考慮不同年齡段的老撾湄公血吸蟲病模型研究

Sakhone Sysavathdy 田守靜 齊龍興

摘 要：基于實(shí)際數(shù)據(jù)中不同年齡段病人的比例不一樣這一現(xiàn)象，建立一個(gè)老撾湄公血吸蟲病數(shù)學(xué)模型，模型中考慮人宿主和釘螺宿主的感染比例，并將人宿主分為不同的8個(gè)年齡段，得出了平衡點(diǎn)的存在性，求出基本再生數(shù)，對(duì)模型的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行了討論和數(shù)值模擬，最后給出最佳控制策略.

關(guān)鍵詞：老撾湄公血吸蟲??；不同年齡段；穩(wěn)定性；數(shù)值模擬；控制

中圖分類號(hào)：O175 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引言

血吸蟲病是一種慢性寄生蟲病，是由多種因素誘發(fā)的一種疾病，主要受到環(huán)境、寄生蟲、載體和宿主的影響.目前，血吸蟲病仍然是發(fā)病率和死亡率很高的一種疾病.世界衛(wèi)生組織（WHO）認(rèn)為，血吸蟲病作為僅次于瘧疾的一種疾病，主要存在于第三世界的某些國(guó)家中，對(duì)世界公共衛(wèi)生與世界經(jīng)濟(jì)的發(fā)展有著極大影響[1-3].

1 老撾湄公血吸蟲病的簡(jiǎn)介

老撾湄公血吸蟲病只發(fā)現(xiàn)于老撾最南方的占巴塞省，而其他省份沒有血吸蟲病的報(bào)道.主要集中在兩個(gè)城市：孔市和幕拉巴某市.與孔市相比，幕拉巴某市發(fā)生湄公血吸蟲病的地區(qū)較小.這兩個(gè)地區(qū)具有大量的貝類生物，其中一種就是湄公血吸蟲的感染中介.

從老撾公共衛(wèi)生占巴塞省處收集統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)來(lái)看，血吸蟲病感染率從2010年～2015年仍然很高.2010年，老撾血吸蟲病的感染率是3.52%，2011年增長(zhǎng)至10.82%，2012年增加到17.78%，2013年下降到2.44%，但2014年又增加到9.02%，感染率最低的是2015年的1.31%.為監(jiān)測(cè)評(píng)估，需要抽取一個(gè)村子，對(duì)其進(jìn)行血吸蟲病檢查，觀察村民是否有感染現(xiàn)象的出現(xiàn).具體監(jiān)測(cè)評(píng)估是：在每個(gè)城市，每隔1年或2年，在2個(gè)～4個(gè)村子里隨機(jī)抽取不同年齡層的300人～500人，對(duì)其大便進(jìn)行檢查，觀察是否有寄生蟲卵出現(xiàn)，以監(jiān)測(cè)疾病感染的速度和嚴(yán)重程度.結(jié)果顯示，由于生活方式的不同，不同年齡段的人的感染率不同，如圖1所示.

2 數(shù)學(xué)模型

在中國(guó)，日本血吸蟲病及其數(shù)學(xué)模型已經(jīng)有很多相關(guān)的研究[4-8].但針對(duì)老撾湄公血吸蟲病還沒有太多的研究，尤其是利用數(shù)學(xué)模型來(lái)分析討論湄公血吸蟲病的傳播發(fā)展趨勢(shì)及其控制措施就更少；因此，本文根據(jù)湄公血吸蟲病傳播的實(shí)際情況以及來(lái)自老撾占巴賽省醫(yī)院的資料中顯示的不同年齡段的感染率（圖1）和參考文獻(xiàn)[9-10]，在Barbour模型[11]的基礎(chǔ)上，建立模型 （1）.首先對(duì)模型做如下假設(shè)：Pk（t）表示不同年齡段的人宿主中感染的比例，y（t）表示釘螺宿主中感染的比例.

■=aky（1-Pk）-（δH+γH）Pk=f（P1， …， P8， y）；k=1，…，8■=bfH■ekPk（1-y）-（d+θ）y=g（P1，…，P8，y）； （1）

其中（k代表不同年齡段“1：1歲～4歲，2：5歲～9歲，3：10歲～14歲，4：15歲～19歲，5：20歲～29歲，6：30歲～39歲，7：40歲～49歲，8：>49歲”），ak代表不同年齡段的病人傳染率系數(shù)，fH代表人的糞便輸出量，ek代表人的每克糞便的蟲卵數(shù)，δH代表人的死亡率，γH代表人的恢復(fù)率，b代表陽(yáng)性螺的傳染率系數(shù)，d代表釘螺的自然死亡率，θ代表陽(yáng)性螺的因病死亡率.根據(jù)基本再生數(shù)的生物意義可得：

R0=bfH■■.

從模型（1）可以得出平衡點(diǎn)的存在性.由aky（1-Pk）-（δH+γH）Pk=0可解得 ：

Pk=■

將Pk代入模型（1）的第二個(gè)方程，得：

bfH■ek■（1-y）-（d+θ）y=0，

進(jìn)而得

y=0和■■=■ .

令：

F（y）=bfH■■-（d+θ），則

F（0）=bfH■■-（d+θ）=（d+θ）（R0-1）.

則有：

F（0）>0，當(dāng)R0>1時(shí)，F(xiàn)（0）<0，當(dāng)R0<1時(shí)，F(xiàn)（0）=0，當(dāng)R0=1時(shí)， 以及 F（1）=-（d+θ）<0，且

F '（y）=bfH■-■=bfH■■<0，

即F（y）關(guān)于y嚴(yán)格單調(diào)遞減.

