剛體的力學(xué)與運(yùn)動學(xué)分析方法

舒牧葳

摘要：剛體力學(xué)的研究方法，服從力的平衡、力的合成與分解、能量守恒等基本原理，在此基礎(chǔ)上，還要結(jié)合剛體的動力學(xué)等數(shù)學(xué)方法，共同求解剛體問題；剛體由于不可壓縮性，又有其獨(dú)特的規(guī)律，本文用矢量分解的方法，將數(shù)學(xué)方程和分析物理現(xiàn)象兩個(gè)角度結(jié)合，研究細(xì)長剛體的力與運(yùn)動問題，

關(guān)鍵詞：剛體力學(xué)；運(yùn)動；數(shù)學(xué)方法；物理方法；矢量分解；軌跡方程

剛體力學(xué)從靜力平衡的基礎(chǔ)出發(fā)，結(jié)合能量守恒，以及動力學(xué)方程，可以深入的研究剛性物體的受力狀態(tài)，運(yùn)動過程，運(yùn)動終止?fàn)顟B(tài)；與靜力學(xué)的范疇不同，在任意位置，受力并不一定平衡，即所受的各個(gè)力并不一定交于一點(diǎn)，剛體因此可能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動等。但仍可以進(jìn)行受力分析，剛體在運(yùn)動中及受力作用后，其形狀和大小不變。且剛體內(nèi)部各點(diǎn)之間的相對位置關(guān)系也不變。研究剛體適用能量守恒定律，動量守恒定律，角動量守恒定律等基本方法。

本文研究了剛體的力學(xué)與運(yùn)動學(xué)特征，列舉了兩種場景。場景是理想光滑平面和光滑垂直平面，在剛體受到微小擾動后的剛體運(yùn)動模型，分析其物理過程可知，存在某臨界點(diǎn)，剛體的運(yùn)動狀態(tài)將發(fā)生改變，由于該物理過程較為復(fù)雜，不能采用靜力學(xué)平衡的分析方法，故需列出其動力學(xué)方程，結(jié)合力的分析，通過數(shù)學(xué)方法解釋物理現(xiàn)象。同時(shí)較多地采用數(shù)學(xué)方法，也有助于更深入的理解物理學(xué)場景，兩種研究方法應(yīng)有機(jī)的結(jié)合起來，讓數(shù)學(xué)工具為進(jìn)一步分析物理問題提供幫助，通過數(shù)學(xué)結(jié)果解釋物理現(xiàn)象；同時(shí)也訓(xùn)練物理思維能力，通過物理規(guī)律列出數(shù)學(xué)方程。

一、剛體靠光滑墻面光滑水平面滑落場景

如圖1：墻面光滑，水平面光滑，初始時(shí)剛體緊貼墻面豎直放置，受到微小擾動后，剛體開始沿著墻壁緩慢下滑，由于受到重力的作用，剛體繼續(xù)加速滑下，其質(zhì)量記為M，剛體中點(diǎn)記為O，其長度記為L，在中間某個(gè)狀態(tài)，剛體與水平面所成夾角α為參數(shù)，描述剛體的瞬時(shí)狀態(tài)，其靠墻的接觸點(diǎn)豎直向下的速度記為V1，與水平面的接觸點(diǎn)平行向右的速度記為V2，豎直墻面作用于剛體的彈力水平向右記為N1，水平面作用于剛體的彈力豎直向上記為N2。上下兩端分別記為A，B。

由于剛體運(yùn)動過程中各點(diǎn)沒有相對位移，根據(jù)O點(diǎn)與剛體兩端點(diǎn)的幾何關(guān)系有：

V[DD（-*5]0=[SX（]1[]2[SX）]（V[DD（-*5]1+V[DD（-*5]2）

由V1，V2的正交性有：

V0x=[SX（]1[]2[SX）]V2，Voy=[SX（]1[]2[SX）]V1

B點(diǎn)對O點(diǎn)的相對運(yùn)動關(guān)系為：

V[DD（-*5]Bo=（V[DD（-*5]B-V[DD（-*5]o）

即VBox=[SX（]1[]2[SX）]V1，VBoy=[SX（]1[]2[SX）]V2

研究B點(diǎn)對O點(diǎn)的相對運(yùn)動關(guān)系，因?yàn)锳，B兩端都在繞O旋轉(zhuǎn)，于是O點(diǎn)的角速度為兩速度在旋轉(zhuǎn)方向線速度的疊加，其疊加后的角速度為：

