談數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的使用

段恩祥

摘 要：反例就是用來說明某個命題不成立的例子。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，會經(jīng)常遇到很多命題需要判斷它的真假性。對于真命題而言，多少個正確的實(shí)例都抵不過一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。而對于一個假命題，只需要舉出一個不符合的例子即可證明。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力可以解決一個問題，一個恰如其分的反例也可以解決一個問題。在講授過程中，學(xué)生很有可能會因?yàn)閷Ω拍罾斫獠煌?、對定理掌握不夠、對公式記憶模糊、對?shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用不熟練，而出現(xiàn)各種錯誤。通過反例適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，就可能糾正錯誤，并且在教材上例題習(xí)題都是一些正向的實(shí)例，其實(shí)進(jìn)行一些反例的教學(xué)也可以起到加深數(shù)學(xué)概念的理解，對于培養(yǎng)學(xué)生逆向的數(shù)學(xué)思維也有一定的幫助。下面就多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)淺談數(shù)學(xué)反例在教學(xué)中的使用方法。

關(guān)鍵詞：反例；真命題；假命題

一、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的反例

小學(xué)數(shù)學(xué)講授的是最基本的數(shù)學(xué)概念，這時的學(xué)生剛剛接觸有關(guān)的數(shù)學(xué)概念，各方面的接受能力比較弱，教學(xué)也適合大量的正面引導(dǎo)。小學(xué)高年級知識還是以正向講解為主，但是隨著題型逐漸豐富，反例就可以加強(qiáng)理解。

例1：在學(xué)習(xí)完有關(guān)小數(shù)的內(nèi)容后，知道小數(shù)有這樣一個特點(diǎn)，即小數(shù)末尾的0可去可不去，按照題意的需求進(jìn)行選擇。學(xué)生在理解過程中容易出現(xiàn)如下的錯誤，認(rèn)為小數(shù)點(diǎn)后的0都可以去掉，可以舉1.08與1.80進(jìn)行比較，很明顯1.08去掉0變?yōu)?.8，是錯誤的。

二、初中數(shù)學(xué)中的反例

初中數(shù)學(xué)相比小學(xué)數(shù)學(xué)，注重更多的是基礎(chǔ)性的概念和定理，并且重難點(diǎn)清晰明了。加強(qiáng)對基本數(shù)學(xué)概念的透徹理解和公式的靈活應(yīng)用尤其重要。但是在講解概念的過程中，學(xué)生可能會產(chǎn)生偏差，如果在此基礎(chǔ)上舉出一個反例，就可能糾正過來，正確理解概念、公式。

比如學(xué)生往往會存在著一種對知識理所當(dāng)然的理解，例如判斷“兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)”，學(xué)生會認(rèn)為兩個無理數(shù)的和就是無理數(shù)，但是π與-π都是無理數(shù)，但他們的和是0，是有理數(shù)，因此這是一個假命題。這個例子對實(shí)數(shù)的概念和實(shí)數(shù)的基本運(yùn)算都有了進(jìn)一步的掌握。有利于學(xué)生跳出思維定勢。

再如教材中的性質(zhì)定理，就是我們在解題過程中的工具與武器。但在運(yùn)用定理的過程中，容易忽視某些要點(diǎn)，這樣就會得出錯誤的結(jié)論。在學(xué)習(xí)平行線的相關(guān)性質(zhì)之后，知道如果兩條直線平行，可以推出同旁內(nèi)角互補(bǔ)，同位角相等，內(nèi)錯角相等三個結(jié)論，這時就可以提出這樣一個反例，如果兩直線不平行，那么同旁內(nèi)角互補(bǔ)（同位角相等或內(nèi)錯角相等）這個結(jié)論還成立嗎？這時就會明白如果沒有直線平行的前提，結(jié)論是不一定正確的的。恰當(dāng)?shù)脑趯W(xué)習(xí)有關(guān)性質(zhì)定理時提出一個反例，對理解有很大的促進(jìn)作用。有利于靈活應(yīng)用性質(zhì)定理。

