基于主元子空間的主動(dòng)配電網(wǎng)量測(cè)設(shè)備關(guān)鍵配置位置識(shí)別

張林利 ，劉 洋 ，李立生 ，蘇建軍 ，譚培紅

（1.國(guó)網(wǎng)山東省電力公司電力科學(xué)研究院，山東 濟(jì)南 250003；2.山東理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，山東 淄博 255049）

0 引言

高滲透率分布式電源、儲(chǔ)能系統(tǒng)以及電動(dòng)汽車等可控負(fù)荷的接入，對(duì)傳統(tǒng)電網(wǎng)的潮流分布、電能質(zhì)量、繼電保護(hù)和系統(tǒng)規(guī)劃都產(chǎn)生了巨大的影響，促使原有單電源輻射狀網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的傳統(tǒng)配電網(wǎng)逐步向多電源弱環(huán)狀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的主動(dòng)配電網(wǎng)ADN（Active Distribution Network）轉(zhuǎn)變［1］，這種轉(zhuǎn)變要求能夠快速、準(zhǔn)確地監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)運(yùn)行狀態(tài)，這使得實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)變得越來(lái)越重要。為了適應(yīng)這種變化，越來(lái)越多的量測(cè)設(shè)備被接入配電網(wǎng)，智能電表SM（Smart Meter）、同步相量測(cè)量單元PMU（Phasor Measurement Unit）、微型PMU等量測(cè)單元在配電網(wǎng)中的應(yīng)用也得到了關(guān)注［2-4］。

由于PMU或微型PMU的成本高，從經(jīng)濟(jì)性和工程可行性角度而言其都無(wú)法在系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)全面配置，因此如何實(shí)現(xiàn)PMU的優(yōu)化配置成為了一個(gè)研究熱點(diǎn)，目前已有許多研究成果。文獻(xiàn)［5］考慮電動(dòng)汽車和光伏的不確定性，結(jié)合加權(quán)最小二乘和自適應(yīng)協(xié)方差矩陣優(yōu)化策略得到量測(cè)最優(yōu)配置。文獻(xiàn)［6］考慮了測(cè)量冗余度和狀態(tài)估計(jì)的精度，利用改進(jìn)的遺傳模擬退火算法實(shí)現(xiàn)了PMU的優(yōu)化配置。文獻(xiàn)［7］利用拓?fù)浼s束分析方法，采用改進(jìn)的遺傳算法實(shí)現(xiàn)了PMU的優(yōu)化配置。文獻(xiàn)［8］以投資成本最小和全局狀態(tài)估計(jì)不確定性有界為目標(biāo)，通過(guò)隨機(jī)優(yōu)化實(shí)現(xiàn)了PMU配置。上述研究大多都是在一定約束條件下通過(guò)優(yōu)化算法或智能算法來(lái)實(shí)現(xiàn)優(yōu)化配置，而且隱含了對(duì)系統(tǒng)具有完備先驗(yàn)知識(shí)的假設(shè)。然而主動(dòng)配電網(wǎng)具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)靈活、系統(tǒng)不確定性強(qiáng)的特點(diǎn)，即研究者或電網(wǎng)操作人員往往缺乏必要的先驗(yàn)知識(shí)，那么如何在先驗(yàn)知識(shí)缺乏的情況下實(shí)現(xiàn)優(yōu)化配置成為了量測(cè)設(shè)備配置須解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一。

另一方面，實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的需求使得各種量測(cè)設(shè)備在主動(dòng)配電網(wǎng)中大量配置，產(chǎn)生了海量的高維量測(cè)數(shù)據(jù)。雖然不是所有的量測(cè)數(shù)據(jù)中都包含反映系統(tǒng)特征的信息，但對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析就可在缺乏先驗(yàn)知識(shí)的情況下獲得表征系統(tǒng)運(yùn)行特性的關(guān)鍵信息［9］。量測(cè)設(shè)備優(yōu)化配置問(wèn)題就轉(zhuǎn)變成如何從量測(cè)數(shù)據(jù)中提取反映系統(tǒng)特征的關(guān)鍵信息并依據(jù)該信息完成對(duì)系統(tǒng)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)識(shí)別的問(wèn)題。

