對香港高中三角函數(shù)教材的研究

郝保國

【摘 要】 三角函數(shù)知識是高中數(shù)學的核心知識，因此，三角函數(shù)教材的編寫顯得特別重要.通過對香港三角函數(shù)教材的研究，發(fā)現(xiàn)香港教材對三角知識的定位科學，知識內容呈現(xiàn)豐富，公式與定理的嚴格性水平較高，例習題的設置層次分明且綜合程度高，而且教材注重基礎性、探索性、開放性，與實際生活聯(lián)系緊密.這些都對大陸三角函數(shù)課程建設與教材編寫很有啟發(fā)，值得借鑒.

【關鍵詞】 定位；知識呈現(xiàn)；嚴格性水平；綜合程度；銜接

函數(shù)是高中數(shù)學知識框架中最重要的支柱，三角函數(shù)是函數(shù)知識的重要組成部分.大家知道，大學微積分是以函數(shù)研究為對象的.因此，三角函數(shù)知識的強化或弱化對大學微積分學習影響較大.究竟高中教材對三角函數(shù)應做怎樣的取舍，才能不對后續(xù)學習產(chǎn)生負面的影響呢？我們不妨研究一下香港教材.香港數(shù)學教育一向受英美影響較深，很有成績.

本文研究選取的是朗文香港教育出版社2009年出版的《新高中數(shù)學與生活》[1]系列教材，其中與三角函數(shù)有關的兩本教材是《新高中數(shù)學與生活（必修部分）4B》（下文簡稱《必修4B》）與《新高中數(shù)學與生活（延伸部分）單元二——代數(shù)與微積分1》（下文簡稱《微積分1》）.《新高中數(shù)學》教材系列在香港影響較大.希望通過我們的研究，能讓教材與教參編寫者有所借鑒，對一線教師有所裨益.

1 三角函數(shù)在高中教材中的定位

香港目前使用的各種版本的高中數(shù)學教材，都是依據(jù)2007年制訂的《數(shù)學課程及評估指引（中四至中六）》編寫的.教材內容分必修部分和延伸部分.朗文香港教育出版公司出版的必修教材共6本，《必修4B》是其中的一本，包涵了三角函數(shù)最基礎的知識及簡單應用.《必修4B》的序言指出：“為所有學生提供必要的數(shù)學基礎，配合他們日后在不同領域進修的需要.”延伸部分備有兩個選修單元，單元一有教材2本，單元二有教材3本.《微積分1》是單元二的第1本教材，屬選修教材，包涵的三角函數(shù)知識是《必修4B》所選三角函數(shù)內容的加深與拓展，絕大部分知識與大學數(shù)學銜接有關聯(lián).《微積分1》的序言指出：“集中在更深層次的數(shù)學上，為希望學習高等數(shù)學的學生奠下鞏固的代數(shù)與微積分基礎”；“冀能對學生日后升學或從事與數(shù)學有關聯(lián)的專業(yè)，有所裨益”.從這里可以看出，《微積分1》是供相當于大陸的理科學生選修的.

香港教材將“三角函數(shù)”最基礎的一部分內容定位為必修內容，將難度稍大且與大學數(shù)學銜接的內容定位為選修內容，對以后不同方向發(fā)展的學生作了不同的要求.反觀大陸2007年編寫的“人教A版”高中數(shù)學教材，將三角函數(shù)定位為必修內容，學生高中階段所學的所有三角函數(shù)知識全編寫在《必修4》[2]中.

2 三角函數(shù)知識在教材中的具體呈現(xiàn)

《必修4B》中的三角函數(shù)內容有132頁（每頁接近4A紙大?。?，大約18課時；《微積分1》中的三角函數(shù)內容有90頁，大約14課時.兩本書共有三角函數(shù)內容222頁，大約共需32課時.

《必修4B》中三角函數(shù)知識呈現(xiàn)在第10章“續(xù)三角”與第11章“三角學的應用：二維空間”.第10章的具體編排是：基礎知識重溫；101旋轉角：處于標準位置上的角，四個象限；102 任意角的三角比：任意角的三角比的定義，三角比的正負值；103三角函數(shù)的圖像：y=sinθ的圖像，y=cosθ的圖像，y=tanθ的圖像，三角函數(shù)的周期性；104三角方程的圖解法；105三角恒等式：（180°-θ）的三角比，（180°+θ）的三角比，（360°-θ）的三角比，（360°+θ）的三角比，（90°+θ）的三角比；106 利用代數(shù)方法解三角方程；數(shù)學探究：直角三角形的正切值；IT活動：三角比的正負值，利用單位圓繪畫y=sinθ的圖像；點滴分享知多些：交流電與三角學在港燈電力供應中的應用；答案.第11章的具體編排是：基礎知識重溫；111 三角形面積：三角形面積，海倫公式；112正弦定理；113 余弦定理；114 三角學上的二維空間應用題：回顧，二維空間的應用題；數(shù)學探究：圓內接四邊形的面積；答案.

