對(duì)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與教學(xué)設(shè)計(jì)的思考

莊志剛+張玲

【摘 要】 本文從對(duì)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解入手，對(duì)如何培育核心素養(yǎng)的策略進(jìn)行了思考，通過具體的案例，從精確把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)與創(chuàng)設(shè)適合的教學(xué)設(shè)計(jì)兩個(gè)方面進(jìn)行了具體實(shí)施策略的探討.

【關(guān)鍵詞】 核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)本質(zhì)；教學(xué)設(shè)計(jì)

隨著科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展、社會(huì)對(duì)人才要求的需要，在《教育部關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)》文件中提到了核心素養(yǎng)，并且要求修改課程標(biāo)準(zhǔn)，要把學(xué)科核心素養(yǎng)貫穿始終，國家適時(shí)地提出了“學(xué)生核心素養(yǎng)”，其實(shí)最基本的問題是在追問我們到底要培養(yǎng)什么樣的人，就是希望在高位的教育方針和具體的教育實(shí)踐中，搭建一個(gè)具體化的橋梁，使教師能夠把教育教學(xué)和核心素養(yǎng)相對(duì)照起來，進(jìn)而促進(jìn)我們黨和國家教育方針的落實(shí).

1 對(duì)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解

張奠宙教授對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是這樣解釋的：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括‘真、善、美三個(gè)維度.通俗地說，數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)有‘真、善、美三個(gè)維度：理解理性數(shù)學(xué)文明的文化價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)真理的嚴(yán)謹(jǐn)性、精確性；具備用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決實(shí)際問題的基本能力；能夠欣賞數(shù)學(xué)智慧之美，喜歡數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué).”

高中數(shù)學(xué)新課程定義數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為“學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的、與數(shù)學(xué)有關(guān)的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)”，由此提出了把抽象思維、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析作為高中數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)與功能目標(biāo)，也就是育人價(jià)值.那么其功能目標(biāo)是什么？這里用史寧中教授的話來詮釋是最恰當(dāng)不過的，“就是讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”.

我認(rèn)為對(duì)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以這樣來解釋：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)到的有特定意義的綜合性能力，它基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指在素養(yǎng)中最重要的、必須具備的、具有普適性的部分，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)建立起來的認(rèn)識(shí)、理解和處理周圍事物時(shí)所具備的品質(zhì).

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)應(yīng)該起到指導(dǎo)和引領(lǐng)的作用，彰顯了學(xué)科教學(xué)的育人價(jià)值，因此這就要求數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的目標(biāo)和活動(dòng)都要從素養(yǎng)的高度來進(jìn)行，為素養(yǎng)而教，用學(xué)科育人.但是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成也必須依賴于數(shù)學(xué)學(xué)科本身獨(dú)特育人功能的發(fā)揮，以及對(duì)學(xué)科本質(zhì)魅力的發(fā)掘.所以說，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)反映的是數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)思維方法，它是在學(xué)生參與相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中逐漸形成的，可以在遇到問題的時(shí)候，即使不是數(shù)學(xué)問題也可以從數(shù)學(xué)的角度和用數(shù)學(xué)的思維方法去思考、分析、理解和解決問題，具有綜合性、整體性和持久性.

2 在教學(xué)中如何培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

既然核心素養(yǎng)與學(xué)科教學(xué)的目標(biāo)和內(nèi)容直接相關(guān)，可以說是“密不可分”，那如何在日常的教學(xué)中使之落地，成為教師亟待解決的工作.

2.1 精確把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)

如何在日常的教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，作為教師自身首先就要明確數(shù)學(xué)教材中所涉及內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，這樣才會(huì)讓學(xué)生理解和掌握這些內(nèi)容的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

如三角函數(shù)的教學(xué)一定要在函數(shù)的視角和背景下對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行解剖，不僅有利于學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)的理解和掌握，對(duì)深刻理解函數(shù)的實(shí)質(zhì)起到了積極的促進(jìn)作用，也對(duì)提升學(xué)生的能力和素養(yǎng)意義非凡.首先要弄清楚三角函數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)，只不過它是關(guān)于以角為自變量的一類特殊函數(shù)，函數(shù)值之間的關(guān)系有其一定的運(yùn)算規(guī)律，由此產(chǎn)生了三角公式這些規(guī)律.還要注意的是三角函數(shù)線教學(xué)，因?yàn)槿呛瘮?shù)線可以把三角函數(shù)的函數(shù)特征、周期特征和幾何特征有機(jī)地結(jié)合在一起，是研究函數(shù)問題的創(chuàng)新，重視三角函數(shù)線的作用有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.

