解析數(shù)學(xué)分類討論思想的實際應(yīng)用

王翔宇

摘 要：介紹了分類討論思想的基本概念，指出其基本原則，包括分類標準明確、分類完整、按需求逐層分類、保持分類簡潔，并據(jù)此論述了分類討論思想的應(yīng)用方法。以求解函數(shù)、概率和數(shù)列的題目作為例子，介紹了在解決數(shù)學(xué)問題時應(yīng)當如何采用該思想。分析了分類討論思想在生活中的指導(dǎo)價值，指出其方法論意義和對邏輯思維鍛煉的有利作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；分類討論；應(yīng)用

一、分類討論思想概述

（一）基本概念

分類討論思想提煉于具體的解題過程。某些數(shù)學(xué)問題的條件不具有唯一性，使得結(jié)論也不具有唯一性，比如說某一函數(shù)表達式含有字母參數(shù)，這些參數(shù)的取值變化會使函數(shù)的性質(zhì)產(chǎn)生差異，這將導(dǎo)致題目有不同的結(jié)論。這時就需要將已知條件按一定的標準進行分類，將一個大問題分割成一個個小問題，先解決被分割出的小問題，再綜合整理小問題的答案，由此確定原題的完整結(jié)論。如是即為分類討論思想的核心內(nèi)涵。

（二）基本原則

在應(yīng)用分類討論思想時有其特定的原則，概括出來有四點：分類標準明確且統(tǒng)一；子問題沒有缺漏和重復(fù)；復(fù)雜問題逐層分類；分類形式力求簡單。為了做出正確的分類，首先分類標準要明確且不能混淆，三角形按內(nèi)角角度分是一種分法，按三邊長度關(guān)系分則又是另外一種不同的分法，如果把鈍角三角形和等邊三角形歸于一類，那么就會顯得混亂，因為此時的分類標準是缺乏一致性的。在確定分類標準后，只有保證子問題既沒有缺漏又沒有重復(fù)，才能保證結(jié)果的正確性，針對一些不確定條件較多的問題，需要多層分類，不同層級的分類之間也應(yīng)保證界限清楚。將問題進行分類是為了解決問題，而很多問題的分類角度不止一種，如何從中選擇最簡潔、最不易出錯的一種，也是分類討論思想中必須考慮的一部分。

（三）應(yīng)用方法

根據(jù)分類討論思想的基本原則，逐點對照，避免出錯，便是分類討論思想的應(yīng)用方法。首先理清問題，確定可供分類的所有依據(jù)，然后保證分類的完備性，在進一步的解題中如果有需要則再做下一層分類，最后檢查解決方法是否簡潔，是否可以優(yōu)化。

二、數(shù)學(xué)題目中的分類討論

（一）求解函數(shù)問題

問題：求解以x作為未知數(shù)的不等式：sx2-（s+2）x+2<0。

這道題中x是需要求解的未知量，而s則作為一個取值待定的已知量。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，s是二次項的系數(shù)，s是否為0決定了該不等式是一次還是二次；當s不為0時，s的正負又決定了不等號左邊的二次函數(shù)的圖像的開口方向；當s的正負劃分好之后，在s>0的情況下，1與2/s的大小關(guān)系又影響了最終結(jié)果的取值區(qū)間，因此，本題一共需做三層劃分。

（1）s=0，不等式化為-2x+2<0，解為：x>1；

（2）s≠0，不等式化為s（x-1）（x-2/s）<0

①s<0，不等式化為（x-1）（x-2/s）>0，解為：x>1或x<2/s；

②s>0，不等式化為（x-1）（x-2/s）<0；

i：0ii：s=2，不等式無解；

iii：s>2，解為2/s