數(shù)學(xué)思想方法在有理數(shù)中的體現(xiàn)與應(yīng)用

羅正剛

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C 文章編號(hào)：1672-1578（2017）05-0107-01

數(shù)學(xué)思想方法是人們對數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的深刻認(rèn)識(shí)，它是指導(dǎo)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，解決數(shù)學(xué)問題的思維方式、觀點(diǎn)、策略和指導(dǎo)原則。它具有導(dǎo)向性、統(tǒng)攝性、遷移性的特點(diǎn)，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)。有理數(shù)是整個(gè)代數(shù)的基礎(chǔ)，有理數(shù)的運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算，它所蘊(yùn)涵的豐富內(nèi)容深刻地反映了中學(xué)階段許多重要基本數(shù)學(xué)思想方法。

下面，本文就結(jié)合《全日制數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“有理數(shù)”的有關(guān)內(nèi)容談?wù)剶?shù)學(xué)思想方法在教學(xué)的運(yùn)用。

1 數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)形結(jié)合”是把比較抽象的代數(shù)問題與適當(dāng)?shù)膱D形結(jié)合起來借助形象思維去認(rèn)識(shí)、處理問題的一種思想方法。

“數(shù)無形、少直觀，形無數(shù)，難入微”，利用數(shù)形結(jié)合，可以將問題化難為易，化繁為簡，便于學(xué)生直觀理解，并提高形象思維能力。

數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)就是最簡的數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，它對于學(xué)生理解有理數(shù)的相反數(shù)概念、經(jīng)驗(yàn)值概念，有理數(shù)大小的比較，以及有理數(shù)的加法，有理數(shù)的乘法等都有重要的幫助。

例如：“只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)”。若學(xué)生從形式上強(qiáng)行記憶概念，很難真正理解何為相反數(shù)?，F(xiàn)在運(yùn)用數(shù)軸（如圖），在數(shù)軸上畫出-3與3、-1.5與1.5所有對應(yīng)的點(diǎn)，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察這些點(diǎn)所在的位置特征，可以看到，表示為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，分別位于原點(diǎn)的兩旁，且它們離原點(diǎn)的距離相等，這樣學(xué)生就有了形象的認(rèn)識(shí)，且它們離原點(diǎn)的距離相等，這樣學(xué)生就有了形象的認(rèn)識(shí)，不難理解了。這種由數(shù)想形、以形助數(shù)的方法不僅能提高學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力，還能提高學(xué)生的遷移思維能力。

2 化歸思想

所謂“化歸”就是將所要解決的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為另一個(gè)較易解決的簡單問題或已經(jīng)解決的問題。具體地說，就是把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”，把“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)就容易理解和掌握了。

有理樓的知識(shí)上有許多地方都蘊(yùn)藏著“化歸”的思想。而在有理數(shù)運(yùn)算中體現(xiàn)的最為突出。有理數(shù)的運(yùn)算都是先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對值，在符號(hào)確定以后，絕對值的計(jì)算實(shí)際上就是小學(xué)所學(xué)過的數(shù)的運(yùn)算問題。

例如：計(jì)算：① -10+（-3）， ② -10-（-7）， ③ （-3）÷1/2

解：① -10+（-3）

=-（10+3）（有理數(shù)加法轉(zhuǎn)化小學(xué)所學(xué)的加法）

② -10-（-7）

=-10+7（有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)加法）

=-（10-7）（有理數(shù)加法轉(zhuǎn)化為小學(xué)所學(xué)的運(yùn)算）

③ （-3）÷1/2

=（-3）×2（有理數(shù)除法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘法）

=-（3×2）（有理數(shù)乘法轉(zhuǎn)化小學(xué)所學(xué)乘法）

可見，數(shù)學(xué)中利用化歸思想方法，可以另辟蹊徑，解決新問題，獲得新知識(shí)。教師若能在此章教學(xué)中，不失時(shí)機(jī)地對學(xué)生加以啟迪強(qiáng)化其化歸思維意識(shí)，那么在今后學(xué)習(xí)代數(shù)式的運(yùn)算、解方程、函數(shù)變形等知識(shí)時(shí)，運(yùn)用化歸思想會(huì)更加意識(shí)化。

3 分類思想

分類思想是一種邏輯劃分，它把數(shù)學(xué)對象劃分為不同的情形，分別進(jìn)行研究，它是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段。由于很多數(shù)學(xué)問題存在一些“不確定因素”，很難用“統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)”去解決，因此，必須把數(shù)學(xué)問題劃分成“塊”，然后針對不同的“塊”采取相應(yīng)的解決辦法?？梢哉f，分類討論的策略是“化整為零”，各個(gè)擊破。

在文章中對相反數(shù)、絕對值的概念都是運(yùn)用了。分類討論的思想方法研究的。

例如，有理數(shù)的絕對值概念是從正數(shù)、負(fù)數(shù)、零三個(gè)方面討論。

（1）一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身。

（2）一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。

（3）0的絕對值是0。即 a= a a>0 0 a=0-a a<0

分類討論思想不僅運(yùn)用在本章的概念中，而且還多次運(yùn)用在有理數(shù)的運(yùn)算中。

例如，有理數(shù)的加法法則就是通過四種情形的討論而概括出來的。

①同號(hào)兩數(shù)相加，結(jié)果取相同的符號(hào)，并把絕對值相加（這里的同號(hào)又分為兩加數(shù)同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)的情形）。

②絕對值不等的異號(hào)兩數(shù)相加，結(jié)果取絕對值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

③絕對值相等的異號(hào)兩數(shù)相加（即互為相反數(shù)的兩數(shù)相加）結(jié)果為0。

④任何一個(gè)有理數(shù)與0相加結(jié)果仍得這個(gè)數(shù)。

另外，有理數(shù)的乘法、除法及乘方法則都是運(yùn)用分類討論思想概括的。

由以上可以看到，數(shù)學(xué)思想方法在有理數(shù)中有了一些體現(xiàn)，這就要求我們以此為效載體加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)。在教學(xué)中筆者體會(huì)到：在數(shù)學(xué)教學(xué)中有目的滲透教學(xué)思想方法并讓學(xué)生逐步領(lǐng)悟、掌握和學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生便可本質(zhì)地學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)。