高層Maxwell耗能結(jié)構(gòu)隨機風振響應解析分析

李創(chuàng)第 杜傳知 葛新廣

摘 要：對設置Maxwell阻尼器的高層建筑結(jié)構(gòu)隨機風振響應及等效靜態(tài)設計風荷載取值進行了研究.首先，用微分積分方程組建立了結(jié)構(gòu)的運動方程；然后用傳遞函數(shù)法，獲得了結(jié)構(gòu)以第一振型表示的時域瞬態(tài)位移響應非擴階解析解；根據(jù)所得的解析解，用隨機振動方法獲得了Maxwell阻尼耗能高層建筑結(jié)構(gòu)用第一振型表示的隨機風振響應及等效靜態(tài)設計風荷載取值的解析解；最后用算例驗證了解析解的正確性.

關鍵詞：Maxwell阻尼器；高層結(jié)構(gòu)；隨機風振響應；解析解

中圖分類號：TU311.3 文獻標志碼：A

0 引言

粘彈性阻尼器等被動控制技術(shù)已被廣泛應用[1-4]，因此，研究粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)的隨機風振響應具有理論和工程意義.Maxwell模型阻尼器本構(gòu)方程簡單，易于擴階，模型計算參數(shù)便于試驗數(shù)據(jù)擬合[5-6]，且一般流體阻尼器比較符合 Maxwell模型，粘彈性阻尼器也可用Maxwell模型近似表示，故Maxwell模型阻尼器耗能結(jié)構(gòu)動力響應特性分析日益受到重視[7-10].Maxwell阻尼耗能結(jié)構(gòu)現(xiàn)有的解析分析方法分為擴階法和非擴階近似法兩類.擴階法將Maxwell阻尼耗能結(jié)構(gòu)化為一階狀態(tài)方程組求解[11]，目前該法已用于耗能結(jié)構(gòu)平穩(wěn)隨機地震響應的數(shù)值分析，但因擴階方程組物理意義不明確，變量個數(shù)劇增，計算效率低，使該法的實際應用受到限制.非擴階近似法主要是模態(tài)應變能法[12]和取結(jié)構(gòu)基頻的強行解耦法[13]，國內(nèi)外的工程實踐已有較多應用；但該法采用阻尼器頻域建模方式，使耗能結(jié)構(gòu)方程并不嚴格適用于強風和地震等非簡諧激勵的時域分析，且采用較多近似假設，使其精度有待提高，應用范圍受到限制[14].

針對傳統(tǒng)方法的不足，本文力求得出兼顧精確和效率的優(yōu)效方法.傳遞函數(shù)法不需擴階，已廣泛用于航空、機械、車輛等工程領域的振動分析，獲得了一般粘滯阻尼對稱線性定常結(jié)構(gòu)的脈沖響應函數(shù)精確解[15-17]，但尚未見該方法用于上述粘彈性阻尼頻率依賴非定常結(jié)構(gòu)的研究.本文運用傳遞函數(shù)法，建立高層耗能結(jié)構(gòu)隨機風振響應的解析分析法，獲得摘要所述結(jié)果.

1 運動方程

設一高層建筑結(jié)構(gòu)在脈動風荷載Pf（t）作用下，其計算簡圖及結(jié)構(gòu)運動方程同文獻[18].

由于高層建筑結(jié)構(gòu)的風振響應以第一振型為主[18]，故可將x按結(jié)構(gòu)第1振型？漬1=[？漬11，？漬21，…，？漬n1]T及其廣義坐標y展開：

x（t）=？漬1y（t） （1）

則文獻[18]中的結(jié)構(gòu)運動方程（1）可化為：

■+2ω1ξ1■+ω12y+■hd（t-？子）■（？子）d？子=w（t） （2）

式中ω1，ξ1分別為結(jié)構(gòu)第一振型的頻率和阻尼比；

（3）

（4）

2 廣義位移瞬態(tài)響應分析

2.1 結(jié)構(gòu)特征值分析

設結(jié)構(gòu)從零初始狀態(tài)開始運動，即：

y（t=0）=0，■（t=0）=0 （5）

對式（2）取拉氏變換，得：

s2y（s）+s[2ξ1ω1+hd（s）]y（s）+ω12y（s）=w（s） （6）

y（s）=D（s）-1w（s）=H（s）w（s） （7）

D（s）=s2+s[ 2ξ1ω1+hd（s）]+ω12 （8）

（9）

式中：y（s），w（s），hd（s）分別是y（t），w（t），hd（t）的拉氏變換，D（s）和H（s）分別是結(jié)構(gòu)廣義位移的阻抗和傳遞函數(shù).