再如函數(shù)的性質(zhì)本質(zhì)上指當(dāng)自變量滿足某些關(guān)系時(shí)，函數(shù)值是否隨之滿足某些關(guān)系.具有某種性質(zhì)的函數(shù)，會(huì)同時(shí)反應(yīng)在函數(shù)的解析式與函數(shù)的圖象上，借助于性質(zhì)的本質(zhì)，解析式滿足的關(guān)系與圖象滿足的特征之間可以很好地對(duì)應(yīng)起來.以偶函數(shù)為例，若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，那么它的解析式滿足方程f（-x）=f（x），它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，從偶函數(shù)本質(zhì)上理解：當(dāng)兩個(gè)自變量的和為0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，這兩個(gè)點(diǎn)也恰好關(guān)于y軸對(duì)稱.

案例1 求證：如果一個(gè)函數(shù)有雙對(duì)稱軸，那么它一定是周期函數(shù).不妨以特殊的函數(shù)為例進(jìn)行證明.若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=1與x=2對(duì)稱，證明f（x）是周期函數(shù)，并求出它的一個(gè)周期.

證明：由f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱知：

當(dāng)自變量和為2時(shí)，函數(shù)值相等，即f（x）=f（2-x），同理有f（x）=f（4-x），

于是我們得到f（2-x）=f（4-x），這說明當(dāng)自變量相差2時(shí)，函數(shù)值相等，這是周期性的本質(zhì)，故f（x）是周期函數(shù)，2是它的一個(gè)周期[1].

在日常的課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生通過問題解決、拓展、規(guī)律總結(jié)歸納等方式，加深對(duì)知識(shí)的理解，真正掌握知識(shí)的本質(zhì)，這對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)可以起到事半功倍的作用，同時(shí)教會(huì)學(xué)生提出問題、思考問題、解決問題的策略，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的同時(shí)也提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

案例2 求數(shù)列1n（n+1）的前n項(xiàng)和Sn，其中n∈N+.這是比較常見的一個(gè)題型，在學(xué)生寫出Sn=11×2+12×3+13×4+…+1n（n+1）時(shí)，說明學(xué)生理解了1n（n+1）是數(shù)列通項(xiàng)的簡寫式，同時(shí)讓學(xué)生觀察這個(gè)和式：數(shù)列中的每一項(xiàng)既不構(gòu)成等差、也不構(gòu)成等比數(shù)列.但是每一項(xiàng)分式中的分母是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，而且已是最簡式，探究能否還原其化簡前的原形？學(xué)生很容易想到把數(shù)列的通項(xiàng)拆項(xiàng)成：1n（n+1）=1n-1n+1.類似地用這一方法可解決通項(xiàng)滿足1n（n+k）（k∈N，且k>1）的所有數(shù)列的求和.

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)從建立到擴(kuò)展，再到精致的過程，用不同形式的表征加深對(duì)知識(shí)的理解，通過對(duì)知識(shí)應(yīng)用的體驗(yàn)完善知識(shí).而下面這一問題的解決，可發(fā)展和完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

拓展1 求數(shù)列1anan+1的前n項(xiàng)和Sn，其中對(duì)任意的n∈N+都有an+1-an=d（d為常數(shù)）.

在這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中，充分向?qū)W生滲透觀察、分析、猜想、抽象、概括、歸納類比等各種數(shù)學(xué)思想方法，尤其是拓展部分，從特殊到一般，幫助學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的本質(zhì)的把握更是起到了承前啟后的作用. 如果把問題繼續(xù)拓展，通過解決問題一定會(huì)有意想不到的收獲，即讓學(xué)生的思維空間更廣闊了.

