角接觸球軸承剛度研究

張振強(qiáng)，王東峰，周海波

（1.洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039；2.河南省高性能軸承技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽 471039；3.滾動(dòng)軸承產(chǎn)業(yè)技術(shù)創(chuàng)新戰(zhàn)略聯(lián)盟，河南 洛陽 471039）

角接觸球軸承剛度研究

張振強(qiáng)1,2,3，王東峰1,2,3，周海波1,2,3

（1.洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039；2.河南省高性能軸承技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽 471039；3.滾動(dòng)軸承產(chǎn)業(yè)技術(shù)創(chuàng)新戰(zhàn)略聯(lián)盟，河南 洛陽 471039）

針對(duì)角接觸球軸承的接觸角、軸向力以及軸承剛度之間的關(guān)系問題，通過對(duì)軸承建立靜力平衡方程，對(duì)具有不同接觸角(其它參數(shù)相同)的軸承進(jìn)行剛度研究。研究表明：在相同軸向力作用下，軸承自由接觸角越大，其軸向剛度越大，但軸向位移、徑向剛度以及剛度比值(徑向剛度/軸向剛度)都越來越?。辉谙嗤佑|角情況下，軸向力越大，其軸向位移、軸向剛度和徑向剛度都越來越大，但其剛度比值會(huì)越來越小。

角接觸球軸承；接觸角；軸向力；剛度

1 前言

角接觸球軸承的剛度計(jì)算是一個(gè)典型的非線性問題，其剛度值隨軸承實(shí)際受力情況的不同而呈非線性變化的趨勢(shì)；即使在相同受力情況下，軸承內(nèi)部參數(shù)的不同也將引起剛度結(jié)果產(chǎn)生差異。雖然文獻(xiàn)[1,2]等都對(duì)軸承剛度進(jìn)行過研究，但研究對(duì)象均為某特定參數(shù)軸承，沒有進(jìn)行過不同軸承之間的對(duì)比，基于此，本文通過對(duì)軸承建立靜力平衡方程，對(duì)具有不同接觸角(其它參數(shù)相同)的軸承進(jìn)行剛度研究，以期能夠揭示軸承剛度的基本規(guī)律。

2 符號(hào)說明

A—— 溝道溝曲率中心之間的距離，

S—— 內(nèi)、外滾道溝曲率中心軌跡之間的距離，

R—— 滾道溝曲率中心軌跡半徑，

Q—— 球-滾道法向載荷，

δ—— 位移或接觸變形，

δa—— 相對(duì)軸向位移，

δr—— 相對(duì)徑向位移，

ri—— 內(nèi)溝曲率半徑，

ro—— 外溝曲率半徑，

dm—— 軸承節(jié)圓直徑，

Z—— 滾動(dòng)體數(shù)量，

θ—— 相對(duì)角位移，

Dw—— 滾動(dòng)體直徑，

αo—— 自由接觸角，

α—— 安裝接觸角，

φ—— 方位角，

Fa—— 軸向力，

Fr—— 徑向力，

M—— 力矩。

3 球軸承剛度計(jì)算

如圖 1 所示，單個(gè)球在外部載荷Q作用下，內(nèi)、外滾道溝曲率中心之間的距離s將隨著滾道之間的法向趨近量而變化，具體如式（1）、（2）所示[3]。

圖1 球-滾道接觸

圖2 載荷作用后溝曲率中心軌跡

對(duì)于球軸承而言，當(dāng)其受到外部的軸向力Fa、徑向力Fr以及傾覆力矩M后，軸承內(nèi)、外滾道將產(chǎn)生相對(duì)軸向位移δa、相對(duì)徑向位移δr以及相對(duì)角位移θ，如圖 2 所示，如果認(rèn)為軸承外圈在空間上是固定的，那么在任意滾動(dòng)體位置處，內(nèi)外圈溝曲率中心之前的距離s表達(dá)式如下[3]：

