分類討論法在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

常松

【摘 要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論方法是一種重要的解題思路。這種方法需要學(xué)生能夠從題目整體出發(fā)，全面把握，分步驟、有秩序地解題，逐一考慮題目中的隱藏條件。作為高中數(shù)學(xué)的重要解題思想之一，了解分類討論的意義，掌握其討論方法，對(duì)高中生的解題速度及解題效率的提升將有很大幫助。

【關(guān)鍵詞】分類討論；高中數(shù)學(xué)；解題

分類討論是指問題的研究與解決過程中，所給的對(duì)象難以用統(tǒng)一的方法來研究，必須將問題劃為幾個(gè)部分，并分別研究每個(gè)部分，最終解決整個(gè)問題。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與問題解決等過程中，數(shù)學(xué)方法是相關(guān)研究活動(dòng)的運(yùn)用步驟、程序、格式，有著具體的操作性。分類討論是一種思維方式，深刻反映了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)與處理能力。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論一直都是一種重要的數(shù)學(xué)方法，而且也是高考經(jīng)常考查的。因此，學(xué)生必須要學(xué)會(huì)用分類討論來解決數(shù)學(xué)問題。

一、分類討論的必要性

作為高中重要的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生應(yīng)該深入了解分類討論解題方法的學(xué)習(xí)必要性，它主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：一是對(duì)分類討論的原因要明確。學(xué)生解題中必須針對(duì)問題明確是不是應(yīng)該使用分類討論，如何進(jìn)行分類討論，這才是正確的解題想法。大多數(shù)情況中，分類討論的運(yùn)用是因?yàn)轭}中的一些概念、定理應(yīng)用范圍較窄。比如，如果函數(shù)是不連續(xù)定義域，那么要想求得其值域，就應(yīng)該分類討論各定義域。二是充分掌握分類討論法。要想高效解題，學(xué)生的解題能力則是必須具備的，要能夠?qū)Ψ诸愑懻摲ㄊ炀氝\(yùn)用。并且，分類討論的使用要正確，則應(yīng)該有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，力圖不遺漏任何一點(diǎn)。如果出現(xiàn)了至少兩種以上的分類討論對(duì)象時(shí)，則應(yīng)該分層次討論，以保證最終的討論結(jié)果不存在錯(cuò)誤。三是整合分類討論結(jié)果。當(dāng)分類討論完成時(shí)，就應(yīng)整合結(jié)論，將重復(fù)的部分去掉，整合交叉部分。但是，不能為使用分類討論而使用分類討論，如果能使用整體法解題，則不用進(jìn)行分類討論。

二、分類討論思想的應(yīng)用

分類討論是當(dāng)題目中出現(xiàn)多個(gè)隱含條件，單一解法難以對(duì)題目進(jìn)行全面把握的情況下，要分別進(jìn)行解答，根據(jù)一定步驟實(shí)施討論，從而在問題分解的基礎(chǔ)上進(jìn)行綜合，得到完整答案。對(duì)于學(xué)生來說，它能夠充分鍛煉他們的邏輯推理、分析能力，需要學(xué)生勤學(xué)苦練。筆者將主要通過高中函數(shù)、概率、數(shù)列三大重要知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容來探究數(shù)學(xué)解題中分類討論的相關(guān)應(yīng)用。

（一）函數(shù)解題中的分類討論

在一些有參數(shù)的函數(shù)問題中，參數(shù)值的量變總會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生質(zhì)變。分析哲學(xué)問題的過程中，分類討論參數(shù)，能夠簡(jiǎn)化問題，讓學(xué)生便捷、靈活解題。比如，在值域的基本題型中，其中二次函數(shù)的值域是最重要的問題。一般的二次函數(shù)，利用頂點(diǎn)和最值等就可以求出值域。比較困難的就是一些函數(shù)有參數(shù)問題。有參數(shù)的二次函數(shù)值域問題可以被稱之為限定性的二次函數(shù)求值域問題。換言之，自變量x取值并非是所有實(shí)數(shù)R，而是限定在一定的范圍內(nèi)，譬如x∈（a，b），求函數(shù)值域問題。對(duì)于這樣的問題，只能用分類討論進(jìn)行解決。在分類討論中，要注意對(duì)稱軸x=-b2a在a的左端，b的右端依然是在區(qū)間（a，b）中，所以必須分三類進(jìn)行討論。而這個(gè)問題需要學(xué)生長(zhǎng)期反復(fù)練習(xí)才能達(dá)到效果。

（二）概率解題中的分類討論

在數(shù)學(xué)概率知識(shí)中，相關(guān)問題的計(jì)算往往要按照問題的要求進(jìn)行分類，并求出基本事件個(gè)數(shù)。高中數(shù)學(xué)中，有的定理自身就是以分類討論方法來解答。比如，統(tǒng)計(jì)概率中的分類計(jì)數(shù)原理最為典型。做一件事情，可以有N中完成方法，在第一種方案中有M1種不同方法，在第二種方案中有M2種不同方法……在第N種方案中有MN種不同方法，因而完成這件事則共有N=M1+M2+……MN種不同方法。值得注意的是，在數(shù)學(xué)問題解決過程中，利用對(duì)每個(gè)難點(diǎn)的分別解決，以多種步驟完成最終解答。在解決這些難點(diǎn)較多、需要分多個(gè)步驟的數(shù)學(xué)問題中，有時(shí)我們難以在解決前知道用何種方法最好。因此，分類討論方法或許就在解題之中因?yàn)榻忸}需要而被使用到。此處的解題需要就是說前面的解題步驟讓情況變得不確定，或者不唯一。

（三）數(shù)列解題中的分類討論

數(shù)列問題中，分類討論的運(yùn)用同樣廣泛。比如探索數(shù)列周期性問題、等比數(shù)列求和等等，其中都有著很多分類討論方法的應(yīng)用思想。分類討論是一種化整為零、積零為整的歸類整理方法，是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法[2]。而高中數(shù)學(xué)中，數(shù)列是學(xué)習(xí)重點(diǎn)，也是高考必考點(diǎn)。在通項(xiàng)公式、求前n項(xiàng)和等問題中都會(huì)牽扯到分類討論。但是，高中生在學(xué)習(xí)利用分類討論解決數(shù)列問題時(shí)，必須要注意一些問題。具體來說，一是確定分類對(duì)象，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)；二是做到不重復(fù)、不遺漏；三是分層次、不越級(jí)討論。同時(shí)，注意數(shù)列問題中要進(jìn)行分類討論的是當(dāng)?shù)炔?、等比?shù)列定義中由限制條件引發(fā)的問題，由公式an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2的限制引發(fā)的問題，或者是因數(shù)列求和時(shí)正負(fù)項(xiàng)、奇偶項(xiàng)、等比數(shù)列公比q引發(fā)的問題等等。

三、結(jié)語

高中數(shù)學(xué)解題中，分類討論本身是著眼于問題本身的性質(zhì)，也是一種有效解決問題的方法。使用分類討論，可以把問題化繁為簡(jiǎn)，將那些不明確的問題變成具體問題，并合理分類、逐步探討、分級(jí)歸納。對(duì)于高中生來說，掌握分類討論方法，不但可以對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)有較為全面的理解，而且對(duì)學(xué)生邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的訓(xùn)練也大有裨益。