拓展2 設(shè)數(shù)列{an}滿足an=（-1）n2n+1n（n+1），n∈N*，求此數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.（分子是分母兩項(xiàng)因數(shù)的和，像這種問題考查的也是“裂項(xiàng)相消法”.）

拓展3 設(shè)數(shù)列{an}滿足an=（-1）n2n+n0n（n+n0），n，n0∈N*，求此數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.

2.2 創(chuàng)設(shè)適合的教學(xué)設(shè)計(jì)

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過程側(cè)重學(xué)生的自主探究和自我體驗(yàn)，更多地依靠學(xué)生自身在實(shí)踐中的摸索、積累和體悟，因此如何讓學(xué)生積極地參與到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，成為我們迫切需要解決的問題.下面通過具體的案例來說明什么是適合的教學(xué)設(shè)計(jì).

2.2.1 教學(xué)情景的設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)化可以決定學(xué)生學(xué)習(xí)方式的快速改善，而學(xué)習(xí)方式的改善不僅僅是讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，還會(huì)讓學(xué)生掌握自主學(xué)習(xí)的本領(lǐng).因?yàn)榛顒?dòng)式情景的設(shè)計(jì)符合數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的方向，因此下面就以活動(dòng)式情景的設(shè)計(jì)為例，舉例說明情景設(shè)計(jì)的基本思路.

活動(dòng)式情景的最大特點(diǎn)是趣味性，雖然帶有游戲的成份，但要有一定的思維價(jià)值，能體會(huì)和挖掘其中的數(shù)學(xué)知識(shí)，更具本原性，提高學(xué)生的興趣和參與度.

案例3 “數(shù)學(xué)歸納法”的情景引入

教師：首先請(qǐng)某組的第一個(gè)同學(xué)回答問題，然后請(qǐng)第二個(gè)、第三個(gè)、第四個(gè)、第五個(gè)，這時(shí)大家會(huì)有什么想法？

學(xué)生：第六個(gè)同學(xué)會(huì)非常緊張，而其他同學(xué)感覺輕松，因?yàn)槔蠋煴囟ㄒ?qǐng)第六個(gè)同學(xué)回答.

（從這種現(xiàn)象的解析可以引入歸納法的定義，感受到歸納法的實(shí)際意義，這時(shí)候給學(xué)生一個(gè)意外，不請(qǐng)第六個(gè)同學(xué)回答，而是請(qǐng)其他同學(xué)回答，從而闡述歸納法的不確定性.）

教師：要想證明老師是從前往后依次提問，怎么辦？

學(xué)生：只要看老師是不是再依次請(qǐng)第六個(gè)、第七個(gè)同學(xué)回答.

（從此問題揭示了證明猜想的一種方法：枚舉法.）

教師：如果這個(gè)組有上千人，老師要一個(gè)一個(gè)點(diǎn)名實(shí)在太麻煩，怎么辦？

學(xué)生：其實(shí)只要一句話就行，請(qǐng)這一組的同學(xué)依次往后回答問題，首先請(qǐng)第一個(gè)同學(xué)開始.

教師：這句話為什么能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，它包含了幾層含義？

學(xué)生：這句話包含了兩層含義：依次和第一個(gè)開始.

（通過這種學(xué)生身邊的游戲問題，跳躍性的追問，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的沖動(dòng)，探知知識(shí)的產(chǎn)生過程，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐的過程，感受數(shù)學(xué)的奇妙.）

活動(dòng)式情景的第二特點(diǎn)是挑戰(zhàn)性，能激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲望，能引起學(xué)生認(rèn)知沖突，需要學(xué)生的努力參與、挖掘與研究.

案例4 “兩角和與差的余弦”的推導(dǎo)

設(shè)向量a=（cos75°，sin75°），b=（cos15°，sin15°）

問題1： 試分別計(jì)算a·b=abcosθ及a·b=（x1x2+y1y2）.