ω=[SX（]VBoxsinα+VBoycosα[][SX（]1[]2[SX）]l[SX）]=[SX（]V2sinα+V1cosα[]l[SX）]

剛體由于不能壓縮，于是由速度牽連關(guān)系有：

V2cosα=V1cos（90°-α）

即V2=V1tanα

即：

ω=[SX（]V1cosα+V1tanαsinα[]l[SX）]=[SX（]V1[]lcosα[SX）]

桿動能為平動動能與轉(zhuǎn)動動能之和，由能量守恒定律：

mg（1-sinα）[SX（]l[]2[SX）]=[SX（]1[]2[SX）]Jω2+[SX（]1[]2[SX）]mV02

可以較為容易的證明，細(xì)長剛體對其中點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量為：

J=[SX（]1[]12[SX）]ml2

上式的證明用到簡單的線積分，其過程不復(fù)雜，在此當(dāng)結(jié)論直接引用。

V02=V0x2+V0y2=[SX（]1[]4[SX）]（V12+V22）=[SX（]V12[]4cos2α[SX）]

V0=[SX（]1[]2[SX）]ωl

解得：ω2=[SX（]3g（1-sinα）[]l[SX）]

V02=[SX（]3gl（1-sinα）[]4[SX）]

因質(zhì)心O做圓周運(yùn)動，故

V0x=V0sinα

上式兩邊平方，后對時(shí)間求導(dǎo)，注意到上式中速度是時(shí)間的函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的原則有：

2V0xax=2V0sin2α[SX（]dV0[]dt[SX）]+2sinαcosαV02[SX（]dα[]dt[SX）]

又2V0

[SX（]dV0[]dt[SX）]=-[SX（]3gl[]4[SX）]cosαω

聯(lián)立解得

ax=V0ω[

-[SX（]sinαcosα[]2（1-sinα）[SX）]+cosα]

剛體離開墻面時(shí)，ax=0。

即

[SX（]sinαcosα[]2（1-sinα）[SX）]=cosα

sinα=[SX（]2[]3[SX）]

以上借助微分方程對細(xì)長剛體離開墻面的時(shí)刻進(jìn)行了分析，其要點(diǎn)在于：

剛體在沿著墻面倒伏的過程中，由于受到豎直墻面的水平向右的作用力，根據(jù)動量定理，該作用力使得剛體獲得向右的速度，在重力的作用下，根據(jù)能量守恒，剛體會加速下滑，在上述兩種力的綜合作用下，剛體的運(yùn)動存在某個(gè)臨界點(diǎn)，在該點(diǎn)處，剛體剛好脫離墻面，從此不再受到豎直墻面水平向右的作用力，即整個(gè)質(zhì)心向右的速度不再增加；從此時(shí)開始，剛體受到的力只有重力，以及水平地面豎直向上的反作用力。

上述的解法主要體現(xiàn)了用偏數(shù)學(xué)的方法解決物理問題；另一方面，研究剛體的物理現(xiàn)象，從偏向物理學(xué)的分析方法，從質(zhì)心運(yùn)動的規(guī)律出發(fā)，作出剛體運(yùn)動的幾何關(guān)系圖如圖2：

從墻角P到質(zhì)心O的連線如圖2，△POA中PO=AO，即O點(diǎn)做以P為圓心OA為半徑的圓周運(yùn)動。且∠OPB=∠OBP；∠OPA=∠OAP。

故質(zhì)心O點(diǎn)的圓周運(yùn)動的角速度，角加速度與桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度，角加速度相等。設(shè)桿上段A離開墻面時(shí)角速度和角加速度分別為ω，β；與地面夾角為α。則質(zhì)心O點(diǎn)的速度，向心加速度，切向加速度分別可以表示為：