結(jié)構(gòu)的特征值方程為：

detD（s）=0 （10）

由式（10）可求出N=2+n個特征值sj，即：

（11）

2.2 傳遞函數(shù)解析式

因為sj是傳遞函數(shù)H（s）的極點，由傳遞函數(shù)的殘數(shù)理論[15]，可將H（s）表示為：

H（s）=■■ （12）

其中，待定常數(shù)ηj為：

（13）

由D（s）的表達式（8），易得：

（14）

2.3 廣義位移時域解析解

由式（7）和式（12）得：

（15）

對式（15）取拉氏逆變換，得廣義位移的時域解析解為：

（16）

3 隨機風振響應解析分析

3.1 脈動風荷載激勵模型

結(jié)構(gòu)在高度為Hi的各樓層所受到的脈動風荷載Pf i （Hi ，t）為[19-20]：

Pf i （Hi ，t）=I0（Hi）■P（Hi）f （t）=I0（Hi）B0（Hi） f（t） （17）

式中：I0（Hi）——方差等于1的隨機變量；k1——與地面粗糙度有關的系數(shù)；P（Hi）——Hi高度處平均風荷載；μz（Hi）——風壓高度變化系數(shù)；f（t）——脈動風速的平穩(wěn)隨機過程，僅為時間t的隨機函數(shù)，其均值為0，且具有規(guī)格化的功率譜Sf（ω）（即■Sf（ω）dω=1）.

考慮豎向相關性，則脈動風載Pf i （Hi ，t）和Pf j （Hj ，t）的相關函數(shù)為[19-20]：

E[Pf i （Hi ，t）Pf j （Hj ，t+？子）]=ρij B（Hi）B（Hj）E[f（t）f（t+？子）] （18）

式中，E[·]表示取函數(shù)期望值；

ρij =E[I0（Hi）I0（Hj）]=exp-■│Hi-Hj│ （19）

B0（Hm）=■P（Hm），（m=i，j） （20）

當規(guī)格化的脈動風速平穩(wěn)隨機過程f（t）用巴斯金相關函數(shù)及其功率譜表示時，有如下表達式[19-20]：

Rf（？子）=E[f（t）f（t+？子）]=θ2e-α│？子│（ cosβ？子+μsinβ│？子│） （21）

Sf（ω）=■·■ （22）

式中：θ2=1；μ=-■；α=4.806 7×10-4V10；β=3.992 5×10-3V10；V10為離地面10 m處的平均風速.

3.2 結(jié)構(gòu)風振響應解析表達式

由式（4）、式（16）、式（17）可得：

y（t）=σ■ηj■esj（t-？子）f（？子）d？子=σ■ηjδj（t） （23）

式中：

δj（t）=■esj（t-？子）f（？子）d？子 （24）

（25）

{B0（Hi）}= [B0（H1），B0（H2），…，B0（Hn）]T （26）

則結(jié)構(gòu)廣義位移平穩(wěn)響應方差為：

（27）

其中：

（28）

（29）

D=[ρijB0（Hi）B0（Hj）] （30）

令：

q=-α+jβ；q=-α-jβ， （j=■） （31）

利用歐拉公式：

eq│？子│+eq│？子│=2e-α│？子│cosβ？子， eq│？子│-eq│？子│=2je-α│？子│sinβ？子 （32）

將Rf（？子）的表達式（21）改寫為：

Rf（？子）=e-α│？子│（cosβ？子+μsinβ│？子│）=（geq│？子│+geq│？子│） （33）

式中：g=■（1-jμ）；g=■（1+jμ）.

