“輕板模型”的特點及擴展

鄔劍峰

(寧波市奉化中學 浙江 寧波 315500)

“輕板模型”的特點及擴展

鄔劍峰

(寧波市奉化中學 浙江 寧波 315500)

在分析連接體問題時，物體間通常是通過輕繩、輕彈簧、輕桿來連接，但偶爾也會遇到兩物體通過“輕板”與物體間摩擦相連接的題目，這類題目有什么特點呢？

下面我們通過一道具體的題目來分析一下“輕板模型”的特點.

【例1】一個質(zhì)量可忽略不計的長輕質(zhì)木板置于光滑水平地面上，木板上放質(zhì)量分別為mA=1 kg和mB=2 kg的A，B兩物塊，A，B與木板之間的動摩擦因數(shù)都為μ=0.2，水平恒力F作用在A物塊上，如圖1所示(最大靜摩擦力大小可看成等于滑動摩擦力大小，重力加速度g取10 m/s2)．則下列說法正確的是( )

A．若F=1 N，則A和B都相對板靜止不動

B．若F=1.5 N，則A物塊所受摩擦力大小為1.5 N

C．若F=4 N，則B物塊所受摩擦力大小為2 N

D．若F=6 N，則B物塊的加速度為1 m/s2

圖1 例1題圖

解析：求解這道 題目關(guān)鍵是要弄清楚“輕板”在兩物體運動過程中起到了什么作用？具體一點說：當外力發(fā)生變化時，“輕板”受力情況如何變？其加速度和速度又如何變？要講清這些問題首先要理解“輕”這個字的物理意義，在物理學里“輕板”是一種理想模型，表示該板的質(zhì)量可以認為是“零”，也就是說，當“輕板”所受的合力不為零時，其加速度可認為是無窮大，所以，我們可以理想地認為，“輕板”的速度瞬間可以變到與其中一個物體的速度一樣大，而與該物體保持相對靜止，從而進一步可以認為“輕板”是該物體的一部分．那么“輕板”跟哪個物體可以看成是一個整體呢？

下面我們具體來分析一下例1，A與B兩物體是借助與“輕板”間的摩擦力相連接的，物體A與“輕板”的最大靜摩擦力為

μmAg=2 N

物體B與“輕板”的最大靜摩擦力為

μmBg=4 N

物體A的加速度

其加速度aA隨F增大而增大，而物體B的加速度

其加速度aB隨fB增大而增大，當fB增大到最大靜摩擦力時，加速度aB達到最大值，那么當F從零開始增大時，物體A和B先保持相對靜止，以相同的加速度a做勻加速直線運動，隨著加速度a逐漸增大，物體A，B與“輕板”間的靜摩擦力也開始逐漸增大，一但當物體A與“輕板”靜摩擦力達到最大靜摩擦力(2 N)時，物體A將與“輕板”發(fā)生相對運動，而此時“輕板”與物體B的靜摩擦力也為2 N，且小于它們間的最大靜摩擦力，故“輕板”與物體B仍保持相對靜止，此后，aA隨F增大而增大，而物體B以恒定的加速度aB做勻加速直線運動，如果“輕板”足夠長的話，在整個運動過程中，“輕板”始終與物體B保持相對靜止且隨B做勻加速直線運動．

根據(jù)上面分析可知“輕板模型”的特點是：借助“輕板”摩擦力相連接的兩物體間，當他們的運動狀態(tài)發(fā)生變化時，“輕板”會始終與最大靜摩擦力大的那個物體保持相對靜止．故當A與板間摩擦力達到2 N時，A與木板開始相對滑動，B與木板仍保持相對靜止，此時A，B的加速度大小都為

則拉力的大小為

F=fA+mAa=3 N

當F≤3 N時，A，B都相對木板靜止且以共同加速度運動，故而選項A正確，選項B錯誤；

當F>3 N時，A相對輕木板滑動，B相對木板靜止，也容易分析出選項C，D正確．

擴展1：如圖2所示，傾角為α的等腰三角形斜面固定在水平面上，一足夠長的輕質(zhì)綢帶跨過斜面的頂端鋪放在斜面的兩側(cè)，綢帶與斜面間無摩擦．現(xiàn)將質(zhì)量分別為M，m(M>m)的小物塊同時輕放在斜面兩側(cè)的綢帶上．兩物塊與綢帶間的動摩擦因數(shù)相等，且最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等．在α角取不同值的情況下，下列說法正確的有( )

A．兩物塊所受摩擦力的大小總是相等

B．兩物塊不可能同時相對綢帶靜止

C．M不可能相對綢帶發(fā)生滑動

D．m不可能相對斜面向上滑動

圖2 擴展1圖

解析：因為是輕綢帶，其特點與上面分析的輕木板的特點是一樣的，故不管M，m的運動狀態(tài)如何，輕綢帶所受的合力一定為零，且輕綢帶一定跟靜摩擦力大的那個物體始終保持相對靜止，故選項A，C正確，當傾角α較小時，容易分析出物體與綢帶的摩擦都是靜摩擦，因為M的重力沿斜面的分力較大，所以M帶著輕綢帶沿斜面向下加速，而輕綢帶拉著m沿斜面向上加速，故選項B，D錯誤．

擴展2：傾角為37°的光滑斜面上固定一個槽，勁度系數(shù)κ=20 N/m，原長l0=0.6 m的輕彈簧下端與輕桿相連，開始時桿在槽外的長度l=0.3 m，且桿可在槽內(nèi)移動，輕桿與槽間的滑動摩擦力大小為Ff=6 N，桿與槽之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．質(zhì)量m=1 kg的小車從距彈簧上端L=0.6 m處由靜止釋放沿斜面向下運動．已知在本次碰撞過程中輕桿已滑動．取g=10 m/s2，sin 37°=0.6．

關(guān)于小車和桿的運動情況，下列說法正確的是( )

A.桿剛要滑動時，小車已通過的位移為0.6 m

B.桿剛要滑動時，小車已通過的位移為0.9 m

C.小車先做勻加速運動，后做加速度逐漸增大的變加速運動

D.小車先做勻加速運動，后做加速度逐漸減小的變加速運動，再做勻速直線運動

圖3 擴展2圖

解析：輕桿與輕木板的特性也是一樣的，通過分析也可得出以下結(jié)論.

在彈簧壓縮過程中，當彈簧的彈力和輕桿整體受到的靜摩擦力相等的時候，輕桿開始滑動，此時由平衡得彈簧壓縮量公式為

Ff=κΔx

6=20Δx

解得

Δx=0.3 m

所以桿剛要滑動時小車已通過的位移為

x=Δx+L=(0.3+0.6) m=0.9 m

故A錯誤，B正確；

一開始小車受恒力向下做勻加速運動，后來接觸到彈簧，合力逐漸變小，于是做加速度逐漸變小的變加速運動，借助輕彈簧和輕桿的作用，當輕桿整體受到的靜摩擦力和小車重力沿斜面向下的分力平衡時，小車開始做勻速直線運動，故C錯誤，D正確；故選：B,D．

從上面分析可知，輕板(輕綢帶、輕桿)的特點可理想地看成始終處于受力平衡狀態(tài)，其難理解之處是盡管它們處于受力平衡狀態(tài)，但其運動狀態(tài)可以是勻速運動(或靜止)狀態(tài)，也可以是勻變速直線運動狀態(tài)，根據(jù)這一特點來分析相應問題，對應的問題就變得容易理解了．

2016-10-14)