主元分析 PCA（Principal Component Analysis）是一種信息提取、特征判別的有效方法，并在電力系統(tǒng)的孤島監(jiān)測(cè)［10-11］、干擾檢測(cè)與消除［12-13］、廣域測(cè)量［14］等方面得到成功應(yīng)用。通過(guò)PCA方法可以將高維量測(cè)數(shù)據(jù)分別映射到2個(gè)正交的低維子空間中，即主元子空間 PCS（Principal Component Subspace）和殘差子空間RS（Residual Subspace）。通過(guò)這種方式實(shí)現(xiàn)量測(cè)數(shù)據(jù)的特征提取和監(jiān)測(cè)變量間關(guān)聯(lián)特性的消除。目前PCA在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用主要側(cè)重于故障監(jiān)測(cè)與配電自動(dòng)化，其主要是利用殘差子空間對(duì)故障特征進(jìn)行分析與判別。但就筆者的知識(shí)面而言，還未見(jiàn)到PCA或其他多元統(tǒng)計(jì)方法在量測(cè)設(shè)備優(yōu)化配置方面的應(yīng)用和研究成果。而在利用PCA時(shí)，數(shù)據(jù)在主元子空間的映射舍棄了殘差，保留了變量數(shù)據(jù)中表征系統(tǒng)特征的最大信息要素，因此根據(jù)主元子空間中變量對(duì)監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)量影響程度的分析就可實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)中關(guān)鍵變量或關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的識(shí)別。

本文將多元統(tǒng)計(jì)監(jiān)測(cè)方法引入主動(dòng)配電網(wǎng)量測(cè)配置領(lǐng)域，使用PCA方法分析量測(cè)數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)監(jiān)測(cè)變量的重構(gòu)和統(tǒng)計(jì)量的改進(jìn)，將節(jié)點(diǎn)重構(gòu)貢獻(xiàn)率和節(jié)點(diǎn)相對(duì)貢獻(xiàn)率應(yīng)用于量測(cè)關(guān)鍵位置的識(shí)別，最后結(jié)合配網(wǎng)標(biāo)準(zhǔn)算例討論其結(jié)果。

1 關(guān)鍵位置識(shí)別方法

1.1 PCA的基本原理

設(shè)系統(tǒng)需監(jiān)測(cè)m個(gè)變量，每個(gè)變量具有n個(gè)量測(cè)值，這就構(gòu)成了系統(tǒng)運(yùn)行監(jiān)測(cè)矩陣?Rn×m，由于監(jiān)測(cè)矩陣包含不同類型、不同數(shù)量級(jí)、不同含義的數(shù)據(jù)，因此為了最大限度地保留初始矩陣中各指標(biāo)數(shù)值的特征信息，采用文獻(xiàn)［15］中的方法對(duì)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，即：

然后對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣X進(jìn)行分解可以得到：

其中，U為正交矩陣；V?Rm×m為X的對(duì)稱關(guān)聯(lián)矩陣；D 為矩陣 V 的特征值 λi（i=1，2，…，m）所構(gòu)成的對(duì)角矩陣且滿足λ1≥λ2≥…≥λm。特征值λi表征了在主元變換過(guò)程中每個(gè)變量所保留信息量的程度，即主元的采樣方差。主元矩陣P?Rm×n可表示為：

其中，矩陣 Q 的列［q1，q2，…，qm］T是與關(guān)聯(lián)矩陣 V的特征值相對(duì)應(yīng)的特征向量矩陣，矩陣中qi為與特征值 λi相對(duì)應(yīng)的特征向量；為 X 的均值［16］。 主元矩陣P的每一行為所求主元，其特征向量為：

其中，fi為與第i個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。

那么第i個(gè)主元的方差貢獻(xiàn)率為：

累計(jì)方差貢獻(xiàn)率為：

在主元子空間中建立的模型保留了變量數(shù)據(jù)中表征系統(tǒng)特征的最大信息，一般使用Hotelling T2統(tǒng)計(jì)量對(duì)主元子空間中的變量進(jìn)行監(jiān)測(cè)。隨著系統(tǒng)指標(biāo)（電壓、負(fù)荷等）的波動(dòng)，如果T2統(tǒng)計(jì)量超過(guò)限定值，表明構(gòu)成子空間的主元對(duì)系統(tǒng)指標(biāo)波動(dòng)敏感，即構(gòu)成該主元的變量對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)變化的貢獻(xiàn)度大。

T2統(tǒng)計(jì)量及其限值分別定義如下［17］：

其中，x為監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)；P為主元矩陣；Λ為主元特征值所構(gòu)成的對(duì)角矩陣；K為選取的主元數(shù)量；表示自由度為K的卡方分布。

