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    關(guān)于一種函數(shù)最值的解法以及數(shù)學(xué)思想

    2017-05-27 19:58:18林逸彬
    魅力中國 2016年38期
    關(guān)鍵詞:原式移項(xiàng)判別式

    林逸彬

    函數(shù)最值問題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要問題,其作用不僅在于問題的解決,而且可以讓學(xué)生最函數(shù)的性質(zhì)有更深刻的認(rèn)識,是高考考察的重點(diǎn)內(nèi)容,諸如三角函數(shù)、線性規(guī)劃等方面均有涉及。

    在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,學(xué)生往往會遇到各種形式的最值問題。最值問題的解決方法有很多,例如數(shù)形結(jié)合、向量法、基本不等式法等……而形如或者的函數(shù)最值問題是學(xué)生會遇到的一個(gè)難點(diǎn)。本篇本章講分享這種函數(shù)最值問題的三種解法,并分析其背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

    在這里先討論的函數(shù)最值,其中a,b,c,d,e都為常數(shù),dx+e>0且不妨設(shè)a>0,d>0。

    第一種解法為構(gòu)造基本不等式法。具體的方法是將分子與分母相聯(lián)系起來,設(shè)ax?+bx+c=k1(dx+e)2+k2(dx+e)+k3,通過解出待定參數(shù)k1、k2和k3,再將上式代入,把原式化為k1(dx+e)++k2,在k1、k3都為正數(shù)的情況,可以用基本不等式算出該式的最小值,即為函數(shù)的最小值。以“求的最小值”為例:設(shè)x?+4x+8=k1(2x+1)2+k_2(2x+1)+k3,得k1=、k2=和k3=,再將其代入原式,模仿上文的步驟,由基本不等式得原式≥4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2或者x=﹣3時(shí)等號成立,再結(jié)合2x+1>0可知當(dāng)x=2時(shí)原式有最小值,最小值為4。

    事實(shí)上這種解法用到了高中所學(xué)習(xí)的基本不等式的知識,以及構(gòu)造基本不等式的方法,將最值與基本不等式聯(lián)系起來,是一種應(yīng)用廣泛的解題技巧。而且本題在構(gòu)造基本不等式的過程事實(shí)上用到了待定系數(shù)法,也是高中數(shù)學(xué)的一種解題技巧。當(dāng)然在此過程中要注意一些細(xì)節(jié),如等號成立的充要條件等。

    第二種解法為根的判別式法。其具體的步驟是:令=k,由于該方程有解,所以進(jìn)行移項(xiàng),合并同類項(xiàng),可知方程ax?+(b-kd)x+c-ke=0也是有解的。根據(jù)根的判別式,在這個(gè)二次方程中,?≥0,在a,b,c,d給定的情況下,可以解出k的取值范圍,進(jìn)一步知道k的最小值,即為函數(shù)的最小值。還是用上文的例子,用根的判別式法來求最小值:設(shè)=k,移項(xiàng),合并同類項(xiàng),得x?+(4-2k)x+8-k=0。由于這個(gè)方程有解,所以?=(4-2k)2-4(8-k)≥0,解得k≤-1或k≥4,由于2x+1>0,x?+4x+8>0,所以k>0,所以k≤-1不合題意,舍去。所以k≥4,即k的最小值為4,所以原式的最小值為4。

    這種方法事實(shí)上是用到了函數(shù)與方程的思想,將函數(shù)=k有解轉(zhuǎn)化為二次方程有解,再由二次函數(shù)根與系數(shù)的判別式可以知道?≥0,再進(jìn)一步求出k的取值范圍。這需要學(xué)生將函數(shù)與方程有一定的認(rèn)識,并很好地結(jié)合起來應(yīng)用。

    第三種解法為求導(dǎo)法。具體的解題步驟為:對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù)等于0求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),再由導(dǎo)函數(shù)的圖像分析原函數(shù)在區(qū)間的單挑性,從而分析出y的最小值。例如,令y= ,對y進(jìn)行求導(dǎo),可知當(dāng)x∈(-∞,-3),y'>0,y單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(-3,2)時(shí),y'<0,y單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),y'>0,y單調(diào)遞增。結(jié)合2x+1>0可知x>,所以當(dāng)x=2時(shí),原函數(shù)有最小值。令x=2,得y=4,所以原函數(shù)的最小值為4。

    這種方法實(shí)際上是導(dǎo)數(shù)運(yùn)用的典型例子。把要求某個(gè)函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間的最低點(diǎn),通過求導(dǎo)的方式求出函數(shù)的單調(diào)遞增遞減性,進(jìn)而分析出函數(shù)的最低點(diǎn),再求出函數(shù)的最值。這種用導(dǎo)數(shù)來分析最值的方法,不僅可以應(yīng)用在這種分式型的最值問題,對于許多函數(shù)最值問題都是最基礎(chǔ)、應(yīng)用最廣泛的方法,只是求解過程、計(jì)算量等方面相對簡單或復(fù)雜而已。

    分析完型的最值問題后,的最值問題也就迎刃而解了。如求后者的最大值,只需要求出前者的最小正值t,就可以得到后者的最大值為1/t。

    我們回過頭來看一下剛才解決函數(shù)最值問題的三種方法——基本不等式法、根的判別式法、求導(dǎo)法。

    對于基本不等式法來說,很多學(xué)生在學(xué)習(xí)基本不等式時(shí),只知道基本不等式的公式,但在實(shí)際題目的運(yùn)用中卻常常遇到瓶頸,主要表現(xiàn)在不知道如何構(gòu)造基本不等式的形式。除了上文基本不等式的構(gòu)造方法外,如“已知a+b=1,求+的最小值”,用到的方法是利用a+b=1,將其與原式相乘,再用乘法分配律即可得到基本不等式的形式。類似的關(guān)于不等式構(gòu)造的題目還有很多,學(xué)生可以舉一反三。

    對于根的判別式法來說,其主要應(yīng)用的是方程解的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系,這在高中數(shù)學(xué)人教版必修一第三章有所涉及。上文通過移項(xiàng),把方程的解的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點(diǎn)問題,是題目的一個(gè)特殊解法,也是學(xué)生在面對最高項(xiàng)系數(shù)為2的方程時(shí)可以考慮的一個(gè)解法。

    對于求導(dǎo)法,主要是考察學(xué)生對函數(shù)本身的理解程度。應(yīng)用好求導(dǎo)法,除了學(xué)生本身要掌握好求導(dǎo)法則以外,還要善于分析導(dǎo)數(shù)問題。對于等號兩邊分別是兩個(gè)函數(shù)的方程的解的個(gè)數(shù),一般來說有兩種思路:一是直接判斷兩函數(shù)的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù),這建立在兩個(gè)函數(shù)圖像都可以簡便地畫出來的基礎(chǔ)上;二是通過移項(xiàng),使得等號的一邊是關(guān)于自變量x的函數(shù)f(x),另一邊是0,從而把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),既可以通過f(x)自身的特殊性質(zhì)(如上文f(x)是一個(gè)二次函數(shù),可用根的判別式判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)),也可以通過求導(dǎo)(也就是上文提到的求導(dǎo)法),分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性,進(jìn)一步判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)。兩種思路,第一種具有簡便性,第二種具有一般性。

    函數(shù)最值問題,作為高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn),需要我們不斷探究,挖掘其背后的數(shù)學(xué)思想,掌握其本質(zhì),方能百戰(zhàn)不殆!

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