《微積分1》中三角函數(shù)知識呈現(xiàn)在第4章“續(xù)三角函數(shù)（一）”與第5章“續(xù)三角函數(shù)（二）”中.第4章的具體編排是：41弧度制：度與弧度制的轉換，透視弧度法求弧長及扇形的面積；42三角函數(shù)：三角函數(shù)定義，三角關系，三角函數(shù)的圖像；43解簡易三角方程；答案.第5章的具體編排是：51 復角公式：正弦的復角公式，余弦的復角公式，正切的復角公式；52 二倍角公式；53 積化和差公式與和差化積公式；答案.

《必修4B》介紹了海倫公式：△ABC的面積=s（s-a）（s-b）（s-c），教材還不避繁瑣用代數(shù)方法嚴格地證明了海倫公式.《微積分1》第4章介紹了y=cscθ與y=secx兩個函數(shù).這樣，誘導公式中多了1+cot2θ=csc2θ、secθ=1cosθ等公式.這些都是人教A版《必修4》中沒有的知識. 《微積分1》第5章介紹了積化和差公式與和差化積公式，并給予了簡單的證明.因為有了這些公式，《微積分1》中出現(xiàn)了：在△XYZ中，證明sinX+sinY+sinZ=4cosX2cosY2cosZ2這類例題，也出現(xiàn)了：化簡

sinπ9cosπ9+cosπ3+cos5π9+cos7π9這類習題.人教A版《必修4》給出了例題： 證明（1）sinαcosβ=12sin（α+β）+sin（α-β）；（2）sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2.這是積化和差與和差化積兩個公式，其他6個公式的證明放在習題中，但教材沒有配套與這8個公式相應的練習題.

三角方程內容在《必修4B》和《微積分1》中都出現(xiàn)過，由于沒有編排反三角函數(shù)的知識，三角方程都是比較簡單的，若不是特殊函數(shù)值就需查三角函數(shù)值表來解決.《微積分1》在《必修4B》的基礎上，介紹了y=cotx、y=cscθ、y=secx的圖像、周期性以及定義域與值域，但沒介紹這些函數(shù)的單調性.人教A版《必修4》介紹了正弦、余弦、正切三個函數(shù)的單調性，并介紹了三角函數(shù)更一般形式的單調性的求法.恒等式證明在《必修4B》與《微積分1》中都有涉及.《必修4B》的恒等式證明大多利用誘導公式完成，難度較小；因《微積分1》介紹過積化和差與和差化積公式，所以《微積分1》中給出的恒等式證明題，若從難度上講，大多比人教A版《必修4》中的恒等式證明題難度要大.

3 知識的呈現(xiàn)模式與嚴格性水平

3.1 章首與章尾的內容與結構

《必修4B》與《微積分1》呈現(xiàn)的三角內容共有4章.每章章首都標明了學習重點，并給出與本章內容密切相關的一個生活中的實際例子，起提綱摯領及導入新知識的作用；每章章尾附有本章摘要，起歸納總結的作用.以《微積分1》的第5章“續(xù)三角函數(shù)（二）”為例，章首標明的學習重點有3點；生活中的實際例子是“聲波之總和”：在大自然中，聲波之傳播可以用正弦函數(shù)表示.當幾個聲波交疊時，只要把代表各聲音的波加起來，便可得出合波.對于兩個相同振幅的聲波W1和W2，其合波可寫成函數(shù)y=sinu+sinv.這樣就很自然地連接上和差化積公式.章末有重要詞匯與重要概念.重要詞匯有4條，均是中英文對照；重要概念包含19個重要公式.知識結構完整，內容前后呼應.

人教A版《必修4》每章章首有類似于導言的文字，章末有小結.“導言”簡明扼要，也起到了提綱摯領的作用.章末有小結，包含本章知識結構及回顧與思考兩個方面.知識結構一般用框圖形式呈現(xiàn)出來；回顧與思考有3點，回顧了本章的重要知識點，還提出了幾個相關的問題，這對進一步鞏固學生所學知識起到了較好的作用.

3.2 重要概念的引入與公式的推導

《必修4B》與《微積分1》在重要概念的引入上，一般是在舊知識的基礎上拓展到新知識，從特殊情形拓展到一般情形.比如任意角的三角比定義，《必修4B》先從銳角θ說起，利用直角三角形寫出銳角θ的三角比，再定義一般角θ的三角比：將任意角θ放在坐標平面上，設P（x，y）是角θ終邊上的任一點（異于角的頂點），定義sinθ=yr，cosθ=xr，tanθ=yxx≠0，其中r=x2+y2.這種引入重要概念的方法符合學生的認知規(guī)律.人教A版《必修4》的做法是，設角θ的終邊與單位圓的交點為P（x，y），于是sinθ=y，cosθ=x，定義表述很簡潔.比較而言，《必修4B》比人教A版《必修4》在細節(jié)的處理上要到位一些.教材中比較清晰地討論了特殊角0°、90°、180°、270°和360°的三角比，利用數(shù)形結合的方法使基礎一般的學生能很好地理解與記憶.