1.2 貢獻(xiàn)圖節(jié)點(diǎn)識(shí)別方法

貢獻(xiàn)圖法在故障監(jiān)測(cè)領(lǐng)域尤其是故障診斷方面起到重要作用。貢獻(xiàn)圖法識(shí)別的依據(jù)是高貢獻(xiàn)率變量對(duì)系統(tǒng)波動(dòng)起主要作用，可通過(guò)計(jì)算每個(gè)變量對(duì)監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)量的貢獻(xiàn)率來(lái)構(gòu)造貢獻(xiàn)圖。式（7）可改寫為如下二次形式：

那么第i個(gè)變量xi對(duì)T2統(tǒng)計(jì)量的貢獻(xiàn)率為：

其中，ζj為與第i個(gè)變量相對(duì)應(yīng)的列向量，其元素如式（11）所示。

即：對(duì)于一個(gè)含有4個(gè)變量的系統(tǒng)而言，第2個(gè)變量對(duì)應(yīng)的列向量為 S2=［0，1，0，0］T。

由于計(jì)算貢獻(xiàn)率時(shí)存在擴(kuò)散效應(yīng)，即一個(gè)變量的波動(dòng)會(huì)影響其他變量對(duì)于統(tǒng)計(jì)量的貢獻(xiàn)率［18］，因此本文依據(jù)變量重構(gòu)的思想［19］，沿系統(tǒng)指標(biāo)波動(dòng)方向重構(gòu)監(jiān)測(cè)變量為：

重構(gòu)后，T2統(tǒng)計(jì)量可以表示為：

令式（13）對(duì)?i求導(dǎo)且等于0，可以得到：

進(jìn)而有式（15）成立。

其中，ξj=Pζj。

將式（15）代入式（12）得到：

將式（16）代入式（13）整理得到：

變量xi對(duì)T2統(tǒng)計(jì)量的重構(gòu)貢獻(xiàn)率可表示為：

其中，ρii為 PTΛ-1P 的第 i個(gè)對(duì)角元素。 式（17）和式（18）表明了變量xi重構(gòu)貢獻(xiàn)率對(duì)T2統(tǒng)計(jì)量的影響程度，可看出重構(gòu)貢獻(xiàn)率越大，該變量在系統(tǒng)指標(biāo)波動(dòng)方向上對(duì)指標(biāo)變化的貢獻(xiàn)越大，而高貢獻(xiàn)率節(jié)點(diǎn)就是表征系統(tǒng)特征的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。

重構(gòu)貢獻(xiàn)率的控制限為：

其中，S為數(shù)據(jù)矩陣X的協(xié)方差矩陣。

與傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量相似，所有變量的重構(gòu)貢獻(xiàn)統(tǒng)計(jì)量為各變量重構(gòu)貢獻(xiàn)統(tǒng)計(jì)量之和，即：

重構(gòu)統(tǒng)計(jì)量的控制限為各變量重構(gòu)貢獻(xiàn)率的控制限之和，即：

第k個(gè)節(jié)點(diǎn)的貢獻(xiàn)率為該節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的所有變量重構(gòu)貢獻(xiàn)率之和，即：

其中，l為第k個(gè)節(jié)點(diǎn)處所監(jiān)測(cè)變量的個(gè)數(shù)。

依據(jù)文獻(xiàn)［20］中所定義的變量對(duì)統(tǒng)計(jì)量的貢獻(xiàn)控制限，本文中節(jié)點(diǎn)重構(gòu)貢獻(xiàn)控制限為：

其中，μ和s分別為貢獻(xiàn)率的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

利用節(jié)點(diǎn)對(duì)T2統(tǒng)計(jì)量的相對(duì)貢獻(xiàn)（式（24））來(lái)識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。如果相對(duì)貢獻(xiàn)率大于1，則說(shuō)明該節(jié)點(diǎn)上所監(jiān)測(cè)變量對(duì)指標(biāo)波動(dòng)的綜合貢獻(xiàn)率大，即為關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。