V0=[SX（]ωl[]2[SX）]

a1=[SX（]1[]2[SX）]ω2l

a2=[SX（]1[]2[SX）]βl

當(dāng)臨界離墻時(shí)，桿不受水平作用力，質(zhì)心水平方向的加速度為0，即向心加速度，切向加速度質(zhì)心O點(diǎn)在水平方向的分量矢量和為0：ω2[SX（]1[]2[SX）]lcosα=β[SX（]1[]2[SX）]lsinα上式對時(shí)間求導(dǎo)：ω2=[SX（]3g（1-sinα）[]l[SX）]

由前面的推導(dǎo)：[SX（]2[]3[SX）]βl=-gcosα

又因?yàn)椋?/p>

ω=-[SX（]dα[]dt[SX）]

聯(lián)立解得：

sinα=[SX（]2[]3[SX）]

以上用剛體的性質(zhì)，一種方法從偏數(shù)學(xué)的角度，根據(jù)矢量的分解合成關(guān)系，列出微分方程，通過求導(dǎo)等數(shù)學(xué)運(yùn)算，確定了剛體恰好離開墻時(shí)的運(yùn)動姿態(tài)。另一種方法分析了在離開墻面的時(shí)刻，其速度及加速度應(yīng)該滿足的物理關(guān)系，結(jié)合剛體的幾何特征，根據(jù)矢量的分解合成關(guān)系，也得到了同樣的結(jié)果，證明在分析剛體運(yùn)動的過程中，數(shù)學(xué)或者物理方法，都是可以得到正確結(jié)論的，數(shù)學(xué)工具固然很重要，但對物體進(jìn)行物理現(xiàn)象分析，既方便又本質(zhì)地揭示了物理過程，也使求解的過程更加鍛煉了物理思維。

二、剛體自由滑落場景

該場景與場景一不同，左側(cè)沒有豎直墻壁倚靠。根據(jù)動量守恒定律，剛體沒有受到水平向右的作用力，則不會獲得向右的速度，于是運(yùn)動終了狀態(tài)質(zhì)心沒有水平位移，即剛體只在豎直方向向下倒下，其過程仍然滿足重力場中的能量守恒，整個(gè)過程只有重力做功。

初始狀態(tài)剛體垂直于光滑水平面，輕輕松開后，剛體在受到微擾后開始偏離豎直方向，之后在重力的作用下，剛體開始向下傾倒，過程之中受到地面向上的反作用力，在任意狀態(tài)并不服從靜力學(xué)平衡，但在該場景中，除重力的外力做功為0，剛體最小系統(tǒng)服從能量守恒定律。

與剛體靠墻滑落不同，因水平方向不受外力，故質(zhì)心速度豎直向下，設(shè)質(zhì)心速度為V0，B點(diǎn)方向水平向右為V1，桿相對于質(zhì)心O的角速度為ω，根據(jù)速度牽連關(guān)系有：

V0cos（90°-α）=V1cosα

B點(diǎn)相對O點(diǎn)的水平速度Vx=V1；Vy=V0

故

ω=[SX（]Vxsinα+Vycosα[][SX（]1[]2[SX）]l[SX）]=2[SX（]V0[]lcosα[SX）]

由能量守恒定律：

mg（1-sinα）[SX（]l[]2[SX）]=[SX（]l[]2[SX）]Jω2+[SX（]1[]2[SX）]mV02

V2=[SX（]3glcosα2（1-sinα）[]3cosα2+1[SX）]

ω2=[SX（]12g（1-sinα）[]（3cosα2+1）l[SX）]

上述的求解過程，與場景一比較類似，還是利用剛體內(nèi)相對位置不變，各點(diǎn)之間的運(yùn)動滿足某種規(guī)律，結(jié)合能量守恒列出方程求解。