將式（3）代入式（2）可得：

圖3 內(nèi)溝曲率中心軌跡半徑示意圖

式中，Ri為內(nèi)滾道溝曲率中心軌跡半徑，具體如圖（3）所示，由圖可得其計(jì)算表達(dá)式如式（5）所示：

結(jié)合滾動(dòng)體-滾道接觸的載荷與位移關(guān)系（6），即可得到單個(gè)滾動(dòng)體作用于滾道上法向載荷的計(jì)算方程。

在具有多個(gè)滾動(dòng)體的球軸承內(nèi)，可列靜力平衡方程如下[3,4]：

其中α為工作接觸角，可由式（10）確定。

聯(lián)立（7）、（8）、（9）式求解并對(duì)位移進(jìn)行求導(dǎo)，即可求得內(nèi)、外滾道間的相對(duì)位移和各方向的剛度，可通過Newton-Raphson法進(jìn)行求解，剛度矩陣解析表達(dá)式如式(11)所示。

4 結(jié)果分析

以7005角接觸球軸承為例進(jìn)行計(jì)算分析，軸承參數(shù)如表 1 所示，下文從四個(gè)方面對(duì)具有不同接觸角的軸承(其余參數(shù)均相同)進(jìn)行了對(duì)比分析，分別為軸向力與軸向位移、軸向力與軸向剛度、軸向力與徑向剛度、剛度比(徑向剛度/軸向剛度）。

4.1 軸向力—軸向位移

圖4 為角接觸球軸承軸向力與軸向位移關(guān)系圖，從圖中可以看出：

（1）在相同軸向力作用下，軸承自由接觸角越大，其軸向位移越??；以軸向力為160N為例，15°、18°、25°、30°、35°、40°、45°接觸角軸承的軸向位移分別為：10.3μm、8.1μm、5.1μm、3.9μm、3.2μm、2.6μm、2.2μm；

（2）在相同接觸角情況下，軸向力越大，其軸向位移越大；在軸向力由0升至640N過程中，15°、18°、25°、30°、35°、40°、45°接觸角軸承的軸向位移分別由0增至22.1μm、18.2μm、12μm、9.5μm、7.8μm、6.5μm、5.6μm。

4.2 軸向力—軸向剛度

圖5 為角接觸球軸承軸向力與軸向剛度關(guān)系圖，從圖中可以看出：

表1 7005軸承參數(shù)

圖4 軸向力 — 軸向位移

圖5 軸向力 — 軸向剛度

（1）在相同軸向力作用下，軸承自由接觸角越大，其軸向剛度越大；以軸向力為160N為例，15°、18°、25°、30°、35°、40°、45°接觸角軸承的軸向剛度分別為：26.8N/ μm、32.6 N/μm、49.1 N/μm、62.8 N/μm、77.4 N/μm、92.4 N/μm、107 N/μm；

（2）在相同接觸角情況下，軸向力越大，其軸向剛度越大；以15°角接觸球軸承為例，當(dāng)軸向力為10N、20N、40N、80N、160N、320N、640N時(shí)，其軸向剛度分別為：8.3 N/μm、10.9 N/ μm、14.4 N/μm、19.4 N/μm、26.8 N/μm、38 N/μm、55.5 N/μm。

4.3 軸向力—徑向剛度

圖6 為角接觸球軸承軸向力與徑向剛度關(guān)系圖，從圖中可以看出：

（1）在相同軸向力作用下，軸承自由接觸角越大，其徑向剛度越小；如在160N軸向力作用下，15°、18°、25°、30°、35°、40°、45°接觸角軸承的徑向剛度分別為：130 N/ μm、121 N/μm、101 N/μm、87.6 N/μm、75.1 N/μm、63.4 N/μm、52.4 N/μm；

（2）在相同接觸角情況下，軸向力越大，其徑向剛度越大；如在15°接觸角情況下，當(dāng)軸向力為10N、20N、40N、80N、160N、320N、640N時(shí)，其軸向剛度分別為：53.9 N/μm、67.7 N/μm、84.6 N/μm、105 N/μm、130 N/μm、158 N/μm、192 N/μm。

圖6 軸向力 — 徑向剛度

4.4 剛度比值

圖7 為角接觸球軸承徑向剛度與軸向剛度比值關(guān)系圖，從圖中可以看出：

圖7 剛度比(軸向剛度/徑向剛度）

（1）在相同軸向力作用下，軸承自由接觸角越大，其剛度比值越小；如在160N軸向力作用下，15°、18°、25°、30°、35°、40°、45°接觸角軸承的剛度比值分別為：4.8、3.7、2.1、1.4、1.0、0.7、0.5；