問題2： 比較兩次計(jì)算的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么？

問題3： 你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論對(duì)任意兩個(gè)角都成立嗎？

（上面這些可以作為課前預(yù)習(xí)案，可以加一個(gè)問題，就是把問題4改改說法：如果你認(rèn)為你的結(jié)論成立，請(qǐng)?jiān)囍C明，如果結(jié)論不成立，請(qǐng)說明理由.）

問題4：如何證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論？

問題5：證明過程中，你遇到的困難是什么？你想如何處理？

（這種設(shè)計(jì)通過層次分明的問題的引導(dǎo)，親身經(jīng)歷解決問題的“艱辛”， 學(xué)會(huì)尋找解決問題的途徑，讓學(xué)生感受發(fā)現(xiàn)新知的愉悅，享受成功的快樂，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí).）

讓學(xué)生經(jīng)歷活動(dòng)的過程，在操作和探究中感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)，通過學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、思考問題的過程激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，使學(xué)生進(jìn)入“口欲言而勿能、心求通而勿達(dá)”的狀態(tài)，所以說活動(dòng)式的另外兩個(gè)特點(diǎn)是過程性和問題性.總而言之，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)活潑的生活化情景和富有啟發(fā)性的問題情景，可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的無處不在，在活動(dòng)的過程中幫助學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，既增加了課堂的趣味性，也讓學(xué)生學(xué)會(huì)了在生活中挖掘數(shù)學(xué)的因素，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)由具體到抽象、由感性到理性、由生活語言到數(shù)學(xué)語言，逐步培養(yǎng)與增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，同時(shí)聯(lián)系實(shí)際為學(xué)生提供了廣闊的參與空間，自主體驗(yàn)、探究的意識(shí)也就加強(qiáng)了.

2.2.2 針對(duì)重難點(diǎn)的設(shè)計(jì)[2]

所謂教學(xué)重點(diǎn)，就是學(xué)生必須掌握的基本知識(shí)和基本技能，如意義、法則、性質(zhì)、計(jì)算等，教師的任務(wù)就是把這些知識(shí)傳授給學(xué)生，使學(xué)生不僅學(xué)會(huì)它、掌握它，并能理解它和靈活地運(yùn)用它.教師要善于根據(jù)教學(xué)要求，抓住問題的本質(zhì)，針對(duì)教材的重點(diǎn)提出問題.通過層層遞進(jìn)的問題組設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，動(dòng)手操作，分組討論從而得到結(jié)論，突破重點(diǎn)，攻破難點(diǎn).

案例5 《幾何概型》引入（類比式）

問題1：從1，2，3，…，50這50個(gè)整數(shù)中，隨機(jī)地取出一個(gè)整數(shù)，求這個(gè)整數(shù)不大于20的概率.（素材典型，起點(diǎn)低、入口寬，敘述簡潔，顯現(xiàn)學(xué)生在古典概型方面的現(xiàn)有水平）

問題2：從區(qū)間[0，60]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)中，隨機(jī)地取出一個(gè)實(shí)數(shù)，求這個(gè)實(shí)數(shù)不大于20的概率.（問題一的變式，來引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，直指幾何概型的核心與本質(zhì)，引發(fā)新知的生長點(diǎn)）

活動(dòng)設(shè)計(jì)（可以用實(shí)驗(yàn)或活動(dòng)的方式呈現(xiàn)）.

活動(dòng)1.某餡餅屋中設(shè)有一個(gè)投鏢靶，該靶為正方形板，邊長為18厘米，掛于前門附近的墻上，顧客花兩角的硬幣便可投一鏢并有機(jī)會(huì)贏得意大利餡餅一個(gè)，投鏢靶中畫有三個(gè)同心圓，圓心在靶的中心.當(dāng)投鏢擊中半徑為1厘米的最內(nèi)層圓域時(shí)，可得到一個(gè)大餡餅，假設(shè)每個(gè)圓的周邊線沒有寬度，即每個(gè)投鏢不會(huì)擊中線上，求一顧客將贏得一張大餡餅（事件A）的概率.

