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    離心率的幾何意義

    2017-05-27 14:26:10陸建根??
    關鍵詞:高中數(shù)學

    陸建根??

    摘 要:離心率是圓錐曲線的一個重要性質,橢圓和雙曲線的離心率用e=2c2a來定義,對橢圓來說,離心率反映橢圓的扁平程度,對雙曲線來說,離心率反映雙曲線漸近線的開口程度。根據(jù)圓錐曲線的第二定義,離心率e還可以統(tǒng)一表示為圓錐曲線上的點到焦點的距離與到相應準線的距離之比。實際上,圓錐曲線的離心率除上述幾何意義外,還有很多其它的幾何意義,還有一些統(tǒng)一的幾何解釋。

    關鍵詞:高中數(shù)學;離心率;幾何意義

    中圖分類號:G633.6 文獻標識碼:A 文章編號:1992-7711(2016)24-116-2

    性質1 過圓錐曲線:x2a2+y2b2=1,x2a2-y2b2=1,y2=2px通徑的端點P作傾斜角互補的弦PE、PF,則直線EF的斜率等于圓錐曲線的離心率或離心率的相反數(shù)。

    證明:(1)橢圓x2a2+y2b2=1,不妨設P(c,b2a),設PE斜率k,則PF的斜率為-k,

    由x2a2+y2b2=1y-b2a=k(x-c),得(k2a2+b2)x2+(2kab2-2k2a2c)x+a2(b2a-kc)2-a2b2=0,

    xP+xE=-2kab2-2k2a2ck2a2+b2,而xP=c,

    ∴xE=-2kab2+k2a2c-b2ck2a2+b2,yE=kxE-kc+b2a,

    將k換成-k得,∴xF=2kab2+k2a2c-b2ck2a2+b2,yF=-kxF+kc+b2a,

    ∴kEF=yE-yFxE-xF=k(xE+xF)-2kcxE-xF=k·2k2a2c-2b2ck2a2+b2-2kc-4kab2k2a2+b2=ca=e。

    證明:(2)雙曲線x2a2-y2b2=1,不妨設P(c,b2a),設PE斜率k,則PF的斜率為-k,

    由x2a2-y2b2=1y-b2a=k(x-c),得(b2-k2a2)x2-(2kab2-2k2a2c)x+a2(b2a-kc)2-a2b2=0,

    xP+xE=2kab2-2k2a2cb2-k2a2,又xP=c,

    ∴xE=2kab2-k2a2c-b2cb2-k2a2,∴yE=kxE+b2a-kc,

    將k換成-k得,∴xF=-2kab2-k2a2c-b2cb2-k2a2,yF=-kxF+b2a+kc,

    ∴kEF=yE-yFxE-xF=k(xE+xF)-2kcxE-xF=k·-2k2a2c-2b2cb2-k2a2-2kc4kab2b2-k2a2=-ca=-e。

    證明:(3)設拋物線y2=2px,不妨設P(p2,p),設PE斜率k,則PF的斜率為-k,

    由y2=2pxy-b2a=k(x-c),得y2-2pky+2p2k-p2=0,

    yP+yE=2pk,∴yE=2pk-p,xE=yEk-pk+p2,

    將k換成-k得,yF=2p-k-p,xF=yF-k+pk+p2,

    ∴kEF=yE-yFxE-xF=yE-yFyE+yFk-2pk=4pk1k(-2p)-2pk=-1。

    我們知道圓錐曲線中e為離心率,是圓錐曲線上的點到焦點的距離與到相應準線的距離之比,那么e2有沒有幾何意義?如果有,那么e2具體的幾何意義又是什么呢?

