對工科線性代數(shù)行列式教學(xué)內(nèi)容的一點思考

DOI：10.19392/j.cnki.16717341.201722015

摘要：本文梳理了行列式在大學(xué)工科數(shù)學(xué)教學(xué)體系中的地位和作用， 結(jié)合近年對非數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)內(nèi)容改革的一些意見， 對行列式內(nèi)容在工科教材中的取舍進(jìn)行了分析， 并給出了結(jié)論.

關(guān)鍵詞：行列式；大矩陣運算；Matlab；工科線性代數(shù)

一、工科線性代數(shù)的知識體系和行列式在其中的地位與作用

工科線性代數(shù)主要研究線性方程組求解， 對于一個確定的方程組， 具體可分為以下三個方面：

（1）確定它的解是否存在；

（2） 若存在， 是一個還是無窮多個；

（3）若有無窮多個解， 如何表達(dá)它們。

前兩方面通過比較該線性方程組的系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩及方程組中未知量的個數(shù)這三個數(shù)的關(guān)系可完全確定； 如果確認(rèn)了它有無窮多個解， 要表達(dá)這些解， 需引進(jìn)向量空間. 這無窮多解構(gòu)成一個向量空間， 找到空間的一組基， 就能將這些解表達(dá)出來。

在這個體系中， 矩陣和向量無疑是主角， 行列式在其中也扮演了部分角色， 主要表現(xiàn)有

a）用以判斷系數(shù)矩陣為方陣的線性方程組解的存在性的Cramer法則；

b）一個方陣可逆的充分必要條件是它的行列式不等于零；

c）求方陣A的特征值， 就是求特征方程|A-λE|=0的根。

只有行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣， 也就是方陣， 才有行列式。 那么， 行列式在以上三個方面所起的作用就必然是一般矩陣相應(yīng)結(jié)論的特例。 對于一般的線性方程組Am×nX=b

其中X=（x1，x2，……，xn）T，b=（b1，b2，……，bm）T，當(dāng)

R（Am×n）=R（Am×n，b）=n

（其中R（Am×n）表示矩陣Am×n的秩）時， 該方程組有唯一解。

而a）， b）， c） 三個方面就是這個結(jié)論在m=n， 即系數(shù)矩陣是方陣， 時在不同側(cè)面的反映，起溝通作用的是結(jié)論“方陣A的行列式|A|≠0， 當(dāng)且僅當(dāng)A行滿秩”。

二、非數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)課改的趨勢及其對行列式部分的影響

非數(shù)學(xué)專業(yè)開設(shè)數(shù)學(xué)課， 主要是為大學(xué)生提供后續(xù)課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和必要的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力， 這點在線性代數(shù)上體現(xiàn)的更為直接。 通過這門課的學(xué)習(xí)， 學(xué)生要掌握一些基本概念，包括矩陣， 行列式， 線性方程組等， 還應(yīng)能夠使用計算機(jī)解決實際問題。 對工科大學(xué)生而言， 就是學(xué)會使用計算機(jī)求解高階的矩陣模型。

當(dāng)前的課程體系分配給工科線性代數(shù)的學(xué)時普遍較少， 三峽大學(xué)只有32個， 在這樣的背景下， 當(dāng)前把教學(xué)重點放在強(qiáng)調(diào)抽象思維的經(jīng)典理論上的做法， 顯然不能滿足工科大學(xué)生后續(xù)課程使用計算機(jī)解決實際問題的需求. 對非數(shù)學(xué)專業(yè)， 在經(jīng)典理論的基礎(chǔ)上會用計算機(jī)解決高階的矩陣計算問題應(yīng)是線性代數(shù)課程改革的大趨勢。

以陳懷琛教授為代表的國內(nèi)高校的有識之士已率先啟動這方面的改革， 參見[1]， 并取得了很大的進(jìn)展。

這個改革架構(gòu)， 鑒于線性代數(shù)的計算部分具有機(jī)械性、程式化的特征， 建議教與學(xué)的過程將重點放在對實際問題的數(shù)學(xué)建模的分析上， 而將純程式化的計算過程交由計算機(jī)來處理. 線性代數(shù)涉及的運算是一種刻板、枯燥、但很有規(guī)則的簡單運算， 比如對矩陣施行初等變換， 所作的運算無非是加法和數(shù)乘， 但要重復(fù)做好多次. 由人力演算， 耗時費力， 且無法保證每次結(jié)果都正確， 因此這種工作不宜由人工來做， 而最適宜由機(jī)器來執(zhí)行。

線性代數(shù)課程還有理論抽象、難懂的特點， 改革后的教學(xué)過程應(yīng)分為理論教學(xué)和實踐演練兩大塊。

在理論教學(xué)部分， 不需太詳盡的證明， 只要求學(xué)生明晰基本概念、懂得基本理念就可以了。但對基本內(nèi)容一定要討論清楚. 就是要講清楚下列基本問題：