三、剛體運(yùn)動軌跡方程

拋開受力分析，對剛體進(jìn)行運(yùn)動學(xué)建模也是很有意義的。以下考慮剛體自由倒伏時(shí)，其運(yùn)動的方程。由于沒有受力分析，運(yùn)動學(xué)的分析較多從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，可以結(jié)合幾何原理，類似于解析幾何的觀點(diǎn)解決問題。在該場景中，研究了剛體上幾個(gè)典型位置的運(yùn)動規(guī)律，通過幾何關(guān)系，可以由此知道整個(gè)剛體的運(yùn)動形式，對運(yùn)動狀態(tài)作數(shù)學(xué)描述，然后根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)果給出解釋。本文討論剛體在自由釋放后，上端的軌跡方程，，下端點(diǎn)由于與上端點(diǎn)存在依存關(guān)系，求解的過程類似，求解的過程主要用到了數(shù)學(xué)方法。

剛體自由傾倒時(shí)，A點(diǎn)與質(zhì)心O點(diǎn)的距離不變，O點(diǎn)則豎直加速向下，于是有如下的運(yùn)動關(guān)系：

（XA-X0）2+（YA-Y0）2=[SX（]l2[]4[SX）]

根據(jù)幾何關(guān)系

Y0=[SX（]1[]2[SX）]YA

聯(lián)立解得：

XA2+[SX（]YA2[]4[SX）]=[SX（]l2[]4[SX）]

四、總結(jié)

數(shù)理方法是數(shù)學(xué)和物理結(jié)合的分析工具，由于對物理現(xiàn)象的描述，通常大量的使用數(shù)學(xué)公式，這些公式大都具有一定的物理意義，即數(shù)學(xué)方程的物理解釋。同時(shí)在分析物理現(xiàn)象的過程中，中間結(jié)論可能也蘊(yùn)含著物理意義，從中洞察物理背景是物理學(xué)中需要的主要能力之一。對物理現(xiàn)象的觀察，從純粹物理學(xué)的角度分析，也是鍛煉物理思維的好方法，將兩種方法結(jié)合起來，有助于我們更加深入的分析物理現(xiàn)象。提高我們的洞察力。

本文設(shè)定了三個(gè)剛體的場景，第一個(gè)場景，相對更復(fù)雜，受力分析來源于兩個(gè)墻面，重力；運(yùn)動被限制在豎直墻面的右側(cè)，通過數(shù)理結(jié)合的方法解決了其力與運(yùn)動的關(guān)系問題。第二個(gè)場景，撤去了豎直墻面，受力分析交場景一簡易，運(yùn)動狀態(tài)也與場景一不同，但分析方法是大致相同的，即剛體的性質(zhì)以及能量守恒，結(jié)合矢量的合成與分解。接著用解析幾何的方法研究了運(yùn)動軌跡問題，通過幾何關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，對結(jié)果進(jìn)行了結(jié)合解釋。通過研究F剛體的力與運(yùn)動，展示了一種一般性的分析剛體力學(xué)的數(shù)理分析方法。

研究剛體的運(yùn)動規(guī)律，需要仔細(xì)分析物理現(xiàn)象，從受力狀態(tài)，能量守恒等物理本質(zhì)出發(fā)，結(jié)合幾何分析，數(shù)學(xué)方程等數(shù)學(xué)方法，結(jié)合兩種方法綜合求解。從分析物理狀態(tài)入手，在動力學(xué)模型中，尋找其內(nèi)在規(guī)律，通過數(shù)學(xué)方法計(jì)算，再用物理學(xué)的分析方法對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行解釋；或者從物理學(xué)的角度出發(fā)，根據(jù)速度，加速度，圓周運(yùn)動等物理現(xiàn)象服從的物理定律入手，更本質(zhì)地揭示物理規(guī)律，此時(shí)數(shù)學(xué)也是很有用的工具，通過本文的分析，可以看出數(shù)理相結(jié)合的思維方法，是分析剛體動力學(xué)的有力工具，也是物理過程建模的重要方法之一，數(shù)學(xué)和物理只是從不同角度，對同一客觀現(xiàn)象的客觀描述。

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