    性質2 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上兩個動點A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1≠x2,x1+x2=2x0(x0為常數(shù)),則線段AB的垂直平分線過定點C(e2x0,0)。

    證明:設AB中點的縱坐標為y0。

    當x0=0或y0=0時,顯然成立。

    當x0≠0且y0≠0時,

    由條件得x21a2+y21b2=1,x22a2+y22b2=1,

    ∴(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,

    即(y1+y2)(y1-y2)(x1+x2)(x1-x2)=-b2a2,

    則y0x0·y1-y2x1-x2=-b2a2,∴kAB=-b2a2·x0y0。

    則線段AB的垂直平分線的方程為y-y0=a2y0b2x0(x-x0),

    令y=0,得x=c2a2x0=e2x0。

    ∴線段AB的垂直平分線過定點C(e2x0,0)。

    特別地,當A,B兩點重合,即A,B成為橢圓的切線時,切點設為M(x0,y0)。當x0≠0,y0≠0時,切線方程為xx0a2+yy0b2=1,切線斜率為-b2x0a2y0,所以該切線在點M處的法線的斜率為a2y0b2x0,法線方程為:y-y0=a2y0b2x0(x-x0),令y=0,得x=c2a2x0=e2x0,即切線AB在點M處的法線也經(jīng)過點(e2x0,0)。當x0=0或y0=0時,顯然也成立。

    性質3 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上兩個動點,A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1≠x2,x1+x2=2x0(x0為常數(shù)),則線段AB的垂直平分線過定點C(e2x0,0)。

    證明:設AB中點的縱坐標為y0。

    當x0=0或y0=0時,顯然成立。

    當x0≠0且y0≠0時,

    由條件得x21a2-y21b2=1,x22a2-y22b2=1,

    ∴(x1+x2)(x1-x2)a2-(y1+y2)(y1-y2)b2=0,

    即(y1+y2)(y1-y2)(x1+x2)(x1-x2)=b2a2,

    則y0x0·y1-y2x1-x2=b2a2,∴kAB=b2a2·x0y0,

    則線段AB的垂直平分線的方程為y-y0=-a2y0b2x0(x-x0),

    令y=0,得x=c2a2x0=e2x0。

    ∴線段AB的垂直平分線過定點C(e2x0,0)。

    特別地,當A,B兩點重合,即A,B成為雙曲線的切線時,切點設為M(x0,y0)。當x0≠0,y0≠0時,切線方程為xx0a2-yy0b2=1,切線斜率為b2x0a2y0,所以該切線在點M處的法線的斜率為-a2y0b2x0,法線方程為:y-y0=-a2y0b2x0(x-x0),令y=0,得x=c2a2x0=e2x0,即切線AB在點M處的法線也經(jīng)過點(e2x0,0)。當x0=0或y0=0時,顯然也成立。

    性質4 對焦點在x軸上、中心在原點的橢圓、雙曲線,e2是弦AB的中垂線(AB不平行與x軸)與x軸交點的橫坐標與AB中點橫坐標的比值,特別地,當AB與橢圓或雙曲線相切時,切點為M(M不在y軸上),則e2為點M處的法線與x軸交點的橫坐標與M點橫坐標的比值。

    性質5 過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的準線與長軸所在直線的交點K作橢圓的切線,切點為A,則切點A在長軸上的投影恰為橢圓的焦點F,且切線斜率正切值的平方等于橢圓的離心率平方。

    證明:設橢圓C:x2a2+y2b2=1的左焦點為F,左準線l′與x軸交與K(-a2c,0),左焦點為F(-c,0),

    過K的直線切橢圓于A(x0,y0),考慮橢圓上半部分,得y=baa2-x2,求導數(shù)得y′=-ba·xa2-x2,由題意得

    y0x0+a2c=-ba·x0a2-x20,將y0=baa2-x20代入整理得x0=-c,y0=b2a,所以tan∠AKF=b2a-c+a2c=ca=e,∴k2=e2。所以切點A在長軸上的投影恰為橢圓的焦點F切線斜率正切值的平方等于橢圓的離心率平方。

    同理可得以下性質:

    性質6 過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的準線與實軸所在直線的交點K作雙曲線的切線,切點為A,則切點A在實軸上的投影恰為雙曲線的焦點F,且切線斜率正切值的平方等于雙曲線的離心率平方。

    性質7 過拋物線y2=2px的準線與對稱軸軸所在直線的交點K作拋物線的切線,切點為A,則切點A在對稱軸上的投影恰為拋物線的焦點F,且切線斜率正切值的平方等于拋物線的離心率平方。

    以上性質可以作為課堂教學的拓展或者研究性學習的素材,引導學生自己去研究、整理,也可以作為教師命題的材料,只要對以上性質給具體賦值,都可以作為試題加以應用。

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