則 的表達式（28）化為：

（34）

式中：

A2（u）=■（geq│？子+u-v│+geq│？子+u-v│）eskvdv=g[esk│？子+u│-eq│？子+u│）/（sk-q）+g[esk│？子+u│-eq│？子+u│）/（sk-q） （35）

B2（u）=■（geq│？子+u-v│+geq│？子+u-v│）eskvdv=-[■+ ]esk（？子+u） （36）

將式（35）、式（36）代入式（34）并求積分，最終可得：

（37）

式中：

αjk=■■+■；βjk= ■+■；

γjk=■g■-■+■■-■ （38）

特別的，令？子=0，得 的解析式為：

（39）

將式（39）代入式（27），可得結(jié)構(gòu)第一振型廣義位移平穩(wěn)響應方差解析解為：

（40）

4 結(jié)構(gòu)風振響應設計值分析

由于結(jié)構(gòu)廣義位移風振響應設計值ymax是響應y（t）的最大值，故可取響應設計值為峰值因子Cf與響應y（t）的標準差■的乘積，也即：

ymax=Cf■ （41）

對于風荷載，我國《荷載規(guī)范》取峰值因子Cf=2.5.將上式結(jié)果代入式（4），可得結(jié)構(gòu)各層位移響應設計值為：

xmax=2.5×？漬1ymax （42）

5 等效風荷載取值計算

結(jié)構(gòu)剛度矩陣k，質(zhì)量矩陣m與結(jié)構(gòu)第一振型？漬1及第一頻率ω1有如下關系：

k？漬1=ω12m？漬1 （43）

故有：

k？漬1ymax=ω12m？漬1ymax （44）

kxmax=ω12mxmax （45）

要使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的設計位移向量為xmax，需施加的等效風振力向量為ω12mxmax，所以結(jié)構(gòu)第i層的等效風振力分量Pdi為：

Pdi=ω12miximax=ω12mi？漬i1ymax （46）

式中：mi——結(jié)構(gòu)第i層的集中質(zhì)量；ximax——結(jié)構(gòu)第i層的風振位移響應設計值；？漬i1——結(jié)構(gòu)第一振型？漬1在第i層處的分量.

因為結(jié)構(gòu)順風向等效靜態(tài)設計風荷載可視為平均風力P（Hi）與等效風振力共同作用的總效應，所以，結(jié)構(gòu)在第i層樓層處的順風向等效靜態(tài)設計風荷載取值為：

（47）

6 算例

某海邊（A類地區(qū)）一棟12層框架結(jié)構(gòu)，當?shù)鼗撅L壓0.7 kN/m2，離地面高度10 m處平均風速V10取30 m/s.結(jié)構(gòu)層間質(zhì)量m1～m2為300×103 kg，m3～m11為270×103 kg，m12為130×103 kg；層間剛度k1～k2為350×103 kN/m，k3～k12為300×103 kN/m；結(jié)構(gòu)第1振型阻尼比ξ1=0.05.各結(jié)構(gòu)層設置10組參數(shù)相同的Maxwell阻尼器，阻尼器參數(shù)取值如表1所示.

圖3為4種工況下結(jié)構(gòu)風振位移響應設計值示意圖.用本文方法獲得的結(jié)構(gòu)風振位移響應設計值和用數(shù)值積分獲得的風振位移響應設計值數(shù)值解完全一致，如圖1所示，本文方法和數(shù)值積分方法所得結(jié)果繪制圖形完全重合，從而驗證了本文方法的正確性.

表2和表3分別列出了有無阻尼器控制的結(jié)構(gòu)各層風振位移響應設計值、等效靜態(tài)設計風荷載取值.計算結(jié)果表明：與無阻尼器控制相比（即工況1），工況2～工況4控制的結(jié)構(gòu)風振位移響應減小分別為：5.66%，14.37%，41.22%，可見設置阻尼器的參數(shù)越大，結(jié)構(gòu)減振效果越明顯.

7 結(jié)論

本文對設置Maxwell阻尼器的高層建筑結(jié)構(gòu)隨機風振響應及等效靜態(tài)設計風荷載取值進行了研究，獲得了結(jié)構(gòu)以第一振型表示的時域瞬態(tài)位移響應解析解，并根據(jù)所得解析解，獲得了Maxwell阻尼器耗能高層建筑結(jié)構(gòu)用第一振型表示的隨機風振響應及等效靜態(tài)設計風荷載取值的解析解.把復雜的隨機振動設計方法轉(zhuǎn)化為簡單的靜態(tài)等效設計法，將有助于結(jié)構(gòu)控制先進技術(shù)在實際工程中的推廣應用.