在重要公式的推導上，《必修4B》與《微積分1》的做法與人教A版《必修4》有些不同.例如推導復角公式，《微積分1》先推導sin（A+B）的結論：設在△OPQ中，過頂點O作OR⊥PQ，R是垂足，并設∠POR=A，∠ROQ=B.利用△POQ面積=△POR面積+△ROQ面積，證明了sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.教材在此處提示了該公式對任意角也成立.因為角A與角B不是任意角，這樣的推導過程不夠嚴謹.人教A版《必修4》第三章是先推導cos（α-β）的結論的，證明過程中設α、β是任意角，利用單位圓和向量的方法完成了證明.這樣證明難度稍大，但證明過程非常嚴謹.

3.3 定理、法則與公式的嚴格性水平

嚴格性一般劃分為四個水平層次：水平1：直接給出理論，沒有任何解釋或證明；水平2：通過例子解釋理論；水平3：較為嚴格地解釋理論的正確性，但不進行證明；水平4：嚴格地證明理論.

《必修4B》與《微積分1》兩本教材中，正弦的兩角和公式實際是由特例解釋的，算不上嚴格的證明，達到嚴格性水平2；誘導公式、海倫公式、正弦定理、余弦定理、弧長公式、扇形面積公式、同角三角函數(shù)關系式、正弦兩角差公式、余弦的兩角和與兩角差公式、正切的兩角和與兩角差公式、二倍角公式、積化和差公式、和差化積公式，均是通過嚴格證明得到的，達到了嚴格性水平4.

人教A版《必修4》中，與-α和π-α相關的誘導公式、正弦的兩角和與兩角差公式、正切的兩角和與兩角差公式、正弦與余弦的二倍角公式都是直接給出的，沒有嚴格證明，達到嚴格性水平1；與π2+α相關的誘導公式只給出了嚴格的解釋，并沒有證明，達到了嚴格性水平3；與π+α和π2-α相關的誘導公式、余弦的兩角和與兩角差公式均通過了嚴格的證明，達到了嚴格性水平4.

可見香港教材的嚴格性水平整體比較高.人教A版《必修4》的不少公式是直接給出，可能編者認為這些公式的證明并不難，學生可以舉一反三自己完成.

4 例習題的設置及綜合性程度

4.1 例習題的設置比較

《必修4B》與《微積分1》的例習題編寫很有特色，層次分明，坡度合理.課內有例題，大多深入淺出，展示不同的數(shù)學技巧.緊跟例題后面有即時練習，是些與例題一一對應的題目，以鞏固學生的知識，有時后面還配有綜合性稍強的跟進練習或課內練習.課后一般配有不少的練習題，按程度分為初階和進階，并備有開放式題目.每章末配有總復習題，按程度分為初階、進階、多項選擇題及公開試題目，并為能力較強的學生提供香港數(shù)學競賽題目.總復習外還配有少量的數(shù)學探究題與IT活動題.設置數(shù)學探究題的目的是透過富有趣味性的題目，培養(yǎng)學生數(shù)學解難題技巧，激發(fā)學生探索與研究的興趣；設置IT活動題的目的是讓學生熟悉新技術的運用，幫助學生對數(shù)學問題的深度理解.

以《必修4B》的第10章“續(xù)三角”為例統(tǒng)計：例題19個，即時練習題19個，跟進練習題15個，課堂練習題5個.課外練習中，初階練習題53個，其中有4個開放式練習題；進階練習題48個.本章總復習題中，初階練習題19個，其中有1個開放式練習題；進階練習題26個，多項選擇題14個，公開試題目5個，香港競賽題4個，數(shù)學探究問題2個，IT活動題目6個.

對應地對人教A版《必修4》第1章“三角函數(shù)”進行統(tǒng)計：例題25個，課內習題58個，課外練習A組題61個，B組題15個，探究題7個，IT活動題目1個.由此可見，人教A版《必修4》課內練習還是做的很扎實.課外練習共76個題，比《必修4B》的第10章“續(xù)三角”課外練習159個少了83個.

4.2 例習題的綜合性程度

例習題的綜合性分為四種類型：類型1：與三角領域內其他知識的綜合；類型2：與數(shù)學其他領域內知識的綜合；類型3：與其他學科知識的綜合；類型4：與具有實際生活背景的問題綜合.

