借助幾何直觀 助力自主探索

曹克凡

《數(shù)學課程標準（2011年版）》明確指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。由此可見，幾何直觀對學生而言是一種有效的學習方法，對教師而言是一種有效的教學手段，它是數(shù)形結合思想的體現(xiàn)，在整個數(shù)學學習過程中發(fā)揮著舉足輕重的作用，有助于提高課堂教學效果。那么在數(shù)學課堂上，如何借助幾何直觀，來幫助學生自主探索呢？下面筆者結合教學，談一談具體的想法和做法。

借助幾何直觀，激活探究思路

幾何直觀可以將相對抽象的思考對象“圖形化”，把數(shù)學推理過程變得直觀，讓學生展開形象思維。例如，教學“解決問題的策略——轉化”時，出示問題， 讓學生思考兩個圖形的面積相等嗎？學生首先憑借直觀感覺，進行猜測。有的學生認為一樣大，但又不太確定。怎么辦？在問題情境的驅使下，激發(fā)了學生產生自主探索的欲望，喚醒了學生原有認知中的體驗，主動去尋求辦法，不知不覺地開始探究。同學們通過在圖上畫一畫，算一算，或動手剪一剪、拼一拼等活動，借助眼前圖形中可看見的東西，進行思考和想象，經過體驗和嘗試，最終找到了切實可行的辦法，即通過把原來的兩個不規(guī)則圖形轉化成長方形后，再比較面積的大小就變得簡單容易多了。在這個活動過程中，不僅借助幾何圖形，發(fā)展了學生的空間想象力。同時，讓學生深切地感受到轉化策略在學習中的重要意義和價值。整個教學活動自始至終，學生是在借助幾何直觀來觀察、思考、分析、想象，在對比中不斷辨析，使得研究對象變得顯而易見，變原本復雜而抽象的問題簡單化、形象化，有效助推了自己探索解決問題的思路，活躍了思維，打通了思路，活用了思想，直觀地理解了數(shù)學。

借助幾何直觀，激活探究方法

有些數(shù)學的研究對象是外顯的、直觀的，還有很多數(shù)學的研究對象是隱性的、抽象的，這是數(shù)學的基本特點。但是，這些抽象的對象是可以追溯其源頭的，它的源頭一定是具體的。在數(shù)學中，需要依托幾何直觀去想象和思考抽象的問題。所以，讓學生養(yǎng)成畫圖習慣，學會從“數(shù)”與“形”兩個角度認識數(shù)學，運用幾何直觀就可以借助于不受語言束縛的“心理圖像”，使探究方法活起來。例如，在教學“平均數(shù)”時，有這樣一道題：“李陽的期末考試成績單上的數(shù)學成績不小心被弄臟看不清了，你能幫助他算出數(shù)學得多少分嗎？”解答時，教師引導學生畫出第二幅圖。

學生就能根據(jù)平均數(shù)的意義和圖形得出簡捷的解法：85+（3+4）=92（分）。由此可以看出，利用數(shù)形結合由數(shù)學問題的條件畫出圖形，運用幾何直觀，可以使學生把抽象的算理形象化、直觀化，更有助于學生理解知識其內部的因果聯(lián)系，讓探究方法活起來。

借助幾何直觀，激活探究過程

著名物理學家楊振寧說過：每一個物理模型都有一種幾何的表示，反之，每一種幾何都可以找到一個物理模型?？梢姡瑤缀沃庇^與“邏輯”“推理”密不可分，直觀是抽象的基礎，也是推理的基礎。幾何直觀會把看到的與以前學到的結合起來，通過思考、想象，把數(shù)量關系的符號形式與幾何圖形形式有機結合，從而形成分析、研究、解決問題的數(shù)學思想和策略。這是數(shù)學非常重要的思維方式。

在數(shù)學教學中，教師要為學生提供典型的習題，善于“借題發(fā)揮”，有效激活學生探究活動的過程。例如，教學 “+++”時，學生首先想到可以先通分算出得數(shù)。但是，如果僅僅就此止步，這道題更多的“營養(yǎng)的成分”就流失，更重要的思維價值沒有被挖掘?？梢约ぐl(fā)學生：這道算式還隱藏著什么規(guī)律呢？學生觀察發(fā)現(xiàn)，第一個加數(shù)是，后面的每個數(shù)都是前一個加數(shù)的二分之一。然后，繼續(xù)追問：如果在這個算式的后面繼續(xù)寫下去，應該是？如果仍然先通分再計算，方便嗎？學生搖頭并思考究竟有沒有更加簡捷的方法呢？進而繼續(xù)引導：想一想，我們在研究分數(shù)時，常常用圖形來表示分數(shù)。如果用這個正方形表示單位“1”，你能表示出算式中的每一個分數(shù)嗎？

學生在圖中涂色表示出每一部分的分數(shù)后，進一步觀察能否有什么新的發(fā)現(xiàn)？讓學生把數(shù)和圖形聯(lián)系起來，不斷觀察和感悟，最終會發(fā)現(xiàn)正方形中的涂色部分就表示這4個分數(shù)的和，用正方形減去空白部分，就是涂色部分。即1-=。這樣，將復雜的加法計算轉化成簡單的減法計算。在這個過程中，學生將數(shù)或算式跟圖形結合起來，激活了探究過程，體驗了運用轉化思想來解決問題的策略。

在解決數(shù)學問題的過程中，教師要善于借助幾何直觀，充分利用幾何直觀的價值，使分析思維和直覺思維互補互用，讓學生的自主探索活動活起來。

（作者單位：江蘇省徐州市星光小學）