例：當(dāng)a何值時，關(guān)于x的二次方程（1-a2）x2-2x+2=0有兩個實(shí)根？

在解這道題的過程中可能會沒有注意到它的前提條件，這個方程是一個二次方程，因此解答過程中可能會出現(xiàn)類似下面錯誤的解答，漏掉條件，只要滿足Δ≥0，也就是4-4×21-a2≥0，解得a≥22或a≤-22。又關(guān)于x的平方項(xiàng)的系數(shù)必須不為0，則1-a2≠0，a≠1且a≠-1.這個例子是從命題中尋找反例的線索。

三、高中數(shù)學(xué)中的反例

相對于小學(xué)、初中，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容多樣化涉及了集合、不等式、函數(shù)、數(shù)列、平面向量等，高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更應(yīng)該應(yīng)用思維能力。對于理解基本數(shù)學(xué)概念和應(yīng)用公式的能力要求更高，其中的性質(zhì)和定理包含更多的要點(diǎn)，更多反例教學(xué)就可以運(yùn)用其中。

例1：在理解相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系時，先講當(dāng)一個變量的取值一定時，與之相對應(yīng)的另一個變量的取值帶有一定的隨機(jī)性，聯(lián)系以前學(xué)習(xí)過的函數(shù)關(guān)系，很多學(xué)生就會認(rèn)為相關(guān)關(guān)系是一種函數(shù)關(guān)系，然后可以舉出這樣一個反例，對“正方形的面積與邊長是相關(guān)關(guān)系”這一命題做出判斷，很明顯，他們不是相關(guān)關(guān)系，因?yàn)楫?dāng)邊長的取值確定時，面積的取值也隨之確定，不具有隨機(jī)性，是很確定的函數(shù)關(guān)系。這就可以進(jìn)一步的理解相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系之間的區(qū)別。有利于加強(qiáng)對概念的理解。

例2：學(xué)習(xí)了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式后，學(xué)生在等比數(shù)列求和中往往直接應(yīng)用公式，而不考慮q是否為1。對此，教師可設(shè)計例題：求和cosα+cos2α+cos3α+……+cosnα，學(xué)生做題中易忽略cosα=0和cosα=1兩種情況。通過教師提醒，讓學(xué)生認(rèn)識到cosα=0時{cosnα}非等比數(shù)列；當(dāng)cosα=1時{cosnα}雖是等比數(shù)列，但q=1時求和不能套用上面公式，這樣舉出反例可以讓學(xué)生求等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時注意分類，使學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)必須仔細(xì)觀察，培養(yǎng)自己的觀察力，提高數(shù)學(xué)思維的敏銳性。

例3：在函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)時，學(xué)生對單調(diào)性概念不易理解，容易出現(xiàn)一些錯誤，可以通過反例教學(xué)使學(xué)生對定義加深理解和認(rèn)識。已知在區(qū)間（-∞，a）∪（a，+∞）上的函數(shù)y=f（x），在區(qū)間（-∞，a）上是減函數(shù)，在區(qū)間（a，+∞）上也是減函數(shù)，問函數(shù)y=f（x）在其定義域上是減函數(shù)嗎？（學(xué)生做此題認(rèn)為該函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)）教師可以通過反例糾正學(xué)生錯誤，深化學(xué)生對單調(diào)性的認(rèn)識。

例4：在求數(shù)列通項(xiàng)公式時，已知數(shù)列2，4，8……求an，一眼看上去會認(rèn)為這是一個等比數(shù)列，于是an=2n。實(shí)際上只給出前三項(xiàng)的數(shù)列，沒有給出他們之間的關(guān)系，是無法判定以后各項(xiàng)是以什么樣的規(guī)律存在的。譬如這個數(shù)列還可以是an=n2-n+2等等。

直接求解所得的整個理解過程不僅可以復(fù)習(xí)鞏固知識點(diǎn)，還可以引領(lǐng)我們學(xué)會深挖知識的要點(diǎn)，學(xué)會全面分析問題的能力。數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)不是相互獨(dú)立的，而是相互關(guān)聯(lián)的，但大部分學(xué)生都只關(guān)注眼前所學(xué)的，不會很好的全面利用知識點(diǎn)分析問題，如果在某一類型題中，提出反例，除了掌握此類題，還可以更好的理解知識的要點(diǎn)，使得整個知識體系更加完善。

四、結(jié)論

反例也是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的途徑，反例除了有以上作用外，還可以起到激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的效果，同時還能夠養(yǎng)成發(fā)展發(fā)散思維的習(xí)慣，有助于完成數(shù)學(xué)教學(xué)。