活動(dòng)2.取一根長為3米的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不少于1米（事件A）的概率是多少？

活動(dòng)3.有一杯1升的水，其中含有1個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從這杯水中取出01升，求小杯中含有這個(gè)細(xì)菌（事件A）的概率.

這三個(gè)活動(dòng)在空間與思維上對(duì)問題二進(jìn)行了自然的延伸，既聯(lián)系了生活，又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，涉及的情景比較多，但學(xué)生在學(xué)習(xí)了古典概型的基礎(chǔ)上可以嘗試解決每個(gè)問題，但解決的方法不易理解，關(guān)鍵的突破點(diǎn)是由有限向無限的轉(zhuǎn)換，可以設(shè)計(jì)下面的問題，滲透到活動(dòng)中.

追問：實(shí)驗(yàn)中的基本事件是什么？是等可能的嗎？事件A包含的基本事件有多少？能否用古典概型的公式來解決？

這三個(gè)活動(dòng)從面積、長度、體積等三個(gè)角度讓學(xué)生感受幾何圖形測量的多樣性，為建構(gòu)幾何概型的概念作好鋪墊，下面進(jìn)行探究：

探究1：幾何概型與古典概型有何異同？

探究2：如何將古典概型中的“有限”過渡到幾何概型中的“無限”？

探究3：如何求幾何概型的概率？

從不同角度創(chuàng)設(shè)了活動(dòng)式的情景，既有過程又有問題，有利于深刻理解幾何概型概率計(jì)算公式中的幾何圖形的測度，讓知識(shí)融于情景中，學(xué)生積極參與，發(fā)揮其主體性.這樣的設(shè)計(jì)激發(fā)了學(xué)生抽象思維的發(fā)展，對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升起到了積極的促進(jìn)作用.

2.2.3 “創(chuàng)造”問題的設(shè)計(jì)

在解決問題后，把原問題的條件或結(jié)論中的某些概念等用類比的方法改造成新問題，如可以把平面幾何中的問題類比成立體幾何中的問題、把正弦函數(shù)的有關(guān)命題類比成余弦函數(shù)的有關(guān)問題、把橢圓問題類比成雙曲線問題、把等差數(shù)列類比成等比數(shù)列等等.

案例6 若f（sinx）=2-2cos2x，則f（cosx）= .（4cos2x）

如果把原問題中的sinx與cosx互換位置，會(huì)得到什么結(jié)果？試一試：

若f（cosx）=2-2cos2x，則f（sinx）= . （4cos2x）

如果想得到結(jié)果f（sinx）=4sin2x，那么如何修改原問題中的“條件”呢？這里應(yīng)該注意的問題是這個(gè)倍角公式cos2x=2cos2x-1=1-2sin2x的差異，因此只要把條件改為f（cosx）=2+2cos2x，即可以得到你想要的結(jié)果.

案例7 已知A，B是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）長軸的兩端點(diǎn)，點(diǎn)P為其上動(dòng)點(diǎn)，則kPA·kPB= .（-b2a2）

把原問題條件中的橢圓換成雙曲線，是否還會(huì)得到同樣的結(jié)果？不妨試一試：

已知A，B是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）實(shí)軸的兩端點(diǎn)，點(diǎn)P為其上動(dòng)點(diǎn)，則kPA·kPB= .（-b2a2）

把問題中的概念、性質(zhì)等換成“同類”型的，演變成新問題，通過知識(shí)的遷移，培養(yǎng)了學(xué)生猜想、探究、類比、推理與創(chuàng)造性的思維能力.創(chuàng)設(shè)這樣的問題情景，可以讓學(xué)生在創(chuàng)造的體驗(yàn)中，讓自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的同時(shí)，學(xué)會(huì)尋找“發(fā)現(xiàn)和解決問題”的途徑.

2.2.4 探究性橫向拓展活動(dòng)的設(shè)計(jì)

現(xiàn)代思維科學(xué)認(rèn)為：問題是思維的起點(diǎn)，顯然，加強(qiáng)學(xué)生質(zhì)疑問難能力的培養(yǎng)，即對(duì)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力有極重要的意義.