1）若R0>1，F(xiàn)（0）>0，F(xiàn)（1）<0，F(xiàn) '（y）<0，則在（0，1）中F（y）=0只有唯一的一個(gè)y*∈（0，1）.

2）若R0<1，F(xiàn)（0）<0，F(xiàn)（1）<0，F(xiàn) '（y）<0，則在（0，1）中F（y）=0無(wú)正解.

所以，當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)正平衡點(diǎn)， 當(dāng)R0>1時(shí)，有唯一的正平衡點(diǎn)（ ），其中

.

由y=0可計(jì)算得無(wú)病平衡點(diǎn)E0（0，0，0，0，0，0，0，0，0）.下面討論E0（0，0，0，0，0，0，0，0，0）的局部穩(wěn)定性.

記系統(tǒng)（1）為：

■=a1y（1-P1）-（δH+γH）P1 = f1，■=a2y（1-P2）-（δH+γH）P2 = f2， …■=a8y（1-P8）-（δH+γH）P8 = f8，■=bfH（e1P1+…+e8P8）（1-y）-（d+θ）y = g.

可得雅可比矩陣為：

由

可得：

由式（2），解得：

λ1=λ2=…=λ7=-（δH+γH）.

由式（3）得：

λ2+[（δH+γH）+（d+θ）]λ+（δH+γH）（d+θ）-bfH■ekak=0，

其中：

a=1，b=（δH+γH）+（d+θ），c=（δH+γH）（d+θ）-bfH■ekak.

由根與系數(shù)的關(guān)系可得：

λ8+λ9=-[ （δH+γH）+（d+θ）]，λ8λ9=（δH+γH）（d+θ）-bfH■ekak=（δH+γH）（d+θ）（1-R0）.

當(dāng)R0<1時(shí)，λ8+λ9<0λ8λ9>0，可解得λ8<0；λ9<0；所以E0是局部漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)R0>1時(shí)，λ8·λ9<0，說(shuō)明λ8，λ9中必有一個(gè)正的；故E0是不穩(wěn)定的.

下面進(jìn)行一些數(shù)值模擬，并對(duì)其給予分析.

3 數(shù)值模擬及控制

利用Matlab 軟件進(jìn)行數(shù)值模擬.

根據(jù)參考文獻(xiàn)[10]，選取參數(shù)值如下：a1=1.13×10-4；a2=7.52×10-4；a3=1.18×10-3；a4=1.03×10-3；

a5=6.39×10-4；a6=3.97×10-4；a7=2.47×10-4；a8=1.39×10-4；e1=105；e2=103；e3=195；e4=170；e5=100；e6=95；

e7=75；e8=45；b=5.15×10-6；fH=1 120；δH=3.26×10-4；γH=0.003 8；d=0.02；θ=6×0.02.（時(shí)間t的單位是w）

可以計(jì)算得：

R0=bfH■■=6.402 9>1.

說(shuō)明該地區(qū)湄公血吸蟲病會(huì)持續(xù)傳播下去.圖2～圖10也進(jìn)一步驗(yàn)證了這一理論結(jié)果.

由于老撾的國(guó)情特色，滅螺措施無(wú)法進(jìn)行.為了更好的預(yù)防湄公血吸蟲病，公共衛(wèi)生部門開設(shè)了一系列的健康教育課程，以提高人們的衛(wèi)生健康意識(shí)，規(guī)范人們的日常行為，進(jìn)而減少疾病發(fā)生的概率.所以在選取控制措施時(shí)，只能通過(guò)調(diào)控傳染率，即參數(shù)a1，a2，…，a8來(lái)研究并比較哪種措施最好.下面分別將8個(gè)傳播病率分別減小一半來(lái)進(jìn)行比較，圖形如下（圖11～圖19）：

通過(guò)圖11～圖19可以看出，減小不同的傳染率（a1，a1，…，a8）的效果不同. 從P1～P8的圖形可以看出，除了減小相對(duì)應(yīng)的各自傳染率系數(shù)外，控制效果最顯著的是減小a3，最不明顯的是減小a8.此結(jié)論說(shuō)明：在老撾，采取一定的措施使得10歲～14歲年齡段的病人的傳染率減小，對(duì)控制老撾血吸蟲病的傳播是最有效的一種策略.

4 結(jié)論

本文主要工作是建立老撾血吸蟲病數(shù)學(xué)模型，得出無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性，并對(duì)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行了討論和數(shù)值模擬，最后給出最佳控制策略.

在老撾一些疫區(qū)，當(dāng)反復(fù)的臨床療法和環(huán)境改善相結(jié)合時(shí)，血吸蟲病感染和傳播控制有所減緩.然而，老撾湄公血吸蟲病因?yàn)橹虚g宿主的生態(tài)特性，現(xiàn)有水平的很多干預(yù)似乎效果都不是很突出.首先，由于湄公河的水位很高，氯硝柳胺對(duì)釘螺沒有強(qiáng)烈的影響，滅螺劑的應(yīng)用在老撾以失敗告終.其次，由于沒有足夠的資金，當(dāng)?shù)氐纳鐓^(qū)并沒有建設(shè)完善的公共廁所和洗浴措施，通過(guò)管理人體排泄物來(lái)減少傳播的方法無(wú)法維持下去；除了外部組織的一小部分的干預(yù)，目前政府還沒有計(jì)劃用于補(bǔ)貼或其他形式的資金支持環(huán)境改善；因而，改善環(huán)境的舉措也是不太可行的.另外，動(dòng)物宿主還有待進(jìn)一步確認(rèn).目前老撾湄公血吸蟲病防治的目標(biāo)仍然是控制發(fā)病率和控制傳播途徑.

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