基于主元子空間識(shí)別方法進(jìn)行量測(cè)設(shè)備關(guān)鍵配置位置識(shí)別的具體步驟如下。

a.利用系統(tǒng)以基準(zhǔn)負(fù)荷運(yùn)行時(shí)的變量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建立初始樣本矩陣。

b.根據(jù)式（1）對(duì)樣本矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，可得到標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣X，并利用奇異值分解獲得特征值對(duì)角矩陣D和特征向量矩陣Q。

c.按式（5）計(jì)算主元方差貢獻(xiàn)率，并計(jì)算累計(jì)方差貢獻(xiàn)率。為了保證計(jì)算的精度，一般選擇累計(jì)方差貢獻(xiàn)率CVE≥0.995，從而確定應(yīng)選取的主元個(gè)數(shù)。

d.對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行數(shù)據(jù)X進(jìn)行監(jiān)測(cè)，根據(jù)式（20）計(jì)算監(jiān)測(cè)變量xi對(duì)T2統(tǒng)計(jì)量的重構(gòu)貢獻(xiàn)率

e.利用式（24）計(jì)算節(jié)點(diǎn)對(duì)T2的相對(duì)貢獻(xiàn)率。判斷相對(duì)貢獻(xiàn)率是否大于1。如果Conrel>1，則該節(jié)點(diǎn)為關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。

需要說(shuō)明的是：本文所給出的識(shí)別流程也可用于實(shí)現(xiàn)對(duì)某一系統(tǒng)指標(biāo)（如電壓）最佳觀測(cè)點(diǎn)的識(shí)別。這不是本文的研究范圍，因此不再詳細(xì)講述。

2 算例分析

利用IEEE 69節(jié)點(diǎn)配電系統(tǒng)對(duì)所提方法的性能進(jìn)行驗(yàn)證。IEEE 69節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)是PG&E配電系統(tǒng)的一部分，它由7條分支線路、5個(gè)聯(lián)絡(luò)開(kāi)關(guān)、69個(gè)分段開(kāi)關(guān)以及74條線路、53個(gè)負(fù)荷、1個(gè)電源構(gòu)成。網(wǎng)絡(luò)首段基準(zhǔn)電壓為12.66kV，系統(tǒng)總有功負(fù)荷為3802.19 kW，總無(wú)功負(fù)荷為2694.60 kvar。IEEE 69節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 IEEE 69節(jié)點(diǎn)配電系統(tǒng)Fig.1 IEEE 69-bus distribution system

IEEE 69節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)線路的具體參數(shù)參見(jiàn)文獻(xiàn)［21］。本文研究中，系統(tǒng)接入6個(gè)光伏，容量及位置如下：母線16處200 kW，母線23處250 kW，母線36處250kW，母線48處300kW，母線50處250kW，母線65處300 kW。

假設(shè)系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)的基準(zhǔn)負(fù)荷為總負(fù)荷的75%，最小負(fù)荷與峰值負(fù)荷分別為總負(fù)荷的45%和100%，則最小負(fù)荷和峰值負(fù)荷分別為基準(zhǔn)負(fù)荷的60%和133%。正常運(yùn)行時(shí)，負(fù)荷在基準(zhǔn)負(fù)荷±40%范圍內(nèi)波動(dòng)，這樣最小負(fù)荷和最大負(fù)荷均被包含在波動(dòng)范圍內(nèi)。本文使用PSAT進(jìn)行潮流仿真，共監(jiān)測(cè)340個(gè)變量，包括有功潮流和無(wú)功潮流、光伏的有功潮流和無(wú)功潮流以及所有節(jié)點(diǎn)的電壓幅值和相角，每個(gè)變量生成1506個(gè)觀測(cè)值。使用MATLAB對(duì)獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，然后使用PCA對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過(guò)奇異值分解得到數(shù)據(jù)矩陣的特征值。按照對(duì)變量累計(jì)方差貢獻(xiàn)率的設(shè)定，保留前7個(gè)主元。前10個(gè)主元的方差貢獻(xiàn)率與累計(jì)方差貢獻(xiàn)率如表1所示。

表1 前10個(gè)主元貢獻(xiàn)率Table 1 Contribution rate of top 10 principal components

從表1可以看出，第1個(gè)主元的方差貢獻(xiàn)率達(dá)到79.9985%，而所保留的前7個(gè)主元總的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率達(dá)到99.5070%，即前7個(gè)主元包含了反映系統(tǒng)狀態(tài)特征的絕大部分信息。然后使用貢獻(xiàn)圖法對(duì)節(jié)點(diǎn)的相對(duì)貢獻(xiàn)率進(jìn)行判別，節(jié)點(diǎn)對(duì)T2統(tǒng)計(jì)量的相對(duì)貢獻(xiàn)率如圖2所示。