案例8 《直線與圓的位置關(guān)系》復(fù)習(xí)課部分環(huán)節(jié)

基礎(chǔ)回顧環(huán)節(jié)：直線與圓的位置關(guān)系的分類判斷

問題1：已知圓C：x2+y2=1和直線l：y=kx+2，在下列條件下，判斷它們之間的位置關(guān)系：①k=0；②k=1；③0

問題2：已知圓C：x2+y2=1和直線l：y=x+b，判斷它們之間的位置關(guān)系.（設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)該問題的研究，可以讓學(xué)生抓住一組平行直線與圓位置關(guān)系判定的方法，并探究與問題1的差異性與相關(guān)性，這樣可以讓學(xué)生對(duì)位置關(guān)系有了更深刻的認(rèn)識(shí).）

拓展提升環(huán)節(jié)：直線與圓的位置關(guān)系的拓展應(yīng)用

問題1拓展1：已知圓C：x2+y2=1和直線l：y=kx+2，求直線l被圓C所截線段中點(diǎn)M的軌跡方程.

（設(shè)計(jì)意圖：通過此問題的設(shè)置，可以讓學(xué)生掌握相關(guān)點(diǎn)軌跡方程的求解規(guī)律.）

問題1拓展2：已知圓C：x2+y2=1和直線l：y=kx+2相交于點(diǎn)A，B，且滿足

OA·OB=0，求直線l的斜率.（±77）

問題1拓展3：已知圓C：x2+y2=1和直線l：y=kx+2相交于點(diǎn)A，B，且滿足OA·OB>0，求直線l的斜率范圍.（或OA·OB<0）

（設(shè)計(jì)意圖：以具體問題的解決，讓學(xué)生真正理解直線與圓的位置關(guān)系的實(shí)質(zhì).）

通過對(duì)問題由淺入深的設(shè)置，讓學(xué)生的思維始終處于一種被激活的狀態(tài)，學(xué)生在分析問題、解決問題的過程中加深了對(duì)知識(shí)的理解與鞏固，在體驗(yàn)中領(lǐng)悟直線與圓位置關(guān)系的本質(zhì).在層層遞進(jìn)的問題組中，促進(jìn)學(xué)生完成對(duì)知識(shí)以及相關(guān)思想方法的復(fù)習(xí).通過問題的拓展與延伸，讓知識(shí)間的縱橫聯(lián)系在學(xué)生的實(shí)踐探究中得到升華，思維能力也隨之得到提升，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是通過相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)完成的”指導(dǎo)思想.

2.2.5 題后反思設(shè)計(jì)

荷蘭數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾曾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力”，波利亞也說：“如果沒有了反思，他們就錯(cuò)過了解題的一個(gè)重要而有益的方面”，可見反思對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性，讓師生養(yǎng)成題后反思的習(xí)慣尤其顯得重要，因此在日常的學(xué)習(xí)中不要讓學(xué)生感到“背影已遠(yuǎn)走，往事隨風(fēng)過”.

作為題后反思的問題設(shè)計(jì)，教師一定要考慮解決這些問題后的反思所要達(dá)到的目標(biāo)是什么？主要是對(duì)問題設(shè)計(jì)的反思，如①問題所隱藏的內(nèi)容是否體現(xiàn)單元的完整性？問題是否體現(xiàn)本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，包括知識(shí)和方法等，是否便于學(xué)生進(jìn)行自我規(guī)整；②問題是否抓住了學(xué)生學(xué)習(xí)的薄弱環(huán)節(jié)，并能通過這些問題的解決有效地解決學(xué)生學(xué)習(xí)的困難等；③學(xué)生自覺參與度如何，是否適合學(xué)生間的交流；④問題是否達(dá)到了課前效果的預(yù)測；⑤學(xué)生的相關(guān)數(shù)學(xué)能力是否能夠得到最大限度的提高，等等.

案例9 “集合”單元復(fù)習(xí)的問題設(shè)計(jì)

1.設(shè)全集U=x∈N*x<6，集合A=1，3，B=3，5，則CUA∪B= .