（2）在相同接觸角情況下，軸向力越大，其比值越?。蝗缭?5°接觸角情況下，當(dāng)軸向力為10N、20N、40N、80N、160N、320N、640N時(shí)，其剛度比值分別為：6.5、6.2、5.9、5.4、 4.8、4.2、3.5；

（3）接觸角越小，剛度比值變化范圍越大，在軸向力由10N升至640N過程中，15°接觸角軸承的剛度比值由6.5降至3.5，18°接觸角軸承的剛度比值由4.5降至2.9，25°接觸角軸承的剛度比值由2.3降至1.8，30°、35°、40°和45°接觸角軸承的剛度比值相對(duì)穩(wěn)定，分別為1.4、1.0、0.7和0.5，變化較小。

5 結(jié)束語

角接觸球軸承的剛度與其所受軸向力呈非線性的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且與軸承內(nèi)部參數(shù)密切相關(guān)，故在討論軸承的剛度問題時(shí)，必須明確指出其所受軸向力的大小，而對(duì)于其內(nèi)部參數(shù)，則需要通過軸承廠商進(jìn)行獲取。

研究表明，對(duì)于僅接觸角不同(其它參數(shù)完全相同)的角接觸球軸承而言，在相同軸向力作用下，軸承自由接觸角越大，其軸向剛度越大，但軸向位移、徑向剛度以及剛度比值(徑向剛度/軸向剛度)都越來越??；在相同接觸角情況下，軸向力越大，其軸向位移、軸向剛度和徑向剛度都越來越大，但其剛度比值(徑向剛度/軸向剛度)會(huì)越來越小。

本文的研究對(duì)軸承預(yù)緊力的選擇也有重要的指導(dǎo)意義，用戶可根據(jù)所需的軸承剛度，對(duì)軸承的預(yù)緊力進(jìn)行調(diào)節(jié)。目前，各大軸承廠商會(huì)在其發(fā)行的軸承樣本中指出各自軸承所需的預(yù)緊力及對(duì)應(yīng)剛度，這為常規(guī)軸承的恰當(dāng)使用提供了方便，但對(duì)于非常規(guī)軸承的研究和使用，本文提供了有效的研究方法。

[1] 陳時(shí)錦,張春玉. 軸承剛度矩陣的解析推導(dǎo)與計(jì)算機(jī)求解[J]. 軸承,2006(2)：1-4.

[2] 李忠杰,王樹宗. 角接觸球軸承剛度矩陣的理論推導(dǎo)與計(jì)算[J].軸承,2007(9)：1-3.

[3] Harris T A, Kotzala M N. 滾動(dòng)軸承分析［M］．羅繼偉，馬偉，楊咸啟，等譯．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2010.

[4] 萬長(zhǎng)森．滾動(dòng)軸承的分析方法［M］．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1987.

（編輯：王立新）

Study on stiffness of angular contact ball bearing

Aiming at the relationship among contact angle, axial force and stiffness of angular contact ball bearing, the paper studies the stiffness of the bearings with different contact angles (the other parameters are same) by establishing the static equilibrium equation. Research shows that, under the same axial force, the bigger the free contact angle is, the bigger the axial rigidity is, but the axial displacement, radial stiffness and stiffness ratio (radial stiffness / axial stiffness) are getting smaller. Under the same contact angle, when the axial force is bigger, the axial displacement, the axial stiffness and the radial rigidity will be greater, but the stiffness ratio will be smaller..

angular contact ball bearing; contact angle; axial force; stiffness

TH133.33+1

A

1672-4852（2017）01-0008-04

2017-03-03.

張振強(qiáng)（1987- ），男，工程師.

河南省重大科技專項(xiàng)《機(jī)器人專用軸承關(guān)鍵技術(shù)研究及產(chǎn)業(yè)化》(161100210800 ).

Zhang Zhenqiang1,2,3, Wang Dongfeng1,2,3, Zhou Haibo1,2,3

(1.Luoyang Bearing Science & Technology Co.,Ltd.,Luoyang 471039, China; 2.Henan Key Laboratory of High Performance Bearing Technology,Luoyang 471039,China; 3. Strategic Alliance for Technology Innovation in Rolling Bearing Industry,Luoyang 471039,China )