圖2（a）為本文方法得到的節(jié)點(diǎn)相對(duì)貢獻(xiàn)率，圖2（b）為傳統(tǒng)PCA方法所得到的節(jié)點(diǎn)相對(duì)貢獻(xiàn)率。通過(guò)判斷節(jié)點(diǎn)對(duì)T2統(tǒng)計(jì)量的相對(duì)貢獻(xiàn)率是否大于1可知，傳統(tǒng)PCA方法識(shí)別出28個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，而本文所提方法確定出41個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)：5，8—10，12—21，23—27，29，31，36，37，39，41，43，44，46—50，52，55，58，60，62—66。

圖2 節(jié)點(diǎn)相對(duì)貢獻(xiàn)率Fig.2 Relative contribution degree of nodes

為了驗(yàn)證在IEEE 69節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)所確定的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上配置量測(cè)設(shè)備的監(jiān)測(cè)能力，設(shè)定負(fù)荷水平分別為0.2、0.3、0.4、1.5、1.6、1.7 這 6 個(gè)場(chǎng)景。 由于系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)母線電壓幅值是一個(gè)考核系統(tǒng)是否安全運(yùn)行的重要指標(biāo)，因此在6個(gè)場(chǎng)景中對(duì)各個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓幅值進(jìn)行監(jiān)測(cè)。電壓幅值的正常波動(dòng)范圍為0.9～1.1 p.u.。本文研究中只監(jiān)測(cè)各節(jié)點(diǎn)電壓是否越限，而不考慮其他因素。為了說(shuō)明關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的監(jiān)測(cè)能力，定義關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)對(duì)電壓越限的識(shí)別率為關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)識(shí)別的電壓越限節(jié)點(diǎn)數(shù)與實(shí)際電壓越限節(jié)點(diǎn)數(shù)之比。6個(gè)場(chǎng)景的監(jiān)測(cè)結(jié)果如表2所示。

表2 6個(gè)場(chǎng)景的監(jiān)測(cè)結(jié)果Table 2 Monitoring results of six scenes

由表2可以看出，傳統(tǒng)PCA方法電壓越限的識(shí)別率最高只有80%，而本文所提方法的電壓越限識(shí)別率均高于75%。根據(jù)圖2和表2可以看出，盡管傳統(tǒng)PCA方法識(shí)別出的節(jié)點(diǎn)數(shù)目比本文所提方法識(shí)別出的節(jié)點(diǎn)少13個(gè)，但綜合6個(gè)場(chǎng)景的監(jiān)測(cè)結(jié)果可知，傳統(tǒng)PCA方法的平均識(shí)別率只有65.672%，而本文所提方法的平均識(shí)別率為89.025%。兩者之間的差異在于傳統(tǒng)PCA方法利用貢獻(xiàn)圖法進(jìn)行識(shí)別時(shí)，擴(kuò)散效應(yīng)使得變量之間相互影響，從而削弱了節(jié)點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)指標(biāo)波動(dòng)的敏感性。而本文方法通過(guò)在系統(tǒng)指標(biāo)波動(dòng)方向上進(jìn)行變量重構(gòu)，增強(qiáng)了監(jiān)測(cè)變量在波動(dòng)方向上的敏感性，同時(shí)也減小了擴(kuò)散效應(yīng)的作用。

3 結(jié)論

a.所提識(shí)別方法不需要完備先驗(yàn)知識(shí)，通過(guò)重構(gòu)量測(cè)變量和計(jì)算節(jié)點(diǎn)對(duì)T2統(tǒng)計(jì)量的相對(duì)貢獻(xiàn)率實(shí)現(xiàn)了對(duì)關(guān)鍵位置的識(shí)別。

b.節(jié)點(diǎn)重構(gòu)貢獻(xiàn)率綜合了同一節(jié)點(diǎn)上不同變量重構(gòu)貢獻(xiàn)率的影響；相對(duì)貢獻(xiàn)率避免了控制限的不同對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響。

c.本文方法識(shí)別出的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)數(shù)只為總節(jié)點(diǎn)數(shù)的59%，減少了所需量測(cè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，進(jìn)而降低了所需處理的數(shù)據(jù)量，且能達(dá)到電壓越限的平均識(shí)別率。

d.主元構(gòu)成所需量測(cè)變量的系數(shù)均不為0，系數(shù)的大小對(duì)于變量對(duì)主元構(gòu)成的作用是否一致、主元構(gòu)成對(duì)識(shí)別準(zhǔn)確度是否有影響將是筆者下一步的研究重點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

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