問題I. 為什么R（Am×n）=R（Am×n，b）時， 線性方程組Am×nX=b有解； 進(jìn)而，

R（Am×n）=R（Am×n，b）時， 該方程組有唯一解？

問題II. 為什么可以用初等變換（包括初等行變換和初等列變換）來求可逆陣的逆？

問題III. 線性空間中， 為什么可以由有限表達(dá)無限？

這三個問題， 分別對應(yīng)著對矩陣的秩、初等矩陣和向量組的一個極大線性無關(guān)組這些基本概念的理解和運用。

實踐部分的教學(xué)應(yīng)在理論教學(xué)后進(jìn)行。 主要操作上， 陳懷琛教授在[2]中總結(jié)了三點：對于低階（三階及以下）的線性代數(shù)問題， 用Matlab提供圖形幫助， 便于直觀且深刻地理解課程后續(xù)的理論和概念； 對于高階的線性代數(shù)問題， 借助Matlab提供的程序， 使師生可以快速、準(zhǔn)確地進(jìn)行大量數(shù)據(jù)的數(shù)值計算； 通過一些應(yīng)用實例， 使學(xué)生了解線性代數(shù)知識在各領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。

對行列式， 國外有教材[4]只講到三階， 而且強(qiáng)調(diào)講課時推導(dǎo)的公式不是用來計算的， 只要知道行列式不為零時對應(yīng)的矩陣可逆即可。 這樣的處理在當(dāng)前大矩陣的背景下是合理的。 在國外的另一本教材[5]里面， 作者直言，“在柯西的年代， 矩陣很小， 行列式在數(shù)學(xué)中起過重要的作用。 而今天它在大規(guī)模矩陣運算中只有很小的價值”。

三、在課改背景下對行列式教學(xué)內(nèi)容取舍的一些思考

在國內(nèi)外課程改革背景下，很有必要對教材中行列式部分的內(nèi)容做適當(dāng)?shù)膭h減， 以順應(yīng)當(dāng)前工科大學(xué)生學(xué)習(xí)和使用線性代數(shù)知識的需求。

在國內(nèi)一般的《線性代數(shù)》教材， 如[3]中， 行列式被放在第一章， 介紹二階與三階行列式、全排列及其逆序數(shù)、n 階行列式的定義、行列式的性質(zhì)、行列式的按行（列）展開及Cramer法則等內(nèi)容。 下面依次分析這些內(nèi)容在當(dāng)前課改形勢下有無存在的必要性。

低階（二階與三階）行列式具有直觀的幾何意義， 且容易計算， 適合作為引入行列式概念的例子。 借助二階， 至多三階行列式， 來講行列式， 便于學(xué)生形成概念， 并很好的將行列式與線性方程組和矩陣聯(lián)系起來。將低階行列式從表示方法、本質(zhì)內(nèi)涵和不同的處理方式等方面與矩陣做比， 加深學(xué)生對矩陣的理解。 因為低階行列式易于被人們接受， 它們在線性代數(shù)教材的行列式部分是必不可少的。

全排列和逆序數(shù)對于經(jīng)典的行列式定義（即所有取自不同行和不同列的各元素乘積的代數(shù)和， 共n項）是必不可少的， 但若用這種定義來計算行列式， 5階行列式直接筆算已相當(dāng)繁瑣， 25階的更已超出了計算機(jī)的運算能力。 因此這部分內(nèi)容連同n階行列式的經(jīng)典定義在工科線性代數(shù)教材中宜刪去， 而將經(jīng)典定義的思想在學(xué)習(xí)低階形式時簡要介紹即可。

將行列式按行（列）展開也具有計算量隨著階數(shù)的升高快速增加的特點， 在普遍使用計算機(jī)處理行列式和矩陣的今天， 也只要在講授低階情形時講一下相關(guān)思想就行了。

行列式的性質(zhì)對于初學(xué)者進(jìn)一步認(rèn)識行列式很有幫助， 尤其是遇到具有某些特征的形式時巧妙利用性質(zhì)可以快速得到行列式的值， 這部分內(nèi)容可以三階為例全面講解。

Cramer法則聯(lián)系了行列式與系數(shù)矩陣是方陣的線性方程組的求解過程， 是求解這類方程組的另一種途徑， 在主要處理線性方程組求解的線性代數(shù)教材中也是必須要有的。

四、結(jié)論

綜合以上分析， 線性代數(shù)在教與學(xué)過程中應(yīng)弱化理論、強(qiáng)調(diào)運用計算機(jī)解決實際問題； 在行列式部分， 應(yīng)順應(yīng)這一趨勢和低學(xué)時的實際， 去除“小矩陣時代”的痕跡， 僅留存與教材主題內(nèi)容相銜接的部分。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳懷琛，高淑萍.論非數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)的內(nèi)容改革[M].高等數(shù)學(xué)研究，2015，18（2）.

[2]陳懷琛，龔杰民.線性代數(shù)實踐及MATLAB入門（第二版）[M].北京：電子工業(yè)出版社， 2009.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)（第五版）[M].高等教育出版社，2007.

[4]Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra， 4th Edition[M].WilsleyCambridge Press. 2009：vxii.

[5]DavidCLay. LinearAlgebra and itsApplication（3th Editon）[M].PearsonAddisonWesley.2006：162.

作者簡介：曹志杰，男，博士，三峽大學(xué)理學(xué)院講師。