仍以《必修4B》的第10章“續(xù)三角”為例，根據(jù)上述綜合性的分類標準來統(tǒng)計：例題中屬類型1有14個，類型2有2個，類型3有2個，類型4有1個；習題中屬類型1有159個，類型2有30個，類型3有14個，類型4有12個.由此可見，《必修4B》的第10章“續(xù)三角”中的例習題，主要體現(xiàn)了三角知識在三角領域內的運用，突出對三角知識的理解與掌握，同時也兼顧到數(shù)學學科內各分支知識的聯(lián)系，以及三角知識在其他學科上的綜合應用.

人教A版《必修4》第1章“三角函數(shù)”中，例題中屬于類型1的18個，類型2的3個，類型3的2個，類型4的4個；習題中屬類型1的61個，類型2的3個，類型3的2個，類型4的6個.可見，人教A版《必修4》主要關注學生對三角基礎知識的理解和掌握，也注重三角知識在實際生活中的應用.

5 啟示

5.1 香港教材內容豐富詳實、系統(tǒng)性較強

相對于英國和美國的三角函數(shù)教材，香港教材少了反三角函數(shù)內容.但相對于人教A版《必修4》，香港教材多了簡單的三角方程、海倫公式、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)等.人教A版《必修4》雖然也出現(xiàn)過積化和差與和差化積8個公式，但因這8個公式只出現(xiàn)在例題和習題中，教材并沒有把它們當公式用，也沒有編排相應的鞏固練習題，加之高考又不考，所以，這8個公式學生學了等于沒學，在學生的知識鏈上沒有留下多少記憶的痕跡.這樣看，其實香港教材還多了積化和差與和差化積公式.我們常將三角學劃分為“三角函數(shù)與方程”、“三角恒等變換”和“三角學的應用”.相對于這種劃分，香港三角函數(shù)教材內容是完整的、豐富詳實的，系統(tǒng)性較強.人教A版《必修4》相對于香港教材和2003年前的大陸舊教材，刪減內容過多.沒有了簡單的三角方程，學生連已知三角函數(shù)值求角都不會做，因而連一些簡單的三角函數(shù)應用問題也處理不了；不學積化和差與和差化積公式，若有稍微綜合一點的三角恒等變形或證明問題，學生是沒辦法處理的.我們新的課程標準和新教材編寫，要借鑒香港教材對三角函數(shù)內容的取舍方法.

5.2 關注三角函數(shù)知識與大學數(shù)學的銜接

我們都知道，無論是大學文科數(shù)學或理工科數(shù)學，在學習微積分內容時，都會學習求函數(shù)的定義域、值域、極限、微分、積分等知識，都會用到6個三角函數(shù)和4個反三角函數(shù)的知識及恒等變換技巧.從2003年開始，雖然高校出版的大學微積分教材多少會參照高中的課程標準，但是很少能找到銜接好高中知識的大學教材，因此大多數(shù)微積分教材得不到大一與大二學生的認可.由于高校的錄取數(shù)量逐年增加，參加高考的學生75%以上都能被不同層次的各類大學錄取，因此，不少二本或三本大學新生的數(shù)學基礎并不算好，也不具備自學高中三角函數(shù)知識的能力；加之大學沒有安排時間補習那些被弱化和被刪減的知識，這樣，相當一部分學生學習大學微積分很吃力，甚至不及格.參考英美各國教材和香港的教材，我們要樹立長遠的課程和教材理念，不要過度弱化或刪減高中三角函數(shù)核心內容，為使學生學好大學微積分，高中應為他們打好相應的基礎.

5.3 進一步凸顯習題設置的層次性

習題既是知識的應用，又是知識和能力的再生.從上文研究可以看出，香港教材在習題設置上很有創(chuàng)意，內容豐富、層次感強.這種細化分層具有一定的彈性，照顧到了不同基礎學生的意愿，讓他們有很大余地去選擇課內與課外的練習題；同時，這種細化分層使習題具有很好的坡度，知識點要求從單一到綜合，技巧要求從易到難，容易使學生達到鞏固和提高的目的.而且書中還附有答案，學生在練習過程中可以得到及時反饋，便于學生自學.我們的教材中習題分層簡單，習題量小，因此學生的選擇余地就小.不少老師為了彌補這一缺陷，就組織學生去找書商購買課外參考資料.經(jīng)常因這些參考資料的質量參差不齊，影響了學生的課外學習.我們的教材編寫者應該向香港的同行學習，學習他們對習題設置的理念與方法，能使我們的教材進一步凸顯習題的層次性，發(fā)揮習題應有的功能和價值.

參考文獻

[1] 文炳輝 楊仲明 張興仁.新高中數(shù)學與生活系列教材[M].香港：朗文教育出版社，2009年.

[2] 人民教育出版社 課程教材研究所 中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修4[M].北京：人民教育出版社，2007年.