2.集合M={xxx-1>0}，集合N=yy=x12，則M∩N= .

3.集合A=xx2-x-2≤0，B=xx<1，則A∩（CRB）= .

4.已知合集U=R，集合A={y|y=sin（x+1），x∈R}和B={x|x2-x≤0}，

則集合A∩CUB= .

5.已知集合M={x|x2-4<0}，N={x|x=2n+1，n∈Z}，則集合M∩N= .

學(xué)生題后反思的主要內(nèi)容有：①題目中涉及本部分的知識(shí)（點(diǎn)）有哪些？ ②題目中涉及到其它知識(shí)（點(diǎn)）（關(guān)聯(lián)知識(shí)）有哪些？ ③解決此問題最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)有哪些？ ④我最容易出錯(cuò)的地方在哪兒？ ⑤反思中我還想到了什么？等等. 當(dāng)然反思的內(nèi)容還應(yīng)該包括：解題中的重要方法和技巧，注重基本方法的反思；反思同類問題的一般性解題規(guī)律；反思審慎的解題態(tài)度；反思新問題與舊問題之間的聯(lián)系.

當(dāng)然題后反思的方式很多，還可以引導(dǎo)學(xué)生從解題錯(cuò)誤原因、解題思維策略、問題實(shí)質(zhì)異同、一題多解和問題引申拓展等多種角度進(jìn)行觀察、聯(lián)想、分析、思考，教給學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí).通過解題反思，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，嘗試改變認(rèn)識(shí)問題的思路，加強(qiáng)知識(shí)的有效遷移，長期堅(jiān)持便養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣和思維品質(zhì).解題后的反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心動(dòng)力，是同化、探索、發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程.適時(shí)的解題后反思可以深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，學(xué)會(huì)思考，優(yōu)化和拓寬學(xué)生的解題思路，幫助學(xué)生理解問題本質(zhì)，提高學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性和廣闊性，提升解決問題境界.

章建躍教授說過，改變目前的教學(xué)現(xiàn)狀，抓住教學(xué)的整體性、系統(tǒng)思維和單元教學(xué)等關(guān)鍵詞，這就是對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展做出了貢獻(xiàn)，而實(shí)施單元教學(xué)是把整體性教學(xué)和系統(tǒng)思維的培養(yǎng)融為一體的一種有效途徑.復(fù)旦大學(xué)的李大潛院士說過“數(shù)學(xué)教育看起來只是一種知識(shí)教育，但本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育，以傳授與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，通過嚴(yán)格認(rèn)真的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，可以使學(xué)生具備一些特有的素質(zhì)和能力.”所以說對(duì)于核心素養(yǎng)的培育，應(yīng)該基于素質(zhì)教育，是對(duì)素質(zhì)教育的提升和超越，在具體的實(shí)施中，首先應(yīng)該落實(shí)在課程的開發(fā)與設(shè)計(jì)上，落實(shí)在學(xué)科教學(xué)活動(dòng)中.建議在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中要樹立育人的理念，要以核心素養(yǎng)為目標(biāo)和依據(jù)，認(rèn)真學(xué)習(xí)與研究課程的理念、目標(biāo)、結(jié)構(gòu)和內(nèi)容等，正確理解數(shù)學(xué)學(xué)科的特征和本質(zhì)，將育人理念滲透到學(xué)科內(nèi)容與教學(xué)的設(shè)計(jì)中，將核心素養(yǎng)目標(biāo)融合到教學(xué)設(shè)計(jì)中，通過科學(xué)合理的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)自我發(fā)展、自我超越、自我升華 ，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的感染下，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，發(fā)展學(xué)生的理性精神，讓學(xué)生的核心素養(yǎng)得到自主發(fā)展.因此說核心素養(yǎng)的培養(yǎng)需要教育工作者以此為己任，用心學(xué)習(xí)和研究，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)到日常工作的方方面面.

參考文獻(xiàn)

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[2] 莊志剛.合理設(shè)置，激發(fā)思維[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（5）.