參考文獻

[1] SOONG T T， DARGUSH G F. Passive engrgy dissipation systems in structural engineering[M]. England： John Wiley and Ltd，1997.

[2] CHRISTOPOULOS C， FILIATRAULT A. Principle of passive supplemental damping and seismic isolation[M]. Pavia： IUSS Press，

2006.

[3] 周云. 粘彈性阻尼減震結(jié)構(gòu)設計[M]. 武漢：武漢理工大學出版社，2006.

[4] 李創(chuàng)第，鄒萬杰，葛新廣，等. 多自由度一般積分型粘彈性阻尼減震結(jié)構(gòu)的隨機響應與等效阻尼[J]. 工程力學，2013，30（4）：136-145.

[5] PARK S W. Analytical modeling of viscoelastic dampers for structural and vibration control[J]. International Journal of Solids and

Structures， 2001， 38（S44-45）： 8065-8092.

[6] CHANG T S， SINGH M P. Mechanical model parameters for viscoelastic dampers[J]. Journal of Engineering Mechanics， 2009， 135（6）： 581-584.

[7] YAMADA K. Dynamic characteristics of SDOF structure with Maxwell element[J]. Journal of Engineering Mechanics， 2014， 134

（5）： 396-404.

[8] PALMERI A， RICCIARDELLI F， DE LUCA A， et al. State space formulation for linear viscoelastic dynamic systems with memory[J]. Journal of Engineering Mechanics， 2003， 129（7）： 715-724.

[9] SINGH M P， VERMA N P. Seismic analysis and design with Maxwell dampers[J]. Journal of Engineering Mechanics，2003，129

（3）：273-282.

[10] PALMERI A. Correlation coefficients for structures with viscoelastic dampers[J]. Engineering Structures，2006，28（8）： 1197-1208.

[11] 葛新廣，李創(chuàng)第，鄒萬杰. Maxwell阻尼減震結(jié)構(gòu)的最大非平穩(wěn)響應[J]. 廣西工學院學報，2012，23（4）：1-7.

[12] 瞿偉廉，程懋堃，毛增達，等.設置粘彈性阻尼器鋼結(jié)構(gòu)高層建筑抗震抗風設計的實用方法[J].建筑結(jié)構(gòu)學報，1998，19（3）：42-49，57.

[13] OU J P， LONG X， LI Q S. Seismic response analysis of structures with velocity-dependent dampers[J]. Journal of Constructional

Steel Research， 2007，63（5）：628-638.

[14] ZAMBRANO A， INAUDI J A， KELLY J M. Modal coupling and accuracy of modal strain energy method[J]. Journal of Engineering Mechanics，1996，122（7）：603-612.

[15] RONG B，RUI X T， YU H L， et al. Discrete time transfer matrix method for dynamic modeling of complex spacecraft with flexible appendages[J]. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics， 2011， 6（1）：85-92.

[16] RUI X T， WANG G P， LU Y Q， et al. Transfer matrix method for linear multibody system[J]. Multibody System Dynamics，2008， 19（3）：179-207.

[17] 廖伯瑜，周新民，君志宏. 現(xiàn)代機械動力學及其工程應用：建模、分析、仿真、修改、控制、優(yōu)化[M]. 北京：機械工業(yè)出版社， 2003.

[18] 李創(chuàng)第，華逢忠，葛新廣. Maxwell阻尼耗能多層結(jié)構(gòu)在有界噪聲激勵下的隨機響應解析分析[J]. 廣西科技大學學報，

2016，27（4）：1-6，20.

[19] 瞿偉廉. 高層建筑和高聳結(jié)構(gòu)的風振控制設計[M]. 武漢：武漢測繪科技大學出版社， 1991.

[20] 李桂青. 抗震結(jié)構(gòu)計算理論和方法[M]. 北京：地震出版社， 1985.

Abstract： The random wind-induced response and the equivalent static design wind action of tall building structure with Maxwell dampers are studied. Structural dynamic integral-differential response equations are established. Then by using transfer function method， the exact solutions of structural transient response in time-domain are obtained by expanding the structure with respect to the first mode. Analytical solution of structural wind-induced random response and equivalent static design wind load of tall building structure with Maxwell dampers are obtained by using random vibration method. Example analysis has proved the validity of the consequence.

Key words： Maxwell damper； tall building structure； wind-induced random response； analytic solution

（學科編輯：黎 婭）