離心率的幾何意義

陸建根??

摘 要：離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要性質(zhì)，橢圓和雙曲線的離心率用e=2c2a來(lái)定義，對(duì)橢圓來(lái)說(shuō)，離心率反映橢圓的扁平程度，對(duì)雙曲線來(lái)說(shuō)，離心率反映雙曲線漸近線的開(kāi)口程度。根據(jù)圓錐曲線的第二定義，離心率e還可以統(tǒng)一表示為圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比。實(shí)際上，圓錐曲線的離心率除上述幾何意義外，還有很多其它的幾何意義，還有一些統(tǒng)一的幾何解釋。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；離心率；幾何意義

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）24-116-2

性質(zhì)1 過(guò)圓錐曲線：x2a2+y2b2=1，x2a2-y2b2=1，y2=2px通徑的端點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的弦PE、PF，則直線EF的斜率等于圓錐曲線的離心率或離心率的相反數(shù)。

證明：（1）橢圓x2a2+y2b2=1，不妨設(shè)P（c，b2a），設(shè)PE斜率k，則PF的斜率為-k，

由x2a2+y2b2=1y-b2a=k（x-c），得（k2a2+b2）x2+（2kab2-2k2a2c）x+a2（b2a-kc）2-a2b2=0，

xP+xE=-2kab2-2k2a2ck2a2+b2，而xP=c，

∴xE=-2kab2+k2a2c-b2ck2a2+b2，yE=kxE-kc+b2a，

將k換成-k得，∴xF=2kab2+k2a2c-b2ck2a2+b2，yF=-kxF+kc+b2a，

∴kEF=yE-yFxE-xF=k（xE+xF）-2kcxE-xF=k·2k2a2c-2b2ck2a2+b2-2kc-4kab2k2a2+b2=ca=e。

證明：（2）雙曲線x2a2-y2b2=1，不妨設(shè)P（c，b2a），設(shè)PE斜率k，則PF的斜率為-k，

由x2a2-y2b2=1y-b2a=k（x-c），得（b2-k2a2）x2-（2kab2-2k2a2c）x+a2（b2a-kc）2-a2b2=0，

xP+xE=2kab2-2k2a2cb2-k2a2，又xP=c，

∴xE=2kab2-k2a2c-b2cb2-k2a2，∴yE=kxE+b2a-kc，

將k換成-k得，∴xF=-2kab2-k2a2c-b2cb2-k2a2，yF=-kxF+b2a+kc，

∴kEF=yE-yFxE-xF=k（xE+xF）-2kcxE-xF=k·-2k2a2c-2b2cb2-k2a2-2kc4kab2b2-k2a2=-ca=-e。

證明：（3）設(shè)拋物線y2=2px，不妨設(shè)P（p2，p），設(shè)PE斜率k，則PF的斜率為-k，

由y2=2pxy-b2a=k（x-c），得y2-2pky+2p2k-p2=0，

yP+yE=2pk，∴yE=2pk-p，xE=yEk-pk+p2，

將k換成-k得，yF=2p-k-p，xF=yF-k+pk+p2，

∴kEF=yE-yFxE-xF=yE-yFyE+yFk-2pk=4pk1k（-2p）-2pk=-1。

我們知道圓錐曲線中e為離心率，是圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比，那么e2有沒(méi)有幾何意義？如果有，那么e2具體的幾何意義又是什么呢？

性質(zhì)2 已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1≠x2，x1+x2=2x0（x0為常數(shù)），則線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)C（e2x0，0）。

證明：設(shè)AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0。

當(dāng)x0=0或y0=0時(shí)，顯然成立。

當(dāng)x0≠0且y0≠0時(shí)，

由條件得x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，

∴（x1+x2）（x1-x2）a2+（y1+y2）（y1-y2）b2=0，

即（y1+y2）（y1-y2）（x1+x2）（x1-x2）=-b2a2，

則y0x0·y1-y2x1-x2=-b2a2，∴kAB=-b2a2·x0y0。

則線段AB的垂直平分線的方程為y-y0=a2y0b2x0（x-x0），

令y=0，得x=c2a2x0=e2x0。

∴線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)C（e2x0，0）。

特別地，當(dāng)A，B兩點(diǎn)重合，即A，B成為橢圓的切線時(shí)，切點(diǎn)設(shè)為M（x0，y0）。當(dāng)x0≠0，y0≠0時(shí)，切線方程為xx0a2+yy0b2=1，切線斜率為-b2x0a2y0，所以該切線在點(diǎn)M處的法線的斜率為a2y0b2x0，法線方程為：y-y0=a2y0b2x0（x-x0），令y=0，得x=c2a2x0=e2x0，即切線AB在點(diǎn)M處的法線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)（e2x0，0）。當(dāng)x0=0或y0=0時(shí)，顯然也成立。

