(shí)，其相對(duì)誤差數(shù)量級(jí)在E-05左右，而當(dāng)經(jīng)度差越小時(shí)為秒（如表面積相當(dāng)于331公頃）時(shí)，其相對(duì)誤差的數(shù)量級(jí)為E-09左右，這時(shí)的實(shí)際面積與等面積投影面積基本相等，誤差在厘米左右。

（2） 相同經(jīng)度，不同緯度的不規(guī)則區(qū)域

圖6、7均表示不同緯度相同經(jīng)度情況下的相同形狀的不規(guī)則圖形，由表中數(shù)據(jù)可以得到以下結(jié)論：經(jīng)度相同的相同形狀的圖形，在不同緯度時(shí)具有不同的面積大小，并且緯度越大圖形面積反而越小。

（3）相同緯度不同經(jīng)度（距中央子午線遠(yuǎn)近）

圖形由經(jīng)度差不同的梯形組成，它們的起始經(jīng)度分別為0°和0°40′10″。

比較數(shù)據(jù)如表9所示（見圖9）：

由表9得到了如下結(jié)論：中央子午線遠(yuǎn)近不影響等面積投影計(jì)算的面積，其面積基本屬于一個(gè)定值，變化很小可以忽略不計(jì)。

3.2.2 高斯投影改正法

高斯投影改正是在計(jì)算出平面坐標(biāo)面積的情況下加以改正。下面是高斯投影的幾種情況及數(shù)據(jù)分析：

（1）圖形由同等大小的梯形組成

如等面積投影中的圖3、4、5，它們分別為經(jīng)度差為5′、10′、25″的梯形組成不規(guī)則圖形，有以下數(shù)據(jù)：

由表10可以得到如下結(jié)論：不規(guī)則區(qū)域越大的圖形，其相對(duì)誤差也相對(duì)變大，當(dāng)單個(gè)梯形的經(jīng)度差為分（面積相當(dāng)于24929公頃）時(shí)其相對(duì)誤差為E-05左右，當(dāng)為秒（如表面積相當(dāng)于331公頃）時(shí)相對(duì)誤差明顯變小為E-08左右。同時(shí)與等面積投影相對(duì)誤差相比，等面積投影與高斯投影改正的面積基本在同一數(shù)量級(jí)。

（2）緯度相同經(jīng)度不同

如等面積投影中的圖6、圖7，它們分別為起始緯度為35°、45°10′和45°40′10″、20°50′10″，下面將以兩個(gè)表分別說(shuō)明圖6和圖7，在高斯投影改正中的情況：

由上面兩個(gè)表可以得出如下結(jié)論：當(dāng)經(jīng)度相同時(shí)相同圖形緯度不同面積不同，并且緯度越高所得到的圖形面積越小。同時(shí)從表中還可以看出，相比于等面積投影，高斯投影改正計(jì)算的面積相對(duì)誤差要大一些。

（3）距離中央子午線遠(yuǎn)近對(duì)面積的影響

如等面積投影中的圖8所展示的圖形，起始的經(jīng)度分別為0°和0°40′10″，它們的緯度相同，經(jīng)度發(fā)生變化，經(jīng)度的變化相當(dāng)于距離中央子午線的遠(yuǎn)近發(fā)生變化，下面是高斯投影改正后的面積受中央子午線的影響情況：

由表13所示，高斯投影改正面積基本不受距離中央子午線的遠(yuǎn)近的影響，同時(shí)在這種情況下，高斯投影改正后的面積和等面積投影面積基本差不多。

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于大范圍的橢球不規(guī)則區(qū)域的面積計(jì)算，與之前章節(jié)所分析的一樣，由于等面積投影和等角投影一樣，都是微分概念，面積越大，形變會(huì)增大，如等面積投影中例子來(lái)說(shuō)，當(dāng)面積達(dá)到110804公頃（經(jīng)度差為10′起始緯度為35°）時(shí)，其與實(shí)際面積相對(duì)誤差為E-05這個(gè)數(shù)量級(jí)。而當(dāng)面積變?yōu)?31公頃（經(jīng)度差為25″起始緯度為35°）時(shí)，其與實(shí)際面積相對(duì)誤差為E-09這個(gè)數(shù)量級(jí)。由此可以看出當(dāng)面積如上述達(dá)到幾萬(wàn)公頃這個(gè)級(jí)別時(shí)，可以說(shuō)這樣的大面積在計(jì)算不規(guī)則區(qū)域時(shí)相對(duì)誤差很大，不太適合進(jìn)行等面積。但對(duì)于小范圍如幾百公頃面積時(shí)的計(jì)算本文得到如下的結(jié)論：

（1）相同經(jīng)度差組成的不規(guī)則圖形，當(dāng)實(shí)際面積為110804公頃（經(jīng)度差為10′起始緯度為35°）時(shí)，等面積高斯投影得到面積，與實(shí)際面積有明顯差距，通常相對(duì)誤差達(dá)到E-05左右，并且等面積投影精度略高于高斯投影改正后的面積。當(dāng)面積變?yōu)?31公頃（經(jīng)度差為25″起始緯度為35°）時(shí)，等面積投影與高斯投影改正后的面積與實(shí)際面積明顯縮小，相對(duì)誤差在E-09左右，這個(gè)范圍內(nèi)可以認(rèn)為等面積和高斯投影改正的方法，可以較準(zhǔn)確的計(jì)算出實(shí)際面積。

（2）距離中央子午線的遠(yuǎn)近，并不會(huì)使高斯投影改正面積和等面積投影面積受形變被拉長(zhǎng)，這兩種方法基本不受中央子午線遠(yuǎn)近影響。

綜合上面的結(jié)論，當(dāng)不規(guī)則區(qū)域在幾百公頃（即經(jīng)度差為秒時(shí)）使用等面積投影和高斯投影改正能夠很好的等效計(jì)算出實(shí)際面積，相對(duì)誤差很小在億分之一的范圍內(nèi)，等面積投影和高斯投影改正能夠達(dá)到同樣的效果，不過(guò)等面積更加接近橢球區(qū)域面積的實(shí)際面積。