最短路徑問題研究

唐娟娟

中圖分類號：G633.7文獻標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2017）05-0179-01

最短路徑問題來源于現(xiàn)實生活，初中階段，主要以"兩點之間，線段最短""垂線段最短"為知識基礎(chǔ)，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進行研究。

本節(jié)課以實際生活問題為載體開展對"最短路徑問題"的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用軸對稱再把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題，并運用"兩點之間線段最短"（或"三角形兩邊之和大于第三邊"）解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化的過程和轉(zhuǎn)化思想。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題，也即"兩點之間，線段最短"問題。能運用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用。

達成目標(biāo)的標(biāo)志是：學(xué)生能將實際問題中的"地點""燃氣管道""河"等抽象為數(shù)學(xué)中的"點""線"，并能理解實際問題的數(shù)學(xué)含義，把實際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題；能利用軸對稱將直線同側(cè)的點轉(zhuǎn)化到直線直線異側(cè)，運用"兩點之間，線段最短"解決路徑最短問題；在探索最短路徑的過程中，體會軸對稱的"橋梁"作用，感悟轉(zhuǎn)化思想。

解答"當(dāng)點A、B在直線l的同側(cè)時，如何在直線l上找到點C，使AC與CB的和最小"，需要將其轉(zhuǎn)化為"在直線l異側(cè)兩點的線段和最小值問題"，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化、怎樣通過軸對稱實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學(xué)生在理解和操作上存在困難。

活動1如圖，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你的理由是什么？

追問，為什么這樣做就能得到最短距離呢？你如何驗證CA+CB最短呢？

設(shè)計意圖：學(xué)生根據(jù)"兩點之間，線段最短"解決兩點在直線異側(cè)的問題，為下面解決兩點在直線同側(cè)問題做鋪墊。

活動2還是上面的問題，若此時A、B兩鎮(zhèn)位于輸氣管道的同側(cè)如圖所示，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

追問1，你能用所學(xué)的知識證明此時AC+BC是最小的嗎？

追問2，對比下活動一，你能找到兩個問題的相同點與不同點嗎？你有什么啟示？

設(shè)計意圖：學(xué)生比較兩種不同的最短路徑問題，總結(jié)解決兩種最短路徑問題的方法，體會轉(zhuǎn)化的思想。

這兩個例題取材于我們的實際生活，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運用于生活。此處我們遇到的一個難點是如何證明AC+BC最小，學(xué)生小組間討論得出在l上任取異于C點的點，再根據(jù)"三角形任意兩邊之和大于第三邊"來進行證明。

感悟探究1、如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地。牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

2、如圖所示，M、N是△ABC邊AB與AC上兩點，在BC邊上求作一點P，使△PMN的周長最小。

3、如圖，已知牧馬營地在P處，每天牧馬人要從營地出發(fā)趕著馬群先到河邊飲水，再帶到草地吃草，然后回到營地，請你替牧馬人設(shè)計出最短的放牧路線。

4、如圖，已知牧馬營地在P處，牧馬人從A地出發(fā)要趕著馬群先到河邊飲水，再帶到草地吃草，然后回到營地，請你替牧馬人設(shè)計出最短的放牧路線。

本節(jié)課的講授，我們以輸氣管道問題為主線貫穿始終，做了兩類變形，即"兩點在直線異側(cè)"和"兩點在直線同側(cè)"的最短路徑問題，以前者為基礎(chǔ)和鋪墊解決了后者問題，并進一步解決了課本例題。在練習(xí)設(shè)置上，從鞏固到變式，從直接的最短路徑問題到需要用相同方法解決的問題，從單純的數(shù)學(xué)問題到實際生活的情景，從"兩點一線"問題進一步到"一點兩線"、"兩點兩線"問題，如此不斷的變化鞏固，不斷的拓展發(fā)散，使得學(xué)生的思維真正得到激發(fā)。