性質(zhì)3 已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1≠x2，x1+x2=2x0（x0為常數(shù)），則線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)C（e2x0，0）。

證明：設(shè)AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0。

當(dāng)x0=0或y0=0時(shí)，顯然成立。

當(dāng)x0≠0且y0≠0時(shí)，

由條件得x21a2-y21b2=1，x22a2-y22b2=1，

∴（x1+x2）（x1-x2）a2-（y1+y2）（y1-y2）b2=0，

即（y1+y2）（y1-y2）（x1+x2）（x1-x2）=b2a2，

則y0x0·y1-y2x1-x2=b2a2，∴kAB=b2a2·x0y0，

則線段AB的垂直平分線的方程為y-y0=-a2y0b2x0（x-x0），

令y=0，得x=c2a2x0=e2x0。

∴線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)C（e2x0，0）。

特別地，當(dāng)A，B兩點(diǎn)重合，即A，B成為雙曲線的切線時(shí)，切點(diǎn)設(shè)為M（x0，y0）。當(dāng)x0≠0，y0≠0時(shí)，切線方程為xx0a2-yy0b2=1，切線斜率為b2x0a2y0，所以該切線在點(diǎn)M處的法線的斜率為-a2y0b2x0，法線方程為：y-y0=-a2y0b2x0（x-x0），令y=0，得x=c2a2x0=e2x0，即切線AB在點(diǎn)M處的法線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)（e2x0，0）。當(dāng)x0=0或y0=0時(shí)，顯然也成立。

性質(zhì)4 對(duì)焦點(diǎn)在x軸上、中心在原點(diǎn)的橢圓、雙曲線，e2是弦AB的中垂線（AB不平行與x軸）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)的比值，特別地，當(dāng)AB與橢圓或雙曲線相切時(shí)，切點(diǎn)為M（M不在y軸上），則e2為點(diǎn)M處的法線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與M點(diǎn)橫坐標(biāo)的比值。

性質(zhì)5 過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的準(zhǔn)線與長(zhǎng)軸所在直線的交點(diǎn)K作橢圓的切線，切點(diǎn)為A，則切點(diǎn)A在長(zhǎng)軸上的投影恰為橢圓的焦點(diǎn)F，且切線斜率正切值的平方等于橢圓的離心率平方。

證明：設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1的左焦點(diǎn)為F，左準(zhǔn)線l′與x軸交與K（-a2c，0），左焦點(diǎn)為F（-c，0），

過(guò)K的直線切橢圓于A（x0，y0），考慮橢圓上半部分，得y=baa2-x2，求導(dǎo)數(shù)得y′=-ba·xa2-x2，由題意得

y0x0+a2c=-ba·x0a2-x20，將y0=baa2-x20代入整理得x0=-c，y0=b2a，所以tan∠AKF=b2a-c+a2c=ca=e，∴k2=e2。所以切點(diǎn)A在長(zhǎng)軸上的投影恰為橢圓的焦點(diǎn)F切線斜率正切值的平方等于橢圓的離心率平方。

同理可得以下性質(zhì)：

性質(zhì)6 過(guò)雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的準(zhǔn)線與實(shí)軸所在直線的交點(diǎn)K作雙曲線的切線，切點(diǎn)為A，則切點(diǎn)A在實(shí)軸上的投影恰為雙曲線的焦點(diǎn)F，且切線斜率正切值的平方等于雙曲線的離心率平方。

性質(zhì)7 過(guò)拋物線y2=2px的準(zhǔn)線與對(duì)稱(chēng)軸軸所在直線的交點(diǎn)K作拋物線的切線，切點(diǎn)為A，則切點(diǎn)A在對(duì)稱(chēng)軸上的投影恰為拋物線的焦點(diǎn)F，且切線斜率正切值的平方等于拋物線的離心率平方。

以上性質(zhì)可以作為課堂教學(xué)的拓展或者研究性學(xué)習(xí)的素材，引導(dǎo)學(xué)生自己去研究、整理，也可以作為教師命題的材料，只要對(duì)以上性質(zhì)給具體賦值，都可以作為試題加以應(yīng)用。